null1. 动态系统的状态空间模型1. 动态系统的状态空间模型 在控制理论中，所研究的对象一般是一个动力学系统，或叫动态系统。数学模型就是描述系统各物理量间关系的数学表达式，也可以说是对这些实际系统的状态的数学抽象或数学模拟。采用状态空间法建立的系统数学模型称为状态空间模型。1.1 状态空间模型的表示法1.1 状态空间模型的表示法图1-1系统的方框图表示，a. SISO系统，b. MIMO系统
S表示系统自身，u(t)为外部作用，称为输入；y(t)为输入的响应，是被控制量，称为系统的输出或观测值。u(t)y(t)SSu1(t)um(t). . .y1(t)yp(t). . .(a)(b)1.1 状态空间模型的表示法1.1 状态空间模型的表示法一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组，组内的每个变量称为状态变量。写成向量形式为
状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等于状态的维数。若记
则系统状态空间模型的一般形式为
式中1.1 状态空间模型的表示法1.1 状态空间模型的表示法若系统是线性的，可写成
式中w(t)和v(t)分别是系统噪声（或称模型噪声）和观测噪声。
若不考虑噪声，且系统是定常的，可写成1.1 状态空间模型的表示法1.1 状态空间模型的表示法从系统控制的观点分析，状态变量应满足两个条件：
1。在初始时刻t＝t0时的状态变量全体x1(t0), x2(t0), …, xn(t0)能唯一地定义系统的初始状态。
2。系统在任意时刻t>t0的状态应由其初始状态x1(t0), x2(t0), …, xn(t0)和控制作用u(t)所唯一确定。1.2 状态空间模型举例1.2 状态空间模型举例电枢控制直流电动机。设参数已知，励磁磁场恒定。取电枢端电压e为输入变量，电动机转速ω为输出变量。建立状态方程和输出方程。1.2 状态空间模型举例1.2 状态空间模型举例选取电枢电流ia、和转子转速ω为状态变量。
列出电路部分和机械部分的原始动态方程。
式中Ra为电枢电阻，La为电枢电感，J为转动惯量，f为阻力矩，Ce和CM为常数。
改写为
规范
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化的形式为1.2 状态空间模型举例1.2 状态空间模型举例写成状态方程形式。
令y＝ω，u＝e，x＝[ia, ω]T
则状态方程可写为1.3 连续系统数学模型的转换1.3 连续系统数学模型的转换一、系统的传递函数（阵）表示（线性定常）
记G(s)为系统的传递函数矩阵。若系统有m个输入uj(t)，（j=1, …, m）和p个输出yi(t)，（i=1, …, p），则H(t)=[hij(t)]是由第j个输入到第i个输出之间的权函数组成的权函数矩阵。
令u(t)=[u1(t), …, um(t)]T，y(t)=[y1(t), …, yp(t)]T则在零初始条件下有
若
则对上式进行Laplace变换得Y(s)=H(s)U(s)。显然有G(s)=H(s)。1.3 连续系统数学模型的转换1.3 连续系统数学模型的转换设状态初值为x(0)=x0，则对状态空间模型取Laplace变换就得
sX(s)－ x0 ＝AX(s)+BU(s)
Y(s)＝CX(s)+DU(s)
即有 (sI－A)X(s)＝ x0 +BU(s)
若为非奇异（可以证明的），则有
X(s)＝(sI－A)－1 x0 + (sI－A)－1 BU(s)
Y(s)＝C (sI－A)－1 x0 +{C (sI－A)－1 B+D}U(s)
当初始状态x0为零向量时，有
Y(s)＝{C (sI－A)－1 B+D}U(s)
可以看出，传递函数矩阵为
G(s)＝C (sI－A)－1 B+D
若D＝0则有 G(s)＝C (sI－A)－1 B
因此，当线性定常系统的状态空间模型已知时，可以唯一地确定出系统的传递函数或传递函数矩阵。1.3 连续系统数学模型的转换1.3 连续系统数学模型的转换两种描述的方框图如下。∫ABCDu(t)y(t)x(t)U(s)Y(s)G(s)=C(sI－A)－1B+D1.3 连续系统数学模型的转换1.3 连续系统数学模型的转换二、传递函数（阵）的实现
1、SISO系统传递函数的状态方程实现
（1）能控
标准
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形实现
设对象的传递函数为
引进中间变量z(t)，其Laplace变换满足1.3 连续系统数学模型的转换1.3 连续系统数学模型的转换对上式取反变换得到
取状态变量为
就可以得到状态方程实现（称为G(s)的能控标准形实现）1.3 连续系统数学模型的转换1.3 连续系统数学模型的转换由前面可得到
取反变换可得输出方程为
写成矩阵形式，系数矩阵分别为（式中In－1为n－1阶单位阵）1.3 连续系统数学模型的转换1.3 连续系统数学模型的转换前面讨论的是m
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