八年级数学易错题集锦

八年级数学下册 培优讲稿、练习资料目录 1八年级数学下册 培优讲稿、练习资料目录 3第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 3不等关系、不等式的基本性质及解集 3知识要点 3易错易混点 4典型例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 4学习自评 6一元一次不等式、一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组 6知识要点 6易错易混点 7典型例题 7学习自评 14第二章 分解因式 14分解因式 14知识要点 14易错易混点 14典型例题 14学习自评 16提公因式法、公式法 16知识要点 16易错易混点 16典型例题 17学习自评 19第三章 分 式 19分式 19知识要点 19易错易混点 19典型例题 20学习自评 21分式的乘除法、加减法 21知识要点 21易错易混点 21典型例题 22学习自评 23分式方程 23知识要点 24易错易混点 24典型例题 25学习自评 27第四章 相似图形 27线段的比、黄金分割及形状相同的图形 27知识要点 28易错易混点 28典型例题 29学习自评 31相似多边形相似三角形及三角形相似的条件 31知识要点 31易错易混点 31典型例题 33学习自评 37相似形的应用、相似多边形的性质、图形的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 与缩小 37知识要点 38易错易混点 38典型例题 40学习自评 44第五章 数据的收集与处理 44数据的收集 44知识要点 44易错易混点 44典型例题 45学习自评 47频数与频率、数据的波动 47知识要点 48易错易混点 48典型例题 49学习自评 53第六章 证明（一） 53肯定与否定 定义与命题 53知识要点 53易错易混点 54典型例题 55学习自评 58平行线的判定及其性质 三角形内角和定理、推论及应用 58知识要点 58易错易混点 59典型例题 59学习自评 第1章 一元一次不等式和一元一次不等式组 不等关系、不等式的基本性质及解集 知识要点 ※要点1 不等式的概念及分类 一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），≠，连接的式子叫做不等式。 不等式分类： (1) 绝对不等式。无论在什么条件下不等式都成立。 (2) 条件不等式。只有在一定条件下不等式才能成立。 (3) 矛盾不等式。无论在什么条件下不等式都不成立。 ※要点2 常见不等式的基本语言 (1) 若x____0，则x是正数。(2) 若x____0，则x是负数。 (3) 若x____0, 则x是非负数。 (4) 若x____0，则x是非正数。 (5) 若x－y___0，则x大于y。(6) 若x－y___0，则x小于y。 (7) 若x－y_____0，则x不小于y。 (8) 若x－y_____0，则x不大于y。 (9) 若xy___0（或 ），则x，y同号。(10) 若xy_____0（或 ），则x，y异号。 ※要点3 不等式的基本性质及其他性质 基本性质 (1) 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变。 (2) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 (3) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向要改变。 其他性质 (1) 若a＞b，则b＜a； (2) 若a＞b，且b＞c，则a＞c； (3)若a≥b，且b≤a，则a＝b； (4) 若a2≤0，则a＝0。 ★说明：不等式的基本性质也是不等式的同解原理。 ※要点4 不等式的解和不等式的解集以及它们的区别与联系 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（能使不等式成立的未知数的某个值） 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。（能使不等式成立的未知数的所有值） ※要点5 在数轴上表示不等式的解集（用以下口诀便于记忆） 大于向右画，小于向左画，有等号的画实心，无等号的画空心。 易错易混点 (1)不能正确理解不等号的作用; (2) 在运用不等式的基本性质时，忽略字母取0的特殊情况，造成错误。 ;(3)在运用不等式的性质时，必须明确不等式两边是同乘以（或除以）一个正数还是负数，确定不等号的变化；(4) 对不等式的解和不等式的解集概念不理解. 例 下列式子是不等式的是（ ） ①x≠0; ② 5≤8 ;③ a＜2 ; ④ a≥b A. ①②③④ B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 例 若a＜b，c为实数，则ac2_______bc2. 例 若a＜1时，则下列各式错误的是（ ） A. –a＞－1 B. a－1＜0 C. a＋1＞0 D. 2a＜2 典型例题 【例1】 已知关于x，y的方程组 ， (1) 试列出使x≤y成立的m的不等式； (2) 运用不等式的基本性质将此不等式化为“m＞a”或“m＜a”的形式。 【例2】 不等式ax＞b的解集为 ，那么a的取值范围是（ ） A. a≤0 B. a＜0 C. a≥0 D. a＞0 【例3】 已知不等式5x＋a＜3的解集为x＜2，试求a的值。 相关题型：ax＞－2与2x－3＜5的解集相同，则a＝________。 【例4】 试比较代数式3x2-2x+7与4x2-2x+7大小。 相关题型：a取什么值时，代数式 的值不小于 的值？并且求出a的最小值。 【例5】 求不等式 的最小整数解。 相关题型： 不等式 ≥0的正整数解。 【例6】 已知关于x的方程 的解是非正数，求m为何正整数？ 学习自评 1. m2是非负数，用适当的不等式表示_____________。 2. 一部电梯最大负荷为1000kg，有12个人共携带一个40kg的木箱乘电梯。他们的平均体重x(kg)应满足的关系式为_________。 3. 在两个连续整数a和b之间，a＜ ＜b，那么a，b的值分别是________。 4. 已知x为整数，且满足 ≤x≤ ，则x=________________。 5. 若a＞b，c＜0，则a－c______b－c；ac______bc；ac2_______bc2. 6. 由x≤y得到ax≥ay，则a的取值范围是__________。 7. 若 ，则x的取值范围是_______。 8. 滨海市出租汽车起步价为10元（即行驶距离在5千米以内的都需付10元车费），达到或超过5千米后，每增加1千米加价1.2元（不足1千米部分按1千米来计），小华乘这种出租车从家到单位，支付车费22元，设小华从家到单位距离为x千米(x为整数)，那么x的最大值是_________。 9. 若x满足不等式3＜ ＜2006，则满足条件的所有的x值的和为________。 10. 下列说法错误的是（ ） A. 4不是不等式x＋2＜0的解 B. 2是不等式x－3＜0的一个解 C. 不等式2x＋5＜10 x的解有无数个 D. 不等式x＜5的正整数解有无数多个 11. 无论x取什么数，下列不等式总成立的是（ ） A. x＋5＞0 B. x＋5＜0 C. –(x＋5)2＜0 D. (x－5)2≥0 12. 如果m＜n＜0，那么下列结论中错误的是（ ） A. m－9＜n－9 B. –m＞－n C. D. 13. 若x＜－4，则下列不等式中成立的是（ ） A. x2≥－4x B. x2≤－4x C. x2＞－4x D. x2＜－4 14. 由m＜n，得到ma2＜na2的条件是（ ） A. a＞0 B. a＜0 C. a≠0 D. a为任意实数 15. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至少可打（ ） A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折 16. 若a－b＞a，a＋b＜b，则有（ ） A. ab＜0 B. ＞0 C. a＋b＞0 D. a－b＜2 17. 如果不等式3x－m≤0的正整数解是1、2、3，那么m的取值范围是（ ） A. 9≤m＜12 B. 9＜m＜12 C. m＜12 D. m≥0 18. 若不等式(a＋1)x＞a＋1的解集为x＜1，则a必须满足（ ） A. a＜0 B. a≤－1 C. a＞－1 D. a＜－1 19. 已知a＞0，b＜0，a＋b＜0，你能将a，－a，b，－b，a－b，b－a按从小到大的顺序排列起来吗？试试看。 20. 根据不等式的基本性质，把下列不等式化简为x＞a或x＜a的形式。 (1) (2) 21. 已知x＝3是方程 的解，求不等式 的解集，将解集表示在数轴上。 22. 已知关于x的不等式 的两边同时除以(1－a)得到 ，试化简 。 23. 当k在什么范围内取值时，关于x的方程 有(1)非正数解；(2)不大于3的解. 24. 比较下面两列算是结果的大小（在横线上填“＞”或“＜”或“＝”） 42＋32_________2×4×3，(－2)2＋12______2×(－2)×1， ，22＋22______2×2×2，… 通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明。 一元一次不等式、一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组 知识要点 ※要点1 一元一次不等式及解一元一次不等式的一般步骤 概念：不等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式为一元一次不等式。 解一元一次不等式的一般步骤 (1) 去分母（根据不等式的性质2或3）；(2) 取括号（根据整式的运算法则）； (3) 移项（根据不等式的性质1）； (4) 合并同类项（根据整式的运算法则）； (5) 将未知数的系数化为1（根据不等式的性质2或3）。 ※要点2 一元一次不等式在实际问题中的应用 (1) 把实际问题转化为不等式问题，就是根据不等式关系列出不等式； (2) 要根据题中字母或者有关量的限制条件找出符合实际定一的解。（符合实际意义、具体的、有限的特殊解） ※要点3 用一次函数的图象确定一元一次不等式解集的方法 (1) 对于单个的一次函数y＝kx＋b(k≠0)，求函数值为正（或负）时对应自变量的取值时，就变成了一元一次不等式kx＋b＞0（或kx＋b＜0）； (2) 对于两个一次函数y1＝k1x＋b1(k1≠0)和y2＝k2x＋b2(k2≠0)，若求x为何值时，y1＞y2（或y1＜y2），就成为不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（或k1x＋b1＜k2x＋b2） ※要点4 一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系 不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体，有如下关系： ※要点5 一元一次不等式组的概念及解集 (1)概念：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 (2)解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集。 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找。 易错易混点 (1)不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要变号；(2) 不等正确理解用一元一次不等式求一次函数自变量的取值范围；(3) 对特殊解的表示出现错误 例1 已知等腰三角形ABC的周长为12cm，试写出腰长y(cm)与底边x(cm)之间的函数关系式，并画出它的图象。 例2 若不等式组 的解集为x＞2，则a的取值范围是（ ） A. a＜2 B. a≤2 C. a＞2 D. a≥2 典型例题 1. 不等式6x－2＞a＋2x的解集是x＞2，求a的值。 2. 一次函数y＝2x＋5中，如果y的取值范围是－3≤y≤11，则x的取值范围是（ ） A. －3≤x≤11 B. －4≤x≤11 C. －4≤x≤3 D. －3≤x≤3 3. 若不等式2(x+1)－5＜3(x-1)+4的最小整数解是方程 的解，求代数式a2－2a－1的值。 相关题型：已知不等式5(x－2)+8＜6(x－1)+7的最小整数解是方程2x－ax=3的解，求代数式 的值。 4. 已知不等式组 的解集为－1＜x＜1，求a与b的值。 5. 某市组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售。按 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 ，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满，根据下表提供的信息，解答一下问题： 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量(吨) 6 5 4 每吨脐橙获得(百元) 12 16 10 (1) 设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数关系式； (2) 如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 有几种？并写出每种安排方案。 (3) 若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值。 6. 已知关于x的不等式组 的解集如图01—1所示，求m的取值范围。 7. 有人问一位老师，她所教的班有多少学生。老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读英语，还剩不足六位同学在操场踢足球。”试问这个班共有多少学生？ 8. 班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22枝，赠给山区学校的同学，他们去了商场，看到圆珠笔每枝5元，钢笔每枝6元， (1) 若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去了120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少枝？ (2) 若购买圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案。 学习自评 1. 当x满足________时，代数式 的值为非负数。 2. 不等式x－9＜3x－3的最大负整数解是___________；不等式 的解集为________。 3. 关于x的方程(1＋a)x＝1－2x的解为一正数，则a的取值范围是________。 4. 函数y＝x－3a与y＝－x＋a－1的图象相交于第二象限，则a的取值范围是_______。 5. 已知一次函数y＝ax＋b(a 、b是常数)，x与y的部分对应值如下表： x －2 －1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 －2 －4 那么方程ax＋b＝0的解是__________；不等式ax＋b＞0的解集是________。 6. 若 ，则k的取值范围是__________。 7. 若不等式2x－m≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，则m的取值范围是_________。 8. 若关于x的方程 的解是非负数，则m的取值范围是_________。 9. 一天夜里，一个在森林散布的人听见树林里一伙盗贼在瓜分一批作为赃物的布匹，只听见他们说：“如果每人分4匹，则剩20匹；如果每人分8匹，则有一人少几批。”问盗贼有________个，它们总共盗来 _______匹布。 10. 如果2 m、m、1－m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么的取值范围是（ ） A. m＞0 B. m＞ C. m＜0 D. 0＜m＜ 11. 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y＝－4x＋3图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ） A. y1＞y2 B. y1＞y2＞0 C. y1＜y2 D. y1＝y2 12. 若 ，则x应满足（ ） A. x＞2 B. x≤2 C. x≥2 D. x＜2. 13. 已知1＜x＜2，则 等于（ ） A. x B. 1 C. 2x－3 D. 1－2x 14. 若不等式(a＋7)x＜6的解集为x＞－1，则a的值为（ ） A. －13 B. －8 C. －1 D. 9 15. 已知一次函数y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2的图象如图01—2所示，则y1＞y2时，x的取值范围是（ ） A. B. C. x＞1 D. x＜1 16. 设一个三角形的三边长分别为3，1－2m，8，则m的取值范围是（ ） A. 0＜m＜ B. －5＜m＜－2 C. －2＜m＜5 D. ＜m＜－1 17. 已知点M(3a－9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18. 解不等式(组)。 (1) ； (2) (3) (4) 19. 已知 的值不小于 的值，求x的取值范围，并在数轴上表示出来。 20. 求不等式 的正整数解。 21. 若x满足不等式组 ，化简 。 22. 若 ，求当y≥0时，m的取值范围。 23. 已知关于x的不等式组 的整数解共有5个，求a的取值范围。 24. 已知关于x的不等式组 的解集为－1＜x＜19，求a，b的值。 25. 不等式组 的解集是3＜x＜a＋2，求a的取值范围。 26. 有一个两位数，其十位数字比个位数字小2，这个数大于20小于40，求这个两位数。 27. 已知关于x、y的方程组 的解中，x为非正数，y为负数。 (1) 求a的取值范围；(2) 化简 ； (3) 在a的取值范围中，m是其中最大的整数，n为其中的最小整数，求 的值； (4) 在a的取值范围中，当a为什么整数时，不等式2ax＋x＞2a＋1的解集为x＜1？ 28. 某种化肥在县城的甲、乙两个生产资料门市部均有销售，现了解到该化肥在甲、乙两个门市部的标价均为600元/吨，但都有一定的优惠政策，甲门市部是第一吨按标价收费，超出部分每吨优惠25%；乙门市部每吨优惠20%出售。 (1) 写出甲门市部每次交易的销售额y1(元)与销售x(吨)之间的函数关系式及乙门市部每次交易的销售额y2(元)与销售x(吨)之间的函数关系式； (2) 种粮大户张某想一次购买此种化肥4吨，李某想一次购买此种化肥8吨，他们到哪个门市部购买省钱？请给他们分别提出合理建议。 29. 某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲和乙的含量如下表所示。现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题： 原料名称 饮料名称 甲 乙 A 20克 40克 B 30克 20克 (1) 有几种符合题意的生产方案？写出解答过程； (2) 如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？ 30. 某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品，已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支。 (1) 如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能卖这两种笔各多少支？ (2) 小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔数量要少于红梅牌钢笔的数量的1/2，但又不少于红梅牌钢笔的数量的1/4，如果他们买了锦江牌钢笔x支，买这两种笔共花了y元。 请写出y (元)关于x(支)的函数关系式，并求自变量x的取值范围； 请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？ 沼气池 修建费用(万元/个) 可供使用户数(户/个) 占地面积(m2/个) A型 3 20 48 B型 2 3 6 比赛项目 票价（元、场） 男篮 1000 足球 800 乒乓球 500 31. 2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订。下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票。 (1) 若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓门票各多少张？ (2) 若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预定三种球类门票各多少张？ 32. 某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表： 政府相关部门批给该村沼气池修建用地708m2．设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种； 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800元 1600元 B地区 1600元 1200元 33. 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台收割机派往A、B两地去收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区。 这两地区与农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表： (1)设派往A地区x台乙型联合收割机，农机租赁公司的这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2) 若使农机租赁公司的这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，请问有多少种分派方案，并将各种方案 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 出来； (3) 如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议。 中考链接 1. 某公司打算至多用1200元印制广告单，已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x(张)满足的不等式为_________________。 2. 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果赔了钱，原因是（ ） A. a＞b B. a＜b C. a=b D. 与a和b的大小无关 3. 若a＞b，且x是有理数，则下列结论正确的是（ ） A. ax＞bx B. ax＜bx C. ax2＞bx2 D. a x2≥bx2 4. 初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140~200元钱，买一份礼物送给父母。已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分每份可得0.2元。 (1)请说明：孔明同学要到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份； (2) 孔明同学要通过卖报纸赚取140~200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内。 5. 在一次战备军事演习中，后勤运输部门要组织12辆汽车，将野战医院的医疗器械、药品、帐篷三种物资共82吨一次性运往指定地点，假设甲、乙、丙三种车型分别运载医疗器械、药品、帐篷三种物资。根据下表提供的信息解答下列问题： 车型 甲 乙 丙 汽车运载量(吨/辆) 5 8 10 (1) 设装运医疗器械、药品的车辆数分别为x、y，试用含x的代数式表示y； (2) 据(1)中的表达式，试求出医疗器械、药品、帐篷三种物资各几吨？ 6. “水晶饼”是陕西最名贵的特产，它是由上等精白面粉、冰糖等十多种材料加工而成。由于条件限制，以前都采用人工加工，为改善落后的加工条件，当地加工厂决定购买10台加工设备，现有A、B两种型号的设备供选择，其中每台的价格、年加工能力及年消耗费用如下表所示: A型 B型 价格（万元/台） 3 2 年加工能力（吨/年） 18 10 年消耗费用（万元/台） 0.2 0.2 但因目前厂里资金短缺，购买设备的资金不超过27万元，同时又因A型设备的加工能力更强，所以厂里购买A型设备的数量至少是B型设备的三分之二。 (1) 请你为该厂设计所有的购买方案； (2) 根据目前状况，当地每年生产“水晶饼”大约有140吨，为节约资金，应选用哪种购买方案？(3) 以前人工加工每吨需付工资600元，而现在每吨只需付工资100元，如果该厂按(2)中的购买方案购买设备，则多少年后该厂便可从节约的资金中收回成本？ 型号 A B 成本(元/台) 2200 2600 售价(元/台) 2800 3000 7. 某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召计划生产A、B两种型号的冰箱100台。经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表： (1) 冰箱厂有哪几种生产方案？ (2) 该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？ (3) 若按(2)中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学。其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种？ 第2章 分解因式 分解因式 知识要点 ※要点1 分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，它的对象为一个多项式，分解因式的结果是整式的积的形式，即结果为单项式乘以多项式或多项式乘以多项式的形式。 ★说明：(1) 分解的对象是多项式，结果要以乘积的形式出现；(2) 每个因式必须是整式，且每个因式的次数必须低于原来多项式的次数；(3) 分解因式要彻底，直到不能再分解为止。 ※要点2 分解因式与整式的乘法关系 如果把整式的乘法看作一个变形过程，那么多项式的分解因式就是它的逆过程，反之亦然。这种逆过程一方面说明了两者之间的密切联系，另一方面又说明了两者之间的根本区别。 易错易混点 (1) 将整式乘法与分解因式混淆；(2) 分解因式不彻底；(3) 分解的结果不是整式的乘积的形式。 典型例题 例1 下面式子从左边到右边的变形是分解因式的是（ ） A. x2－x－2＝x(x－1)－2 B. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 C. x2－4＝(x＋2)(x－2) D. x－1＝x 例2 多项式ac－bc＋a2－b2分解因式的结果是（ ） A. (a－b)(a＋b＋c) B. (a－b)(a＋b－c) C. (a＋b)(a＋b－c) D. (a＋b)(a－b＋c) 例3 72006－5×72005＋3×72004能被17整除吗？说说理由。 例4 若多项式x2＋m x－15可分解为(x＋3)(x＋n)，试求m、n的值。 例5 先分解因式，再计算求值。 已知x＋y＝5，xy＝6，求x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2的值。 学习自评 1. 2ab(5a＋3b)＝_________，(y＋3z)(y－3z)＝__________， (mn－a)2＝__________，(2x＋y)(x－y)＝__________。 2. 10a2b＋6ab2＝________，2x2－xy－y2＝________， y2－9z2＝________，m2n2－2amn＋a2＝________. 3. 多项式x2＋px＋12可分解为两个一次因式的积，整数p的值可以是_________.(指写出一个即可) 4. 等于_______. 5. 用整式的乘法检验下列的分解因式是否正确. (1) 2m2＋7mn－15n2＝(2m＋3n)(m－5n) ; (2) ab－a＋b－1＝(a＋1)(b－1); (3) a3－2a2＋3a－6＝(a－2)(a2＋3); (4) x2＋y2＋2xy＝(x＋y)(x－y). 6. 已知2x2－mx－15可以分解成(x＋5)(2x－3)，则m的值为________。 7. 化简 得（ ） A. B. C. D. 8. 下列分解因式错误的是（ ） A. 1－25a2＝(1－5a)(1＋5a) B. a2b2－c2＝(ab＋c)(ab－c) C. D. x5－x3＝x3(x2－1) 9. 甲乙丙丁四个同学在把2m3－m2＋m分解因式时，分别是这样做的： 甲：2m3－m2＋m＝m(2m2－m); 乙：2m3－m2＋m＝ 丙：2m3－m2＋m＝m(2m2－m)＋m; 丁：2m3－m2＋m＝ 其中做法正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. (1) 计算 (2) 计算2001×2004002－2003001×2002. (3) 计算2004×311－2004×5×310＋2004×6×39＋2004. 11. 说明817－279－913能被45整除。 12. 关于x的多项式2x2－11x＋m分解因式后有一个因式是 x－3，试求m的值. 13. 已知关于x的二次三项式2x2－mx－n分解因式的结果是 ，试求m、n。 14. (1) 已知x2－x－1＝0，求－x3＋2 x2＋2007的值。 (2) 若a＋b＋c＝0，求a3＋a2c－abc＋b2c＋b3的值。 提公因式法、公式法 知识要点 ※要点1 公因式的概念及确定 (1) 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。 (2) 确定公因式的数字因数，当各项系数是整数时，各项系数的最大公约数就是公因式的系数；确定公因式的字母及其指数。公因式的字母应是各项都含有的字母，其指数取最低的。 ※要点2 提公因式法 如果一个多项式各项都有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法就是提公因式法。 ★说明：(1)当公因式是多因式时，要注意变形过程中符号的变化；(2) 提公因式时要提“全”、提“净”；(3) 提公因式分解因式时不要漏项。 ※要点3 运用公式法 无名公式： (x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b) x＋ab ， →反过来就得到一个分解因式的变形x2＋(a＋b) x＋ab＝(x＋a)(x＋b) 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 →反过来就得到一个分解因式的变形a2－b2＝(a＋b)(a－b). 完全平方公式：把(a±b)2＝a2±2ab＋b2 →反过来就得到一个分解因式的变形a2±2ab＋b2＝(a±b)2. ★说明：(1) 理解掌握平方差公式、完全平方公式的形式和特点；(2)上面两个公式中的字母a，b,既可以是单项式，也可以是多项式；(3)在分解因式时，若有公因式，先提取公因式，提出公因式后，若剩余的多项式是两项式，就考虑用平方差，若剩余的多项式是三项式，就考虑用完全平方公式，如果不能用公式，则将多项式变形，然后再分解，即“一提、二套、三分组，遇到二次三项式，要用十字相乘法”。 易错易混点 (1)没有掌握好 ，误认为 ; (2) 不能正确使用公式。如9x5－4x3＝x3(9x2－4)＝x3(9x－4) (9x＋4). 典型例题 例1 (1) 把－4m3＋16m2－26m分解因式； (2) 分解因式6(x－y)3－9y(x－y)2. 例2 不解方程组 ，求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值。 例3 分解因式 。你发现了什么规律？ 利用你发现的规律直接写出多项式 分解因式的结果。 例4 分解因式(1) a3－a; (2) x2(2x＋y)2－9x2y2; (3) a3＋2a2＋a; (4) (m＋n)2＋6(m＋n)＋9. 例5 若二次三项式 有一个因式是2x＋7，试求k的值及另一个因式。 例6 有人说，无论x，y取何实数，代数式 的值总是正数，你的看法如何，请说说你的理由。 例7 已知a，b，c分别为△ABC的三边，试说明 。 同类变形：已知三条线段长分别为a，b，c，且满足a＞b，a2＋c2＜b2＋2ac，则以a，b，c为边能否构成三角形？并说明理由。 例8 老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写出两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22…… (1) 请你再写出两个（不同于上面的算式）具有上述规律的算式； (2) 用文字写出反映上述算式的规律； (3) 证明这个规律的正确性。 学习自评 1. 把5m2n3－3m3n2－m2n2分解因式得___________。 2. 将多项式 分解因式，所提取的公因式应是_________，分解因式4x4y3＋2x2y2－6x5y3各项提取的公因式是__________。 3. 多项式 各项的公因式是_________，提公因式后另一个因式是________。 4. 分解因式 ＝_____________。 5. 计算(1)1.222×9－1.332×4＝___________; (2)8002－1600×798＋7982＝__________. 6. 若a＝ ，则 ＝_________。 7. (1)若二次三项式x2－6x＋k2是完全平方式，则k＝_________。 (2) 9x2＋kxy＋16y2是一个完全平方式，则实数k的值为________。 8. 已知x＋y＝1，那么 的值为________. 9. 若a＝99，b＝98，则a2－2ab＋b2－5a＋5b＝______________。 10. 如果a (a＋1)–(a2－b)＝5，则 ______________。 11. 下列分解因式正确的是（ ） A. –a2＋ab－ac＝－a(a＋b－c) B. 9xyz－6x2y2＝3xyz(3－2xy) C. 3a2x－6bx＋3x＝3x(a2－2b) D. 12. 下列各组多项式中，没有公因式的一组是（ ） A. mx－nx与ny－my B. －6xy2＋8yx2与4x－3y C. ab＋ac与ab－bc D. (m－n)2与(n－m)3y 13. 如果x－3是多项式2x2－5x＋m的一个因式，那么m等于（ ） A. 6 B. －6 C. 3 D. －3 14. 计算(1) ; (2) 15. 下列各式分解因式错误的是（ ） A. 8xyz－6x2y2＝2xy(4z－3xy) B. a2b2－ ab3＝ ab2(4a－b) C. –a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c) D. 3x2－6xy＋x＝x(3x－6y) 16. 如果多项式4a4－(b－c)2＝M(2a2－b＋c)，那么M表示的多项式是（ ） A. 2a2＋b＋c B. 2a2－b－c C. 2a2＋b－c D. 2a2－b＋c 17. 多项式(x＋y－z)( x－y＋z)－(y＋z－x)( z－x－y)的公因式是（ ） A. x＋y－z B. x－y＋z C. y＋z－x D. 不存在 18. 把下列多项式分解因式 (1) m(5ax＋ay－1)－m(3ax－ay－1); (2) a2xn＋2－abxn＋1＋acxn－adxn－1. (3) m2－n2＋2m－2n; (4) x2－4y2＋x－2y 19. 选择适当的方法分解下列多项式 (1) x2＋9y2＋4z2－6xy＋4xz－12yz; (2) (a2＋5a＋4)(a2＋5a＋6)－120; (3) 3x2y2＋2xy＋ ； (4)x4＋4 20. 解方程组 21. 若x2－ax＋2a－4是完全平方式，求a的值。 22. 假设1＋a＋a2＝0，求 的值。 23. 已知a，b，c为三角形三边，且满足a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，试判断三角形的形状。 24. 已知长方形的周长为16cm，它的两边长a，b均为整数， 且满足a－b－a2＋2ab－b2＋2＝0，求该长方形的面积。 25. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是神秘数。 (1) 28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？ (2) 设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗 ？为什么？ (3) 两个连续奇数的平方数（取正数）是神秘数吗？为什么？ 第3章 分 式 分式 知识要点 ◆要点1 分式的概念、有无意义或等于零的条件 (1) 概念：形如 ，且A、B为整式，B中含字母。 (2) 分式有意义的条件：分母不等于零； (3) 分式无意义的条件：分母等于零； (4) 分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。（在分式有意义的前提下，才可讨论分式值为零） ★说明：(1) 分式中的分母必须含有字母，但作为分子的整式不一定含有字母；(2) 分式值为零，则分子为零，分母不为零。二者缺一不可；(3) 分式无意义，则分母为零。 ◆要点2 分式的基本性质、约分、最简分式 基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，符号表示： (其中A，B，M 是整式，且M≠0)。 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去的变形，称为约分。 ★说明：(1) 约分的依据是分式的基本性质；(2) 如果分式的分子和分母是多项式，要先对多项式分解因式，然后再约分；(3) 约分一定要彻底，化成最简分式(在分式化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式。)。 易错易混点 (1) 对分式的定义理解不准确；(2)不注意分式的值为零的条件；(3) 约分时，分式的分子或分母中因式符号的变化容易出错。 例 (1)下列分式的变形是否正确？ ① ； ② (2)当x为何值时，分式 的值为零。 典型例题 例1 (1) 当x取何值时，分式 无意义？ (2) 当x取何值时，分式 有意义？ (3) 当x取何值时，分式 值为零？ 例2 已知 ，求 的值。 例3 已知 ，求 的值。 学习自评 1. 在下列代数式中，分式有_______(只填序号)。 ① 、② 、③ 、④ 、⑤ 、⑥ 、⑦ 、⑧ . 2. 当x＝________时，代数式 的值为零。 3. 若 ，则 的值为________。 4. 分式 的值为0，则x的取值为________；当x______时，分式 的值为零。 5. 下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 计算 的结果是__________。 8. 当3＜a＜5时，化简 。 9. x取何值时，分式 的值是正整数？ 10. (1) 已知 ，求 的值； (2) 设xyz≠0，且3x＋2y－7z＝0，7x＋4y－15z＝0，求 的值. 分式的乘除法、加减法 知识要点 ◆要点1 分式的乘除法 分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 分式的乘方：分式的乘方，等于把分子和分母分别乘方，式子表示为： （n为正整数）。 ★说明：(1) 当分式的分子，分母为多项式时，要先分解因式，再进行分式的乘除运算；(2) 进行分式的乘除混合运算时，一定要按从左到右的顺序进行；(3) 分式乘除运算的结果必须为最简分式或整式，并注意其结果的正负性。 ◆要点2 分式的加减法则 (1) 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，最后化简为最简分式。 (2) 异分母分式相加减，先通分（确定分式的最简公分母），然后再按同分母分式相加减的法则进行。 ★说明：a. 通分时先找出各分母的最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积），然后再利用分式的基本性质，注意分子不要漏乘；{确定最简公分母的方法：各分母中凡出现的字母（或含字母的因式），取其最高次数，当各分母系数为整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数}；b. 当分母是多项式时，一般应先分解因式，当某个分母的系数不是整数时，应先将其化为整数。c. 在处理分子、分母符号变化问题时，要考虑分子、分母的整体性。 ◆要点3 分式的加、减、乘、除混合运算 分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的。 ◆要点4 分式运算的实际应用 易错易混点 (1)分式乘除法运算顺序容易错误；(2)把通分当成去分母、错用分配律；(3) 结果没有化成最简分式或整式。 例 通分: 典型例题 例1 计算(1) 例2 已知 ，求代数式 的值。 例3 已知 与 互为相反数，求 的值。 变形1 已知a2＋2a－1＝0，求 的值。 变形2 已知 ，求分式 的值。 学习自评 1. 若x＝2005，y＝2006，则 ＝_________；若x－y＝4xy，则 的值为__________。 2. 计算 ＝__________。 3. 化简 的结果是__________。 4. 若 ，则 ＝_________。 5. 若把分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 6. 计算 的结果为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 化简 的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 已知有理数a、b满足ab＝1，若 ，则M，N 的大小关系为（ ） A. M＞N B. M＝N C. M＜N D. 无法确定 9. 计算：(1) ； (2) (3) ；(4) 10. 计算：(1) ; (2) ； (3) 11. 化简求值： ，其中 。 12. 若 求整式A、B。 13. 已知a＋b＋c＝0，且abc≠0，求 的值。 14. 已知 ，试求A，B的值， 并利用类比方法计算:(1) ; (2) 分式方程 知识要点 ◆要点1 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 ◆要点2 分式方程的解法 (1) 解分式方程的根本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程。解分式方程的一半步骤是： a. 在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； b. 解这个整式方程； c. 验根。 (2) 增根是分式方程变形后的整式方程的根，它使原分式方程的分母为零，即原分式方程无意义，所以它不是原分式方程的根，故称它为原分式方程的增根。关键是要把握两点：一是用去分母的方法将分式方程化为整式方程；二是用换元的方法将分式方程化为整式方程。 ★说明： (1) 一元一次方程是整式方程，整式方程与分式方程的根本区别在于分母中是否含有未知数；(2) 增根产生的原因是同乘以最简公分母后，分式方程化为整式方程，使未知数的范围扩大了；(3)可以这样理解增根：若原方程只有这个增根，说明原方程无解；若原方程另有能使这个方程成立的根，说明原方程的根为另外的根（不包括这个增根）。 ◆要点3 分式方程的应用 分式方程的应用就是列分式方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的基本思路和解题方法是一样的。不同的是前者数与数的关系是分式，后者数与数的关系为整式。 (1) 审题，了解已知量和未知量；(2) 设未知数；(3) 找出相等关系，列出分式方程；(4)解分式方程；(5) 检验，看方程的根是否满足方程和符合题意；(6) 写出答案。 易错易混点 (1)解分式方程不检验;(2) 验根方法错误，将所求到的根只代入化为整式的方程中，而不是代入最简公分母或原方程的各个分母中；(3) 认为增根也是原方程的根。 例 解方程： 典型例题 例1 m为何值时，关于x的方程 会产生增根？ 变形1 若分式方程 有增根，则增根是（ ） A. x＝1 B. x＝1和x＝0 C. x＝0 D. 无法确定 变形2 若关于x的方程 有增根，求k的值。 例2 已知分式方程 的解是非负数，求a的范围。 例3 解方程组 例4 已知某项工程由甲、乙两队合作12天完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间比甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元。 (1) 甲乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？ (2) 若工程管理部门决定从这两队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪队？请说明理由。 学习自评 1. 当a＝_______时，关于x的方程 的根为1。 2. 如果分式方程 无解，则m＝_______。 3. 若方程 有增根，则k的值是________。 4. 张栋同学到邮局买了两种型号的信封，共30个，其中买A型号的信封用了1元5角，买B型号的信封用了1元2角，B型号的信封每个比A型号的信封便宜2分，则两种信封的单价：A型号为：___________；B型号为：__________。 5. 如果 ，那么 的值是（ ） A. 2 B. 1 C. －2 D. －1 6. 关于方程 的根的情况，说法正确的是（ ） A. 0是它的增根 B. －1是它的增根 C. 原分式方程无解 D. 1是它的根 7. 某人骑摩托车从甲地出发去90km的乙地执行任务，出发1 h 后发现按原来的速度前进要迟到半小时，于是将车速增加1倍恰好准时到达，设摩托车原来的速度为x km/h，可列出方程（ ） A. B. C. D. 8. 已知x为整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（ ） A. 20 B. 18 C. 15 D. 12 9. 解方程(1) ； (2) ； (3) 10. 一个十位数字是6的两位数，若把个位数字与十位数字对调，所得数与原数之比为4：7，求原数。 11. 关于x的分式方程 有解，求k的取值范围。 12. 方程 的解为x1＝2，x2＝ ； 的解为x1＝3，x2＝ ； 的解为x1＝4，x2＝ ；…… 根据你发现的规