现代控制理论基础总复习

9 第二章 线性系统的数学描述 数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种： 第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达出来，称之 为输入输出描述，或外部描述； 第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统 的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述； 第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。 2.1 线性系统的时域数学模型 对于单输入、单输出线性定常系统，采用下列微分方程来描述： ( ) ( 1) ( 2) 1 2( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( n n n n nc t a c t a c t a c t a c − − −+ + + + +&L 1 ( ) ( m m m mb r t b r t b r t b r t b r t − − −= + + + + +&L ( )c t ( ) ( )n t ( )c t t )t )m (2.1) ( ) ( 1) ( 2) 0 1 2( ) ( ) ( ) 式中， 和 分别是系统的输入信号和输出信号， 为 对时间 的( )r t c n i n= 10 阶导数； ) 和ia ( 1, 2,L jb ( 0,1,j = L )m 是由系统的结构参数决定的系数。 2.2 传递函数 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) m m m m n n n n b s b s b s bC s M sG s R s a s a s a s a N s − − − − + + + += = =+ + + + L L (2.2) 式中 11 1 1m m0 1( ) m mM s b s b s b s− −= + + + +L 1 1n na s a−+ + +L ( b 0 1( ) n nN s a s a s −= + )M s (N s (G s A Bu y C d = +⎧⎨ = +⎩ &x x x 1)sI A B D− + 和 )分别称为传递函数 )的分子多项式和分母多项式。 2.5 线性系统的状态空间描述 u (2.3) 2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系 (2.4) ( ) (G s C= − 2.5.3 状态空间表达式的建立 情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点 12 1n na y a y − −+ + + +&L u= (2.5) ( ) ( 1)1n ny a y 情形二 线性微分方程含有输入的导数(不超过 3 阶)，传递函数有零点 1 nu (2.6) ( ) ( 1) ( ) ( 1 1 0 1 1)n n n n n n ny a y a y a y b u bu b u b − − − −+ + + + = + + + +& &L L 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) n n 1n n n n n b s b s b s bY s U s s a s a s a − − − − + + + += + + + + L L n (2.7) Chp.9 状态空间系统响应、可控性与可观性 9.1 线性定常系统的响应 已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为 13 0( ), (0)B t =u x& 0x ( )tu ( ) (0)at x (2.8) ( ) ( )t A t= +x x 状态变量的初始值为 ，控制作用为 。 状态方程是一阶微分方程组其解为 x t e x= ate 其中，指数函数 可以展成如下无穷级数形式 2 21 11 2! ! ate at a t a 0 1 ! k k k k k t t k k ∞ = = + + + + + =∑L L a 14 A=x& ( ) (0Att e= 一阶向量微分方程的齐次方程 x的解也具有如下形式 ) x x 其中， 2 21 1 2! ! Ate I At A t k k = + + + +L L 0 1 ! k k k k k A t A t ∞ = + =∑ (2.9) 叫做矩阵指数，I为单位矩阵。 式(2.9)无穷矩阵级数的收敛式 Ate 非齐次状态方程(2.8)的求解。 ( ) 0 ( ) (0) ( ) tAt A tt e e B dτ τ τ−= + ∫x x u (2.10) 从式(2.10)可以看出，系统的动态响应由两部分组成：一部分由状态初始值 引起，叫做零输入响应；另一部分由输入信号 引起，叫做零状态响应。 (0x ) ( )tu 9.2 状态转移矩阵(的计算) 一般情况下，线性系统（包括定常和时变）的状态响应方程可以写为 15 ( ) ( ) t Φ t B d 0 ( ) ( ) (0)t Φ t τ τ= + −∫x x u ( )Φ t 0t = (0)x 0t > (tx ( ) τ (2.11) 式(2.11)又称状态转移方程，并称 为状态转移矩阵，它表征系统从 的初 始状态 转移到 的任意状态 )的转移特性。显然，状态的转移性能完全 取决于系统的 A阵。对于线性定常系统有 AtΦ t e= 。 9.2.2 矩阵指数和状态转移矩阵的计算 一、拉氏变换法 1] (2.12) 1( ) [( )AtΦ t e L sI A− −= = − 这种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 实际上是用拉氏变换在频域中求解状态方程。矩阵 ) 称为预解矩阵。 1(sI A −− 二、化矩阵 A 为对角线矩阵和约当矩阵法 如果状态方程的系数矩阵 A为对角线矩阵，即 16 22 0 0 nn a a L L O M L Ate nna te L L O M L 11 0 0 0 0 a A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ M M 可以证明，相应于矩阵 A的矩阵指数 为 11 22 0 0 0 0 0 0 a t a t At e e e ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ M M 9.4 可控性和可观性 17 ( ) ( )A t B t= +&x x u 定理 9-1（可控性的代数判据）设 n阶线性定常连续系统的状态方程为 A B= +x x& u n p n u (2.13) 式中， 、 分别为 维、 维向量，A、B 分别为 nx × 维和 p维实数矩阵。则n× 系统完全可控的充要条件是，系统的可控性矩阵 B2 1kQ B AB A B nA −⎡ ⎤= ⎣ ⎦L 的秩为 n。即 2 1rank rank nkQ B AB A B A B n −⎡ ⎤= =⎣ ⎦L (2.14) 此时称 )( , 为可控矩阵对。 A B 18 定理 9-3（特征值规范型判据）设线性定常连续系统 A B= +x x& u具有互异的特 征值 1 2, , , nλ λ λ ，则系统状态完全可控的充要条件是系统经非奇异变换后的对角L 规范形式 1 n B λ⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦0 λ 0 x x u%O&% % 中 不包含元素全为 0 的行。 B% 定理 9-4（特征值规范型判据）设线性定常连续系统 A B= +x x& u具有重特征值 1 1( )mλ 重 (m， )2 2 ，┅， ( )k kmλ 重 ， n 1 k i i m = =∑ (i j i， )jλ 重 λ λ≠ ≠ ，则系统状态完全可控 的充要条件是，经非奇异变换后的约当规范形式 19 k B A′ 0 1A′⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦0 x x u%O&% % 中 与每一个约当块 )B% ( 1, 2, ,iA i k′ = L 的最后一行相应的那些行的所有元素不完全为 0。 9.4.2 线性定常系统的可观性 定理 9-5（可观性代数判据）设线性定常连续系统的状态空间表达式为 A B= +x x& C u =y x 1 1 g n C C A C A − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ M 构造系统的可观性矩阵 Q 20 则线性定常连续状态完全可观的充分必要条件是其可观性矩阵满秩，即 1rank gQ n= 定理 9-6（特征值规范型判据）设线性定常连续系统的系统矩阵和输出矩阵 分别为 A 和 C，如果系统具有两两互异的特征值，则其为状态完全可观的充分 必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线规范型 1λ⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦0 x x& O n B λ 0 u% C=y x% 的输出矩阵 中不包含元素全为 0 的C% 列。 21 定理 9-7（特征值规范型判据）设线性定常连续系统的系统矩阵和输出矩阵 分别为 A和 C，如果系统具有重特征值 1 1( )mλ 重 ， )2 2(mλ 重 ，┅， ( )k kmλ 重 1 k i i m = ， n=∑ i j i ， )j(λ λ≠ = k ，则系统状态完全可观的充要条件是，系统经非奇异变换后的约当规 范形式 B A′ 01A′⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦0 x x u%O C=y x% &% % 中 与每一个约当块 )C% ( 1, 2, ,iA i k′ = L 的首列相应的那些列的所有元素不全为 0。 第十章 线性反馈系统的时间域综合 10.1 输出反馈与状态反馈 考虑 n维线性定常系统（没有引入反馈） 22 观测方程 状态方程 y n Cxy BuAxx = +=& (10.1) , ,x u 分别为 n维、p维和 q维向量，A，B，C分别为 n× 、 p和 n维的实数 矩阵。下面给出系统的两种反馈形式：输出反馈和状态反馈。 n× q× 一、 输出反馈 输出反馈的目的：首先是使系统闭环稳定，然后在此基础上进一步改善闭 环系统的性能。 输出反馈系统的状态空间表达式为 ( )A BFC= −x x B C+ =u & , y x (2.15) 方便起见，用 , )(A BFC B C− 1)A BFC B−+ 表示输出反馈系统，该系统对应的传递函数为 (2.16) ( ) (FG s C sI= − 二、 状态反馈 若将系统的控制量 u 取为状态变量的线性函数 K= −u r x (2.17) p n×式中，r 为与 u 同维的参考输入向量，K为 的反馈增益矩阵。 引入状态反馈后系统的状态方程和输出方程为 ( )A BK B C= − +x x =r y& , ) x (2.18) 系统 ( ,A BK− B C 对应的传递函数（矩阵为） 23 24 1)sI A BK B−+ , ) (2.19) ( ) (KG s C= − 10.2 极点配置问题 定理 10-1（极点配置定理） 对于单输入、单输出系统 ( ,A B C n ) ，给定任意的 个极点 ( 1, 2,is i n= L i， s 为实数或共轭复数。以这 n个给定极点为根的多项式为 * * 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n i n i * * nf s s s s a s − = = − = +∏ a s a−+ + +L 1 n× A B ( 1,2, )i 那么存在 矩阵 K，使闭环系统 以( , , )K B C− s i n= L * 1 * * 1 1 n 为极点，即 1 det[ ( )] ( ) n n n i n i sI A BK s s s a = − − = − = +∏ s a s a− −+ + +L ( , , )A B C 是状态完全可控的。 的充分必要条件为受控系统 极点配置的设计步骤(掌握下面例子的求解步骤) 例 10-1 给定系统的传递函数为 0 ( ) 10 ( 1)( 2 G s s s s = )+ + 2, 1 j 25 要求利用状态反馈把系统的闭环极点配置在− − ± [ ]1 2 1n nb b b a a a a − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − ⎣ ⎦⎣ ⎦ L L M M M L M LM L L 处。 解 由给定的传递函数可 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 , , 0 0 0 1 0 1n n n A B C b 其传递函数为 1 2 1 2 0 1 1 1 ( ) n n n n b s b sG s 1n n n n b s b s a s − − − a s a − − + + + + + + L L= + + 032 1 ) 23 +++= sss 0 0 1 0 1 u ⎡ ⎤⎥= +⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x& [ ]3 2 2)(1( 1)(0 ++= ssssG 以写出系统的状态方程 ⎢⎢ 0 1 0 0 0 2 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥ 由于系统具有可控标准型的形式，所以系统可控，可以任意配置闭环极点。令 状态反馈增益矩阵为 1K k k k= 则经 K引入状态反馈后的系统矩阵为 26 27 1 0 1 2 3k− − − 3 2 0 1 0 0A BK k k ⎡ ⎤⎢ ⎥− = ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 其特征多项式为 3 2 1( ) ( 2 33) ( 2)sI A BK s k s k s k− − = + + + + + 3 24 6 由期望的闭环极点给出的特征多项式为 ( 2)( 1 )( 1 ) 4s s j s j s s s+ + − + + = + + + [ ]4 4K = 比较上述两个特征方程式可得状态反馈矩阵为 1 10.3 状态重构与状态观测器设计 利用状态反馈能够任意配置系统的闭环极点，有效地改善控制系统的性能。 定理 10-2 （观测器的存在条件）线性定常系统 A B= + =x x u y& Cx (2.20) 具有形式 ( )A GC B G+ +x= −x u y&% % (2.21) 的状态观测器的 充分必要条件是系统不可观部分是渐近稳定的。 定理 10-3 （状态观测器极点任意配置定理）线性定常系统(10.11)，如果其 28 状态观测器的状态方程为 ( )A GC= −x B G+ +x u y&% % (2.22) 则状态观测器可以任意配置极点，即具有任意逼近速度的充分必要条件是系统 A B C= + =x x u y x& (2.23) 状态完全可观。 当实际系统不是可观标准型时，其状态观测器的设计可由下例 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 。 例 10-2(了解过程) 设线性定常系统的状态方程和输出方程为 A Bu= +x x& y C= x 其中 29 30 [ ] 1 0 , 1 1 0 1 C ⎤⎥ =⎥⎥⎦ 1 2 33, 4, 5 1 0 0 0 2 1 , 0 0 2 A B ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢= =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ 试设计一个状态观测器，要求将其极点配置在λ λ λ= − = − = 0 1 , rank 3 4 Q n ⎤⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − 上。 解 ① 检测系统的状态可观性 系统的可观性矩阵Qg及其秩为 2 1 1 1 2 1 4 g g C Q CA CA ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢= = = 所以系统状态完全可观，但不具有规范形式。对于阶数较高的系统，设计其状 态观测器需要将其转化为可观标准型。 ② 确定变换矩阵 T 根据第九章化可观标准型的方法，变换矩阵 T可确定如下 31 1 0 1 0 1 1 1 g − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4 2 1 4 3 1 1 1 0 − ⎥⎥ 1t Q= = 2 11 1 1 1 1 1 1 1 0 , 1 2 4 T t At A t T −⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = − − ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1T −=x% − ③ 化系统为可观标准型 引入线性非奇异变换 x ，则原系统的可观标准型为 A Bu y C=& % %%% % %= +x x x 其中 32 [ ], 0 0 0 1 5 1 A T AT B T B C CT− − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − = = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ % %% G% 1 1 1 0 0 4 3 1 0 8 , 3 ④ 确定可观标准型所对应的反馈矩阵 设在可观标准型表示下，系统的状态观测器的反馈矩阵为 [ ]3 2 1 Tg g%G g=% % % 则可观标准型下，状态观测器的特征方程为 3 21 2 3 ( ) ( 5) ( 8) ( 4)sI A GC s g s g s g− − = + − + + + −% % % % % % 34, 5再根据极点配置要求 1 23,λ λ λ= − = − = 212 47 6f s s s s s s s − 建立对应的特征多项式为 0* 3( ) ( 3)( 4)( 5)= + + + = + + + 比较上述两个特征多项式，令其对应系数相等，则有 33 17, 5 1g g g 23 24 60, 8 4− = + = −% % % G% = 所以可观标准型所对应的反馈矩阵 为 [ ] [ ]3 2 1 T TG g g g=% % % % 64 39 17= G% 1 64 120 0 39 103 4 17 210 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 此外，还可以利用式错误！未找到引用源。确定反馈矩阵 ，求出的结果与上 述结果相同。 ⑤ 确定给定系统状态方程的状态观测器反馈矩阵 G 1 1 1 1 1 2 G TG ⎡ ⎤⎢ ⎥= = − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ % 所以原系统的状态观测器的状态方程为 ( )A GC= −x x Bu Gy+ +) ) 1 120 0 103 1 210 u y ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x) & 119 120 0 103 105 1 210 210 2 − −⎡ ⎤⎢ ⎥= + + 因为状态观测器的输出为重构状态，所以状态观测器的输出方程为 =y x) ) 例 10-3（掌握） 控制对象的状态空间表达式为 ⎥⎦ [ ] 0 1 0 5 1 0y ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ 0 1 u⎡ ⎤⎢−⎣ ⎦ ⎣ = x x x & 1,2 1 j 试设计带状态观测器的状态反馈系统，使反馈系统的极点配置在λ = − ± 解 设计带状态观测器的状态反馈系统可以按照以下步骤进行。 34 ① 检查控制对象的可控性和可观性 由于系统可控矩阵和可观矩阵的秩分别为 35 0 1 2 1 5 [ ]rank rankB AB = = n⎡ ⎤ =⎢ ⎥−⎣ ⎦ 1 0 2 0 1 n⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ]2K k k= rank rankC CA ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥⎣ ⎦ 所以系统是状态完全可控、可观的，从而存在矩阵 K、G使得系统及观测器的极 点可以任意配置。 ② 设计状态反馈矩阵 K 设 1 ，引入状态反馈后系统的特征多项式为 [ 2 1 2(5 )s k s k+ + +( )sI A BK− − = 由系统希望配置的极点确定的特征多项式为 36 2) 2s j s j s s+ − + + = + + 1 23, 2k k= − = 2 ( 1 )( 1 令上述两个特征多项式对应系数相等，可得 即状态反馈矩阵为 [ ] [ ]2 1K k= 2 3k = − 1 2 5s s= = − 10 2s s s+ = + + ③ 设计状态观测器的反馈矩阵 G 取状态观测器的极点为 ，则希望的状态观测器具有的特征多项式为 5 2 2( 5) 设反馈矩阵 G为 37 [ ]2 1 TG g g= 则状态观测器子系统的特征多项式为 2( ) (sI A GC s 2 2 15 ) 5g s g g− − = + + + + 1 20, 5g g= = 令两个多项式相等，解得 即 [ ] [ ]2 1G g= = 5 0T Tg 38 10.4 最优控制问题概论(了解) 最优控制是现代控制理论的核心。 最优控制研究的主要问题是：根据已经建立的被控对象的数学模型，选择一 个容许的控制规律，使得被控对象按预定的要求运行，并使给定的某一性能指 标达到最优值（极大值或极小值）。 如果设计的控制系统可以使某个性能指标达到最佳值，则这个控制系统就称 为最优控制系统。 在最优控制中，性能指标的确定是一个比较复杂的实际问题。 最常用的性能指标:是由状态变量和控制变量的二次型函数的积分表示，这也 是一种常见的最优状态调节器问题。 设线性定常系统的状态方程为 39 A B= +x x& T T u (2.24) 二次型性能指标为 ] 0 [J Q R ∞= +∫ x x u u dt (2.25) 式中，Q为正定（或半正定）实对称矩阵，R为正定实对称矩阵。式(2.25)中的 Tx Qx e表示状态变量与平衡位置 的偏差， = 0x T Ru u与控制功率成正比。 因此,使 J 最小就是使系统的偏差最小,并使控制过程消耗的能量最小。 40 第十一章 李亚普诺夫稳定性 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 稳定性是对控制系统最基本，同时也是最重要的要求。 本章介绍的李亚普诺夫（Lyapunov）稳定性的概念和稳定性判定定理，不仅 适用于线性定常系统，而且还适用于线性时变系统和非线性系统，并且还是一 些先进的控制系统设计方法的基础。 11.1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 设系统的状态方程为 41 ( , t ) (2.26) =&x f x 式中， 是系统的 n维状态向量； )[ xxx 21= ]TnxL t( ,f x ( 1,2, )i是以状态 x i n= L 和时间 t为变量的 n维函数向量。 11.2 李亚普诺夫第一方法 李亚普诺夫第一方法又称为间接法。它适用于线性定常系统和非线性不很严 重的实际系统。李亚普诺夫第一方法的主要结论如下： (1) 线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是，系统矩阵 A 的所有特征值均 具有负实部。 (2) 若线性化系统的系统矩阵 A 的所有特征值均具有负实部，则实际系统就 42 是渐近稳定的。线性化过程中忽略的高阶导数项对系统的稳定性没有影响。 (3) 如果系统矩阵A的特征值中，只要有一个实部为正的特征值，则实际系统 就是不稳定的，并且与被忽略的高阶导数项无关。 (4) 如果系统矩阵 A 的特征值中，即使只有一个实部为零，其余的都具有负 实部，那么实际系统的稳定性就不能由线性化模型的稳定性判定。这时系统的 稳定性将与线性化过程中被忽略的高阶导数项有关。为了判定原系统的稳定性， 必须分析原始的非线性模型。 可见，李亚普诺夫第一方法是通过判定系统矩阵的特征值实部的符号来判 定系统的稳定性，因此又称为特征值判据。 11.3 李亚普诺夫第二方法 李亚普诺夫第二法是基于：若系统的内部能量随时间推移而衰减，则系统最 终将达到静止状态这个思想而建立起来的稳定判据。 设 )为一个二次型函数，则其可表示为 (x 12 1 1 22 2 2 n n nn n V [ ] 11 21 1 2 1 2 ( ) T n n n p p p x p p p x V P x x x p p p x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ L L M L ∑∑ = = = n i n j jiij xxp 1 1 x x x L M M M xV )( 式中，P 为实对称矩阵，即 p 。根据线性代数知识，当 P 的顺序主子式全ij jip = 43 大于零，即 11 2111 12 11 21 22 1 2 0, 0, , n n p p p pp p p p p p p > > L M M 12 1 22 2 0 n n nn p p p > L L M L (V x (V x =x f& ( , )t 成立时，称矩阵 P 是正定矩阵，并可以证明 )是正定的。如果 P 的所有主子 行列式为非负时，则 )是半正定的。 定理 11-1（李亚普诺夫稳定性定理）设系统状态方程为 ( , )tx ，且 =0 0 0( )t t≥ 0≠x ( )V >x f 当选定 （相当于系统受到扰动后的初始状态）， 0 后 (1) 若 0，则系统是渐近稳定的（如果随着( )V x& (3) 若 0，但 )不恒等于零（除了 0( )V x& (V x& ( )V≤ =0& (x& 2 2 1 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) x x x x x 以外），则系统是渐近稳定的； 但是若 )恒等于零，按照李亚普诺夫关于稳定性的定义，系统是稳定的，但 不是渐近稳定的。系统将保持在一个稳定的等幅振荡状态。 V 例 11-1 设系统的状态方程为 2 1 2 2 1x x x x x = − + = − − + & & 试确定该系统的稳定性。 解 先构造一个正定的能量函数，例如 45 46 2 2 1 2( )V x x= +x [ ]2221212 )( xxxx +−− V