初二数学（上）竞赛班讲义

华英学校八MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714044695908_2数学竞赛班暑期讲义 华英学校八年级数学竞赛班 暑期讲义 姓名:_____________ 学校:_____________ 班级:_____________ 第一讲 全等三角形及其应用 【知识精读】 1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点.互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角. 2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形,记作 “△ABC≌△A′B′C′其中,“≌”读作“全等于”.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等； 4. 寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边.通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素. （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系. 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的. (翻折 如图（1）,(BOC≌(EOD,(BOC可以看成是由(EOD沿直线AO翻折180(得到的； (旋转 如图（2）,(COD≌(BOA,(COD可以看成是由(BOA绕着点O旋转180(得到的； (平移 如图（3）,(DEF≌(ACB,(DEF可以看成是由(ACB沿CB方向平行移动而得到的. 5. 判定三角形全等的方法： （1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理 （2） 推论：角角边定理 6. 注意问题： （1）在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等； （2）不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA；b :有两边和其中一角对应相等,即SSA. 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具.在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识. 【分类解析】全等三角形知识的应用 (1)证明线段（或角）相等 【例1】如图,已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC (2)证明线段平行 【例2】已知：如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,DE=BF,AF=CE.求证：AB∥CD (3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 【例3】如图,在△ ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE. 求证：CD=2CE (4)证明线段相互垂直 【例4】已知：如图,A、D、B三点在同一条直线上,ΔADC、ΔBDO为等腰三角形,AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论. 5、中考点拨： 【例1】如图,在△ABC中,AB＝AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF＝DE,连结FC．求证：∠F＝∠A． 【例2】如图,已知△ ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连接CE、DE.求证：EC=ED 题型展示： 【例1】如图,△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2.求证：AB＝AC＋CD． 【实战模拟】 1. 下列判断正确的是（ ） （A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 （B）有两边对应相等,且有一角为30°的两个等腰三角形全等 （C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 （D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等 2. 已知：如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC． 3. 如图,已知C为线段AB上的一点,(ACM和(CBN都是等边三角形,AN和CM相交于F点,BM和CN交于E点. 求证：(CEF是等边三角形. 4.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线. 求证：AD< EQ EQ \F(1,2) (AB+AC) 5. 如图,在等腰Rt△ABC中,∠C＝90°,D是斜边上AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H点,交AE于G． 求证：BD＝CG． 第二讲 轴对称 1.如果一个图形沿着某一条直线对折,对折的两部分能完全重合,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴.这时,我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称. 2.把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够和另一个图形完全重合,那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴.两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点,也叫做对称点. 注意： 1、 一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条； 2、 两个图形成轴对称和轴对称图形的概念,前提不一样,前者是两个图形,后者是一个图形. 3、 成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关. 题型一:轴对称图形的判断 【例1】如图,我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案,下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是(        ) 　　           　　 ①       ②           ③            ④ 　　A．①②③            B．②③④            C．③④①            D．④①② 分析：图形沿一条直线折叠-----相互重合-----轴对称图形------判断 举一反三： 1、下列图形中,不是轴对称图形的是(        ) 　　A．角            B．等边三角形            C．线段        D．不等边三角形 2、下列图形中,不是轴对称图形的是（　　） A. 两条相交直线 B. 线段 C.有公共端点的两条相等线段 D.有公共端点的两条不相等线段 3、下列英文字母属于轴对称图形的是（ ） A、N B、S C、L D、E 4、下列说法中,正确的是(        ) 　　A．两个全等三角形组成一个轴对称图形 　　B．直角三角形一定是轴对称图形 　　C．轴对称图形是由两个图形组成的 　　D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形 题型二：找轴对称图形的对称轴 【例2】等腰三角形的对称轴_______条. 举一反三： 1、下列说法中,正确的个数是（　　） （1）轴对称图形只有一条对称轴,（2）轴对称图形的对称轴是一条线段,（3）两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形,（4）全等的两个图形一定成轴对称,（5）轴对称图形是指一个图形,而轴对称是指两个图形而言. （A）1个　　（B）2个　　（C）3个　　（D）4个 2、轴对称图形的对称轴的条数（　　） （A）只有一条　（B）2条　　（C）3条　　（D）至少一条 3、正五角星的对称轴的条数是(        ) 　　A．1条         B．2条          C．5条         D．10条 4、下列图形中有4条对称轴的是(        ) 　　A．平行四边形            B．矩形         C．正方形            D．菱形 常见图形及其对称轴： 名称 是否是轴对称图形 对称轴有几条 线段 是 ２条 垂直平分线或线段所在的直线 角 是 １条 角平分线所在的直线 长方形 是 ２条 对边中线所在的直线 正方形 是 ４条 对边中线所在的直线和对角线所在的直线 圆 是 无数条 直径所在的直线 平行四边形 不是 ０条 小结： 轴对称 轴对称图形 区别 ①指两个图形而言； ②指两个图形的一种形状与位置关系. ①对一个图形而言； ②指一个图形的特殊形状. 联系 ①都有一条直线,都要沿这条直线折叠重合； ②把两个成轴对称的图形看成一个整体,就是一个轴对称图形；反过来,把轴对称图形沿对称轴分成两部分,这两部分关于这条直线成轴对称. 1、线段垂直平分线的概念： （１）垂直于一条线段,并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线； （２）线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合. 2、线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等. 3、线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 注意: （１）“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明两条线段相等； （2“到段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.”的作用是：判定一点在线段的垂直平分线上； （3）“如果到两点到一条线段的两个端点的距离相等,那么,这两点所在直线是该线段的垂直平分线.”的作用是：垂直平分线的判定. 题型一:线段垂直平分线的性质 【例3】 如图1,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长. 图-1 点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时,(如图2),对应的是△ACE的周长,它的周长也等于AC+BC.图形变化,但结论不变. 图-2 举一反三： 1、如图1,在△ABC中, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若∠BEC=70°,则∠A=？ 点评：此题变式求角的计算方法,应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B. 【例4】如图3,在△ABC中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判断△AEN的形状. 举一反三： 1.如图4,在△ABC中,AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判断△AEN的形状. 图-4 2.如图,己知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点,若AB=12cm,BC=10cm, ∠A=49º,求△BCE的周长和∠EBC的度数. 【例5】如图,D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,若∠ABC＝50° 求∠ADC 举一反三： 1.如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,求∠CBE 2.如图,△ABC内有一点D,且D为直线AB、AC垂直平分线的交点, 若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是（ ） A．100° B．80° C．70° D．50° 题型二:线段垂直平分线的判定 【例6】如图所示,Rt△ABC中,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F.求证：BE垂直平分CD.(用定义法和判定定理法两种方法) 【经典例题回顾】现在你有什么更加简洁的证明过程吗？ 【例7】 如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,AD平分∠BAC,且DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点G,求证：AD垂直平分EF. 举一反三： 如图所示,AB>AC,的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作于E,,求证：BF=CG. 1、轴对称的性质： （１）关于某条直线对称的图形是全等形； （２）如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线； （３）两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上； （４）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分,那么,这两个图形关于这条直线对称. 2、轴对称作（画）图： （１）画图形的对称轴 （２）如果一个图形关于某直线对称,那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴. （３）画某点关于某直线的对称点的方法 （４）画已知图形关于某直线的对称图形 注意： （１）全等的图形不一定是轴对称的,轴对称的图形一定是全等的. （２）性质（４）的作用是判定两个图形是否关于某直线对称,它是作对对称图形的主要依据. 【例8】如图,ΔABC和ΔA’B’C’关于直线对称,下列结论中： 　①ΔABC≌ΔA’B’C’；　②∠BAC’≌∠B’AC；　③l垂直平分CC’； 　④直线BC和B’C’的交点不一定在l上,正确的有(   ) 　A．4个         B．3个          C．2个         D．1个 举一反三： 1、如图,ΔABC与ΔA/B/C/关于直线l对称,则∠B的度数为（ ） A．50° B．30° C．100° D．90° 2、如图六边形ABCDEF是轴对称图形,CF所在的直线是它的对称轴,若∠AFC+∠BCF=150°,则∠AFE+∠BCD的大小是（　　）． Ａ．150° 　Ｂ．300° 　Ｃ．210° Ｄ．330°． 【例9】如图,点P在∠AOB内,点M、N分别是点P关于AO的对称点、BO的对称点,若△PEF的周长为15,求MN的长 第三讲 等腰三角形专题讲解 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 推论2：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一.等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据. （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”.） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 推论3：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2. 定理及其推论的作用. 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点. 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定. 【分类解析】 【例1】如图,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE＝CD,DM⊥BC,垂足为M.求证：M是BE的中点. 【例2】如图,已知： 中, ,D是BC上一点,且 ,求 的度数. 说明: 1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁.把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在.本条性质在解题中发挥着重要的作用,这一点在后边的解题中将进一步体现. 2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的. 3. 此题是利用方程思想解几何 计算题 一年级下册数学竖式计算题下载二年级余数竖式计算题 下载乘法计算题下载化工原理计算题下载三年级竖式计算题下载 ,而边证边算又是解决这类题目的常用方法. 【例3】已知：如图, 中, 于D.求证： . 说明： 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质,构造角的倍半关系.因此添加底边的高是一条常用的辅助线； 2. 对线段之间的倍半关系,常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法,对角间的倍半关系也同理,或构造“半”,或构造“倍”.因此,本题还可以有其它的证法,如构造出 的等角等. 4、中考题型： 1.如图,△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 2.已知：如图,在△ABC中,AB＝AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F分别是垂足.求证：AE＝AF. 5、题形展示： 【例4】如图, 中, ,BD平分 .求证： . 【实战模拟】 1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为（ ） A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 以上都不对 2. 如图, 是等边三角形, ,则 的度数是________. 3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上. 4. 中, ,AB的中垂线交AB于D,交CA延长线于E,求证： . 第四讲 三角形总复习 【知识精读】 1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理； 2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论； 3. 全等三角形的性质与判定； 4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）； 5. 直角三角形的性质与判定. 三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位.从知识上来看,许多内容应用十分广泛,可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看,全等三角形的知识,为我们提供了一个及为方便的工具,通过证明全等,解决证明两条线段相等,两个角相等,从而解决平行、垂直等问题.因此,它揭示了研究封闭图形的一般方法,为以后的学习提供了研究的工具.因此,在学习中我们应该多总结,多归纳,使知识更加系统化,解题方法更加 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 ,从而提高我们的解题能力. 【分类解析】 1. 三角形内角和定理的应用 【例1】如图1,已知 中, 于D,E是AD上一点. 求证： 2. 三角形三边关系的应用 【例2】已知：如图2,在 中, ,AM是BC边的中线. 求证： 3. 角平分线定理的应用 【例3】如图3,∠B＝∠C＝90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC. 求证：AM平分DAB. 4. 全等三角形的应用 （1）构造全等三角形解决问题 【例4】已知如图4,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的角,它的两边分别交AB于M,交AC于N,连结MN.求证： 的周长等于2. （2）“全等三角形”在综合题中的应用 【例5】如图5,已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点,CE⊥AE,CF⊥AF,E、F为垂足.点B在AE的延长线上,点D在AF上.若AB＝21,AD＝9,BC＝DC＝10.求AC的长. 5、中考点拨 【例6】如图,在 中,已知∠B和∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD＋CE＝9,则线段DE的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6、题型展示 【例7】已知：如图6, 中,AB＝AC,∠ACB＝90°,D是AC上一点,AE垂直BD的延长线于E, .求证：BD平分∠ABC 【例8】某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛.如图7,在正三角形ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P,现要在花坛内装一喷水管D,点D的位置必须满足条件AD＝BD,∠DBP＝DBC,才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水,问∠BPD为多少度时,才能达到上述要求？ 【实战模拟】 1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm,则这个等腰三角形底边的长为____________. 2. 在锐角 中,高AD和BE交于H点,且BH＝AC,则∠ABC＝__________. 3. 如图所示,D是 的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点.试比较∠BAC与∠B的大小关系. 4. 如图所示,AB＝AC,∠BAC＝90°,M是AC中点,AE⊥BM. 求证：∠AMB＝∠CMD 5. 设三个正数a、b、c满足 ,求证：a、b、c一定是某个三角形三边的长. 第五讲 实数 【知识要点】 一、实数：有理数和无理数统称为实数. 1、实数有以下两种分类方法： （1）按定义分类 （2）按大小分类 2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样,例如 的相反数为 ,倒数为 , 的绝对值为 . 3、实数与数轴上点的关系： 实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都可以用一个实数表示. 4、实数的运算： （1）关于有理数的运算律和运算性质,在实数范围内仍适用. （2）涉及无理数的计算,可根据问题的要求取其近似值,转化为有理数进行计算. 二、二次根式：一般地,式子 EMBED Equation.DSMT4 叫做二次根式,其中 叫做被开方数. 1、二次根式的性质： （1） ； （2） ； 2、最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数,因式是整式.即被开方数不含有分母. （2）被开方数中不含有能开尽方的因数或因式.即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2. 3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫同类二次根式. 4、二次根式的运算： （1）．二次根式的运算法则： ； ； ； ； （2）．分母有理化 （3）．二次根式的混合运算 三、非负性及应用： 1、非负数包括正数和零 2、常见的非负数有实数的绝对值,实数的偶次方,非负实数的算术平方根等,用符号表示如下： ①若a是实数,则 ； ②若a是实数,则 （n为正整数）,当n=1时,a2≥0； ③ （n为正整数）在实数范围内有意义,则 ,此时 ； 3、非负数有如下性质： ①有限个非负数之和是非负数； ②有限个非负数之和是零,则每一个非负数是零. 【典例解析】 1、无理数的识别与估算方法 【例1】（1）在实数3.14, , , , ,0.10110111011110…,π, 中,哪些是有理数,哪些是无理数？ （2）估算 的值（ ） A．在5和6之间 B.在6和7之间 C.在7和8之间 D.在8和9之间 2、实数的大小比较方法 【例2】（1）比较大小：7__________ （填“ ”“ ”或“ ” ） （2）已知 , ,则 、 的大小关系为_________ （3）比较大小：当实数 时, _______ .（填“ ”或“ ” ） 3、实数有数轴的关系 【例3】如右图：数轴上点A表示的数为x,则x2－13的立方根是（ ） A. －13 B.－ －13 C.2 D.－2 4、实数的运算 【例4】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 5、实数性质的使用 【例5】（1）化简： ； （2）实数a,b在数轴上所对应的点的位置如图所示,则2a___________0；a＋b__________0； －｜b－a｜________0；｜2a｜－｜a＋b｜＝________. 【例6】（1）已知 ,求 的值. （2）已知 的整数部分为 ,小数部分为 ,则 =________ 【课堂检测】 1、在 中,属于有理数的是 _____属于无理数的是 ___ 2、（1） ； . （2） . （3）若 = . （4）计算 . 3、比较大小（1） （2） . 4、下列语句中不正确的是（ ） A．无理数是带根号的数,其根号下的数字开方开不尽； B．8的立方根是±2； C．绝对值等于 的实数是 D．每一个实数都有数轴上的一个点与它对应. 5、与 相乘,结果为1的数是（ ） A． B． C． D． 6、下列计算正确的是（ ） A B C. D． 7、数轴上表示实数 的点在表示 的点的左边,则式子 的值是（ ） A．正数 B．-1 C．小于-1 D．大于-1 8、化简 ,甲、乙两同学的解法如下：甲： ； 乙： ,对于他们的解法,正确的是（ ） A．甲、乙的解法都正确 B．甲正确、乙不正确 C．甲、乙的解都错误 D.正确、甲不正确 9、计算或化简：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）已知 ,求 （6）已知 的值. 10、已知y= +18,求代数式 的值. 11、细心观察右图和认真分析下列各式,然后解答问题： , ； , ； , ；…… （1）请用含 的（ 为正整数）的等式表示上述变化的规律； （2）推算出 , ； , ； （3）求出 的值. 第六讲 用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式. 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法.它的理论依据就是乘法分配律.多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂. （2）系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式. 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1） （2） 2. 利用提公因式法简化计算过程 计算 3. 在多项式恒等变形中的应用 不解方程组 ,求代数式 的值. 4. 在代数证明题中的应用 证明：对于任意自然数n, 一定是10的倍数. 4、 中考点拨： 【例1】因式分解 【例2】分解因式： 题型展示： 【例4】计算： 【例5】已知： （b、c为整数）是 及 的公因式,求b、c的值. 【例6】 设x为整数,试判断 是质数还是合数,请说明理由. 【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2） （n为正整数） （3） 2. 计算： 的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x、y都是正整数,且 ,求x、y. 4. 证明： 能被45整除. 5. 化简： ,且当 时,求原式的值. 第七讲 运用 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来,就可以得到因式分解的公式. 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当 时,有 （2）当 时,欧拉公式变为两数立方和公式. 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点,熟练地掌握公式.但有时需要经过适当的组合、变形后,方可使用公式. 用公式法因式分解在求代数式的值,解方程、几何综合题中也有广泛的应用.因此,正确掌握公式法因式分解,熟练灵活地运用它,对今后的学习很有帮助. 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把 分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 【例1】已知多项式 有一个因式是 ,求 的值. 3. 在几何题中的应用. 【例2】已知 是 的三条边,且满足 ,试判断 的形状. 4. 在代数证明题中应用 【例3】两个连续奇数的平方差一定是8的倍数. 5、中考点拨： 【例4】因式分解： ________. 【例5】分解因式： _________. 题型展示： 【例6】已知： , 求 的值. 【例7】 已知 , 求证： 【例8】若 ,求 的值. 【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2） （3） 2. 已知： ,求 的值. 3. 若 是三角形的三条边,求证： 4. 已知： ,求 的值. 5. 已知 是不全相等的实数,且 ,试求 （1） 的值；（2） 的值. 第八讲 用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式.使用这种方法的关键在于分组适当,而在分组时,必须有预见性.能预见到下一步能继续分解.而“预见”源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键. 应用分组分解法因式分解,不仅可以考察提公因式法,公式法,同时它在代数式的化简,求值及一元二次方程,函数等学习中也有重要作用. 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解. 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 【例1】把多项式 分解因式,所得的结果为（ ） 【例2】分解因式 2. 在几何学中的应用 【例3】已知三条线段长分别为a、b、c,且满足 3. 在方程中的应用 【例4】求方程 的整数解 4、中考点拨 【例5】分解因式： _____________. 【例6】分解因式： ____________ 【例7】 分解因式： ____________ 5、题型展示： 【例8】分解因式： 【例9】已知： ,求ab+cd的值. 【例10】分解因式： 【实战模拟】 1. 填空题： 2. 已知： 3. 分解因式： 4. 已知： ,试求A的表达式. 5. 证明： 第九讲 用十字相乘法把二次三项式分解因式 【知识精读】 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法,重点是运用公式 进行因式分解.掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数,即把常数项分解成两个数的积,且其和等于一次项系数. 对于二次三项 （a、b、c都是整数,且 ）来说,如果存在四个整数 满足 ,并且 ,那么二次三项式 即 可以分解为 .这里要确定四个常数 ,分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂,因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定. 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解. 【分类解析】 1. 在方程、不等式中的应用 【例1】已知： ,求x的取值范围. 【例2】如果 能分解成两个整数系数的二次因式的积,试求m的值,并把这个多项式分解因式. 2. 在几何学中的应用 【例3】已知：长方形的长、宽为x、y,周长为16cm,且满足 ,求长方形的面积. 3、在代数证明题中的应用 【例4】证明：若 是7的倍数,其中x,y都是整数,则 是49的倍数. 4、中考点拨 【例5】把 分解因式的结果是________________. 【例6】因式分解： _______________ 5、题型展示 【例7】若 能分解为两个一次因式的积,则m的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2 【例8】已知：a、b、c为互不相等的数,且满足 . 求证： 【例9】若 有一因式 .求a,并将原式因式分解. 【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2） （3） 2. 在多项式 ,哪些是多项式 的因式？ 3. 已知多项式 有一个因式,求k的值,并把原式分解因式. 4. 分解因式： 5. 已知： ,求 的值. 第十讲 因式分解小结 【知识精读】 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点. 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤.即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 下面我们一起来回顾本章所学的内容. 【分类解析】 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 【例1】分解因式 2. 通过变形达到分解的目的 【例2】分解因式 3. 在证明题中的应用 【例3】求证：多项式 的值一定是非负数 4. 因式分解中的转化思想 【例4】分解因式： 中考点拨： 【例5】在 中,三边a,b,c满足 求证： 【例6】已知： __________ 题型展示： 1. 若x为任意整数,求证： 的值不大于100. 2. 将 【实战模拟】 1. 分解因式： 2. 已知： 的值. 3. 矩形的周长是28cm,两边x,y使 ,求矩形的面积. 4. 求证： 是6的倍数.（其中n为整数） 5. 已知：a、b、c是非零实数,且 ,求a+b+c的值. 6. 已知：a、b、c为三角形的三边,比较 的大小. 第十一讲 公式变形与字母系数方程 【知识精读】 含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的,但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边,这个式子的值不能为零. 公式变形实质上是解含有字母系数的方程 对于含字母系数的方程,通过化简,一般归结为解方程 型,讨论如下： （1）当 时,此时方程 为关于x的一元一次方程,解为： （2）当 时,分以下两种情况： <1>若 ,原方程变为 ,为恒等时,此时x可取任意数,故原方程有无数个解； <2>若 ,原方程变为 ,这是个矛盾等式,故原方程无解. 含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解,其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况,确定字母的条件. 下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程 【分类解析】 1. 求含有字母系数的一元一次方程的解 【例1】解关于x的方程 2. 求含字母系数的分式方程的解 【例2】解关于x的方程 3. 已知字母系数的分式方程的解,确定字母的条件 【例3】如果关于x的方程 有唯一解,确定a、b应满足的条件. 4. 在其它学科中的应用（公式变形） 【例4】在物理学中我们学习了公式 ,其中所有的字母都不为零.已知S、 、t,试求a. 5、中考点拨 【例5】填空：在 中,已知 且 ,则 ________. 【例6】在公式 中,已知P、F、t都是正数,则s等于（ ） A. B. C. D. 以上都不对 6、题型展示： 【例7】解关于x的方程 【例8】解关于x的方程. 【例9】已知 ,求z.（ ） 【实战模拟】 1. 解关于x的方程 ,其中 . 2. 解关于x的方程 . 3. a为何值时,关于x的方程 的解等于零？ 4. 已知关于x的方程 有一个正整数解,求m的取值范围. 5. 如果a、b为定值,关于x的一次方程 ,无论取何值,它的根总是1,求a、b的值. 第十二讲 如何做几何证明题 【知识精读】 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用.几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系.这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题. 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果）,从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的. 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形.在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的. 【分类解析】 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系.很多其它问题最后都可化归为此类问题来证.证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到. 【例1】已知：如图1所示, 中, . 求证：DE＝DF 【例2】已知：如图2所示,AB＝CD,AD＝BC,AE＝CF. 求证：∠E＝∠F 说明：利用三角形全等证明线段求角相等.常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形. 2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置.证两直线平行,可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明.证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证. 【例3】如图3所示,设BP、CQ是 的内角平分线,AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线. 求证：KH∥BC 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时,则此三角形必为等腰三角形.我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形. 【例4】已知：如图4所示,AB＝AC, . 求证：FD⊥ED 说明：有等腰三角形条件时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是常用辅助线. 证明两直线垂直的方法如下： （1）首先分析条件,观察能否用提供垂直的定理得到,包括添常用辅助线,见本题证二. （2）找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余. （3）证明二直线的夹角等于90°. 3、证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段.（截长法） 【例5】已知：如图6所示在 中, ,∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O. 求证：AC＝AE＋CD （二）延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等于较长线段.（补短法） 【例6】已知：如图7所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上, . 求证：EF＝BE＋DF 4、中考题： 【例7】如图8所示,已知 为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE＝BD,连结CE、DE. 求证：EC＝ED 题型展示： 证明几何不等式： 【例8】已知：如图9所示, . 求证： 【实战模拟】 1. 已知：如图11所示, 中, ,D是AB上一点,DE⊥CD于D,交BC于E,且有 .求证： 2. 已知：如图12所示,在 中, ,CD是∠C的平分线. 求证：BC＝AC＋AD 3. 已知：如图13所示,过 的顶点A,在∠A内任引一射线,过B、C作此射线的垂线BP和CQ.设M为BC的中点. 求证：MP＝MQ 4. 中, 于D,求证： � EMBED Word.Picture.8 ��� 图-3 F E D C B A � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED MSPhotoEd.3 ��� PAGE 49 _1132292777.unknown _1374090375.unknown _1374090408.unknown _1374090425.unknown _1374090433.unknown _1374090441.unknown _1374090445.unknown _1374090447.unknown _1374090449.unknown _1374090451.unknown _1374090452.unknown _1374090450.unknown _1374090448.unknown _1374090446.unknown _1374090443.unknown _1374090444.unknown _1374090442.unknown _1374090437.unknown _1374090439.unknown _1374090440.unknown _1374090438.unknown _1374090435.unknown _1374090436.unknown _1374090434.unknown _1374090429.unknown _1374090431.unknown _1374090432.unknown _1374090430.unknown _1374090427.unknown _1374090428.unknown _1374090426.unknown _1374090416.unknown _1374090420.unknown _1374090422.unknown _1374090423.unknown _1374090421.unknown _1374090418.unknown _1374090419.unknown _1374090417.unknown _1374090412.unknown _1374090414.unknown _1374090415.unknown _1374090413.unknown _1374090410.unknown _1374090411.unknown _1374090409.unknown _1374090392.unknown _1374090400.unknown _1374090404.unknown _1374090406.unknown _1374090407.unknown _1374090405.unknown _1374090402.unknown _1374090403.unknown _1374090401.unknown _1374090396.unknown _1374090398.unknown _1374090399.unknown _1374090397.unknown _