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null2. 状态方程的解2. 状态方程的解分析一个动态系统的运动过程，最直接的方法莫过于解出它的时间解。本章叙述线性系统状态方程的解法。2.1 线性定常系统状态方程的解2.1 线性定常系统状态方程的解线性定常系统的状态方程为解此方程需要两个条件：状态变量的初值x(t0)=x0及输入u(t)其中t≥t0 一、齐次状态方程的解不失一般性，设t0 ＝0，x(0)＝ x0 。先假设解为下式，然后验证之。其中 2.1 线性定常系统状态方程的解2.1 线性定常系统状态方程的解对上式求导得由此得知式(2-1-3)满足齐次状态方程式(2-1-2)。记状态转移矩阵为以n维状态空间的n个标准基向量为初始条件，得到n个解为2.1 线性定常系统状态方程的解2.1 线性定常系统状态方程的解证明这n个向量是线性独立的。先假设它们线性相关，则一定存在n个不全为0的常数ci，i=1, 2, …, n使得将代入上式，得上式对所有的t成立，故对t＝0也成立，因此有这与基向量线性独立的事实相矛盾，故x1(t), …, xn(t)必线性独立。将这n个向量排成矩阵[x1(t), …, xn(t)]，则这个矩阵就是状态转移矩阵Φ(t)。2.1 线性定常系统状态方程的解2.1 线性定常系统状态方程的解二、非齐次状态方程的解即求下式的解首先用矩阵e－At左乘上式的两边得或写成此式即对等式两边积分得由此得到非齐次状态方程得解为2.1 线性定常系统状态方程的解2.1 线性定常系统状态方程的解三、矩阵指数eAt的性质 1、证明：对齐次状态方程(2-1-2)两边取Laplace变换，得移项得两边取Laplace反变换得与齐次状态方程得解，式(2-1-3)相比较有证毕。2.1 线性定常系统状态方程的解2.1 线性定常系统状态方程的解2、 3、 4、 5、若矩阵A、B满足乘法交换律，AB＝BA，则有 6、若A＝diag[a11, a22, …, ann]，则有 7、 8、设P是A同阶的任一非奇异矩阵，则有证明：由矩阵指数的定义有（接下页）2.1 线性定常系统状态方程的解2.1 线性定常系统状态方程的解其中所以证毕2.1 线性定常系统状态方程的解2.1 线性定常系统状态方程的解9、 10、若det A≠0 11、对任意的t0、t1、t2有 2.2 eAt的计算方法2.2 eAt的计算方法一、Laplace变换法二、数值计算法三、凯莱－哈密尔顿（Cayley-Hamilton）法设A的特征方程式为则有这表明An是A0、A1、…、An-1的线性组合。显然对任意的i>n，Ai也是Aj，j=0,1,…,n－1的线性组合。则eAt可以用Aj，j=0,1,…,n-1线性表示，其中βk(t)为组合系数。 2.2 eAt的计算方法2.2 eAt的计算方法若λi，i=1,2,…,n是A的特征值，则φ(λi)＝0，则先考虑λi ≠ λj ， i≠j的情况写成矩阵形式2.2 eAt的计算方法2.2 eAt的计算方法若λi ≠ λj ， i≠j则系数矩阵满秩，则可得到求出待定系数βk(t)后，再由式(2-2-3)得到矩阵指数eAt 。 2.2 eAt的计算方法2.2 eAt的计算方法再考虑矩阵A有重特征值的情况。设λr是A的最小多项式的重根，重数为mr，则有其中q是最小多项式的次数。将上式对连续求导次，得mr －1个独立的方程 2.2 eAt的计算方法2.2 eAt的计算方法四、特征值与特征向量法先考虑λi ≠ λj ， i≠j的情况。设属于n个特征值的n个特征向量为ξi，i=1, 2, …, n。令用P对A做线性非奇异变换，得根据矩阵指数的性质6，有若记则根据矩阵指数的性质8，有由此得2.2 eAt的计算方法2.2 eAt的计算方法考虑A为能控标准形的情况。设则由可得展开得 2.2 eAt的计算方法2.2 eAt的计算方法若取ξi1＝1则有ξi2＝λi， ξi3＝λi 2，……，即这时P矩阵为范德蒙特（Vondermonde）矩阵2.2 eAt的计算方法2.2 eAt的计算方法再考虑A有重特征值的情况。设A有k个不重的特征值分别为λ1， λ2 ，…， λk ，所属的特征向量分别是ξ1 ， ξ2 ，…， ξk ，此外还有q个特征值λk+1， λk+2 ，…， λk+q ，是重的，它们的重数分别是mk+1，mk+2，…，mk+q，而属于它们的特征向量分别是ξk+1 ， ξk+2 ，…， ξk+q ，显然这k+q (

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