5+状态空间法++总结

1 第5章 基于状态空间模型的设计法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf —计算机控制系统— 本章首先讲述连续状态空间模型离散化的方法，系 统可控性、可观测性与稳定性的判别，然后讲述给定闭 环极点的极点配置设计法，以及最优控制和最优估计。 • 5.1 控制系统的离散状态空间描述 • 5.2 离散系统的能控性、能观性与稳定性 • 5.3 极点配置设计法 • 5.4 线性二次型最优控制 —计算机控制系统— 称 G为系统矩阵，或状态转移矩阵； H为控制矩阵(控制输入矩阵、控制转移矩阵)； C为输出矩阵(观测矩阵)。 线性系统的离散化 连续系统离散化公式： （5-3） ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k      x Gx Hu y Cx 其中 G = eAT H = (0 T eAt dt)B 对式(5-1)表达的线性定常系统      lmnR RR l mn , , yCxy uxBuAxx —计算机控制系统—  求矩阵指数及其积分 的常用方法： a) 拉普拉斯反变换 b) 矩阵指数函数有限多项式分解法 c) 迭代求级数和法（具有一般性的计算机求解法） d) 利用MATLAB等工具 0 , d T T tG e H e t   A A B —计算机控制系统— 1、拉普拉斯变换法 下面我们通过例子来说明用拉普拉斯变换法求 【例5-1】 已知原连续系统的系数矩阵 2012/5/1 5       32 10 A 并设采样周期为T =1，求矩阵G。 e TA —计算机控制系统— 1 1e [( ) ]t L s  A I A        32 1 s s s AI )2)(1()23( 2  sssss AI                   )2)(1()2)(1( 2 )2)(1( 1 )2)(1( 3 )( 1 ss s ss ssss s s AI 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2e e e e [( ) ] 2e 2e e 2e 0.6004235 0.2325441 0.4650882 0.0972088 T eL s                                A I AG 解 : 在连续系统理论中，我们已证明：       32 10 A ∴ —计算机控制系统— )( 1 0 20 10 tuxx                                                                         t t t s sssL s s LsL 2 2 1 1 111 e0 )e1( 2 1 1 2 1 0 2 11 2 11 20 1 ])[(e AIA                   T T T T T 210 1 e0 )e1( 2 1 1 e 2 2 A G 2 0 2 1 1 e 02 4 4 e d 1 1 e 2 2 T T t T T t T                       A H B ( 1) ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) 0 1 2 k k k T k k T T                x Gx Hu x u 【例5-2】试将下列状态方程离散化 则 解 ， —计算机控制系统— 2、矩阵指数函数有限多项式分解法 TAe     1 0 )(e n i i i T Ta AA )(Tai ),,1( nii  1 2 1 2 1 0 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 e ( ) 1 e ( ) 1 e n n T n T n T n n n n a T a T a T                                                   可以表示为一个有限多项式： 其中 可由矩阵的特征根求得。 当A具有各不相同的特征根 —计算机控制系统—       32 10 A AI A )()(e 10 TaTa T  ,2,1 21   1 2 1 2 0 1 2 1 2 ( ) 1 2e ee ( ) 1 e ee T T T T T T a T a T                                2 2 2 2 2e e e e e 2e 2e e 2e T T T T T T T T T                     A G 【例5-3】已知原连续系统的系数矩阵 求矩阵G。 不难求出矩阵A的两个特征根为 则有 解：n=2，则有 那么 —计算机控制系统— uxx           1 0 10 10 d d t )1()det(   AI 1,0 21   1 0.63212051 1 e e 0 0.36787940 e T T T                A G 1 0 e 1 e 0 1 e T T t T T T dt             A G 1 0.3678794e 1 0.63212051 e T T T                  H G B )( 6321205.0 3678794.0 )( 3678794.00 6321205.01 )1( kkk uxx         【例5-4】已知系统的状态方程为 求其精确离散化状态方程。取采样周期T=1。 解 令 于是，原连续系统精确离散化后的状态方程为 —计算机控制系统—     0 22 ! ... !2 e K kk T k TT T AA AI A AGIG A 1e  T      1 1 1 !K kk k TA G BG B A B A BH A 1 1 1 0 1 0 !)!1( e                          K kk k kk T T k T k T dt 3、迭代求级数和的方法 对于低阶系统，用以上两种方法求G、H矩阵比较简便。对于高 阶系统，则宜用迭代求级数和的方法，这是一种通用的方法。 根据矩阵指数的定义，有 那么 其中 同时可求得： —计算机控制系统— • 可按下列算式编程计算G、H： • （5-10） —计算机控制系统— 实际计算中，由于计算机字长的限制，当矩阵范数 很大时，直接用式(5-10)计算G、H，可能出现数值 溢出(上溢)的情况；还可能出现级数收敛速度太慢的问题。 对这两种情况，都可采用折半-加倍公式。 TA —计算机控制系统— —计算机控制系统— 5.1.4 离散系统的解 • 离散时间状态方程求解一般有两种方法：递推法(迭代法) 和Z变换法。前者对定常、时变系统都适用，而后者只适 用于定常系统。 —计算机控制系统— 离散时间状态方程求解之递推法 —计算机控制系统— —计算机控制系统— • 【例5-6】 —计算机控制系统— • 在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性 (Observability)是两个重要的概念，它是卡尔曼 (Kalman)在1960年提出的。 • 能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入u(t)对系统 内部状态x(t)的控制能力，另一种是控制输入u(t)对系统输 出y(t)的控制能力。但是一般没有特别指明时，指的都是 状态的可控性。 • 所以，系统的能控性和能观性研究一般都是基于系统的状 态空间表达式的 5.2 离散系统的能控性、能观性与稳定性 —计算机控制系统— 5.2.1 离散系统的可控性 能控的定义： n阶线性定常离散系统： (5-13) 如果存在有限步的控制信号序列u(k)，u(k+1)，…， u(n-1)，使得系统第k步上的状态x(k) 能在第n步到达零状 态，即x(n)＝0，其中n是大于k的有限正整数，那么就说 系统第k步上的状态x(k)是能控的；如果第k步上的所有状 态都能控，则称系统(5-13)在第k步上是完全能控的。进 一步，如果系统的每一步都是可控的，那么称系统(5-13) 完全可控，或称系统为能控系统。 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) k T k k k k      x Gx Hu y Cx —计算机控制系统— 【定理5.1】判别n阶线性定常离散系统 (5-14) 能控的充要条件是能控判别阵 (5-15) 的秩等于n。 即 (5-16) ][ 1HGGHHC  no nn  ]rank[ 1HGGHH  ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) k T k k k k      x Gx Hu y Cx —计算机控制系统— • —计算机控制系统— • 用MATLAB 函数ctrb(G，H)求系统的能控判别矩阵Co，即 Co=ctrb(G，H) • 用MATLAB 函数rank( )求Co的秩。 —计算机控制系统— 5.2.2 离散系统的可观性 • 能观的定义： 系统(5-17) 如果根据第i步及以后有限步的输出观测y(i)，y(i+1)，… ，y(N)，就能唯一的确定第i步的状态x(i)，则称系统(5- 17)能观。 • 对于线性定常离散系统，不失一般性，我们可设i=0，即 从第0步开始观测，确定的是x(0)的值。 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) k T k k k k      x Gx Hu y Cx —计算机控制系统— 【定理5.2】n阶线性定常离散系统(5-17) 完全能观的充要条件为能观判别阵 (5-18) 的秩等于n，即 (5-19) T1][  nCGCGCO b nn  T1]rank[ CGCGC  ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) k T k k k k      x Gx Hu y Cx —计算机控制系统— —计算机控制系统— • MATLAB中可以用obsv(G，C)函数求系统的能观判别 矩阵Ob，并用rank(Ob)求Ob的秩。下列MATLAB程序 可以求出例5-10的Ob阵及其秩。 • %Example 5_10 • G=[2 3;-1 -2];C=[2 0;-1 1]; • Ob=obsv(G,C); • ROb=rank(Ob) • 运行结果为： • Ob = • 2 0 • -1 1 • 4 6 • -3 -5 • ROb = 2 —计算机控制系统— 5.2.3 稳定性分析 • 系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。外部稳定又 称作输出稳定，也就是当系统在干扰取消后，在一定时间 内，其输出会恢复到原来的稳态输出。输出稳定有时描述 为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系 统输出。系统内部稳定主要针对系统内部状态，反映的是 系统内部状态受干扰信号的影响。当扰动信号取消后，系 统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则 称系统状态稳定。 —计算机控制系统— 1、 基于状态空间模型的外部稳定性判别 与连续系统一样，矩阵 其根即为矩阵G的特征值，也称为系统的极点、特征根。 欲使系统稳定，必须使特征方程 )( GI z GI z GI z GI z 称为矩阵G的特征矩阵； 的展开式称为矩阵G的特征多项式； =0 称为矩阵G的特征方程，即系统的特征方程， 亦即矩阵G的特征值，全部位于z平面的单位圆内部。 =0的根， —计算机控制系统— 2、 Liapunov稳定性 1、基本概念(定义) 平衡状态 ：设不受外力的系统状态方程为 ， 是 n 维状态向量函数。若系统存在一个状 态xe， ，则称xe为系统的平衡状态。 平衡状态也称为平衡点，其物理意义可以解释为所有状 态的变化速度为零，即是静止状态，故称平衡点。 Liapunov稳定性：如果对于任意小的 > 0，均存在一 个 ，当初始状态满足 时，系统运动 轨迹满足lim ，则称该平衡状态xe 是李雅 普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。 ),()( tt xfx  ),()( tt xfx 、 0),(,  tt exf 0),( 0 t  exx0  ett xxx ),;( 00 —计算机控制系统— 称此平衡状态是渐近稳定的。 大范围稳定性 ：当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称 此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。 此时 0),;(lim 00   e t tt xxx  )(S x ( )S  ( )S  一致稳定性 ：通常δ与、t0 都有关。如果δ与t0 无关，则称平衡状态是 一致稳定的。定常系统的δ与t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定 是一致稳定的。 渐近稳定性：系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且 有 。对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性， 因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性系统的稳定性一般与初始 条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。 不稳定性：不论δ取得得多么小，只要在 内有一条从x0 出发的 轨迹跨出 ，则称此平衡状态是不稳定的。 —计算机控制系统— 注意，按Liapunov下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡 运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，只要不超过 ( )S  ，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和非线性系 统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异 的。经典控制理论的稳定是Liapunov意义下的一致渐近稳定。 内部稳定与外部稳定的关系： (1) 内部稳定的系统外部一定稳定； (2) 外部稳定的系统不能保证内部稳定； (3) 完全能控和能观系统，则外部稳定与内部稳定等价。 —计算机控制系统— 2、离散系统渐近稳定的判别 设系统状态方程为 ，式中G 阵非奇异， 原点是平衡状态。选正定对称矩阵P，取正定二次型函数 有 (5-20) 令 (5-21) 式(5-21)称为Liapunov方程。 是系统 的一个Liapunov函数，于是有 • (5-22) )()1( kk Gxx  )()()]([ T kkkV Pxxx  )(])[( )()()1()1()]([Δ TT TT kk kkkkkV xPPGGx PxxPxxx   QPPGG T )()()]([ T kkkV Pxxx  )()()]([Δ T kkkV Qxxx  —计算机控制系统— 设xe=0为线性系统 的一个平衡状态，构造 正定二次型函数 (即P为正定对称 矩阵)，使得 存在。根据 的符号性质， ①若 (即Q负定)，则xe=0不稳定； ②若 (即Q正半定)，则xe=0李雅普诺夫稳定； ③若 (即Q正定)，或者 但 时 不恒为零，则xe=0渐进稳定。对于 线性定常系统，是大范围渐进稳定。 )()1( kk Gxx  )()()]([ T kkkV Pxxx  )()()]([Δ T kkkV Qxxx  )]([Δ kV x 0)]([Δ kV x 0)]([Δ kV x 0)]([Δ kV x 0)]([Δ kV x 0)( kx )]([Δ kV x 稳定性判据: 应当指出，上述稳定性判据只是一个充分条件，并不是必要条件。 —计算机控制系统— 判别离散系统稳定性的步骤: • Liapunov稳定性判据构造正定实对称矩阵P，判别 Q，如果Q 正定(或正半定)，则系统稳定。 • 简便的方法是:先给定任一正定(或正半定)实矩阵Q (常取Q＝ I)，然后通过Liapunov方程 求出实对称矩阵 P ，最后通过Sylevester准则判别P的正定性。如果P>0(P正 定)，则系统稳定。 QPPGG T —计算机控制系统— 【例5-12】 设系统矩阵为     9.00 18.0 G 试分析系统稳定性。 —计算机控制系统—                                 10 01 9.00 18.0 9.00 18.0 2212 1211 2212 1211 pp pp pp pp T     11.9594.7 94.778.2 P 02012Δ,078.21Δ  P 解：很明显xe=0 为系统唯一平衡点，用Liapunov方 程判断其稳定性。 取Q=I；而且P是对称阵，P12=P21，则Liapunov方程 为： 解得， 根据赛尔维斯特准则， 可知P>0，所以xe =0为大范围渐进稳定。 —计算机控制系统— 5.3 极点配置设计法 闭环系统的极点分布与系统的控制性能之间存在密切的 关系。在已知被控制对象的状态空间模型的前提下，可按极 点配置来设计控制器，使得闭环系统既有克服扰动的能力， 又有跟踪给定值r（参考输入）的能力。为了便于设计，通 常把连续对象离散化，变成离散对象。 —计算机控制系统— 基于状态空间模型按极点配置设计的控制器是由 两部分组成：一部分是状态观测器，它根据所量测到 的输出 重构出状态 ；另一部分是控制规律， 它直接反馈重构的状态 ，构成状态反馈控制。 其结构如图所示。 )(ky )(ˆ kx )(ˆ kx —计算机控制系统— 根据分离性原理，控制器的设计可以分成两个独立的部 分： • 一、按控制极点配置设计控制律 • 二、按观测极点配置设计状态观测器 • 三、把两者结合起来，构成状态反馈控制器。 注：控制极点即期望的闭环系统极点 观测极点即状态观测器的极点 —计算机控制系统— 设控制律为线性状态反馈，即 （5-23） 将式(5-17)代入式(5-8)，得到闭环系统的状态方程为 （5-24） 按控制极点配置设计控制律 )()()( kkKk rxu         )()( )()1( kk kk Cxy xHKGx 0)(  HKGIz 显然，闭环系统的特征方程为 问题是设计反馈控制律K，以使得闭环系统具有所需要的极点配置 —计算机控制系统— • 1）根据对系统性能的要求，确定期望的闭环系统的控 制极点 ； • 2）闭环系统特征方程为 • 3）由 • 求出K nizi ...,2,1,  )()( zz c HKGI 1 2 3( ) ( )( ) ( )c z z z z z z z      1 1 n n nz z     0 —计算机控制系统— K的求解方法： • (1)系数匹配 若将式(5-18)左边的行列式展开，并比较两 边z的同次幂的系数，则一共可得到n个代数方 程，可解得K的各个元素。 （5-33） )()( zz c HKGI —计算机控制系统— • (2) 矩阵运算 P121（5-51） —计算机控制系统— 使用极点配置方法的注意问题 • (1)首先应注意到，系统完全可控是求解该问题的充分必要 条件。若系统有不可控模态，利用状态反馈不能移动该模 态所对应的极点。 • (2)理论上，通常加大反馈增益可以提高系统的频带，加快 系统的响应。但过大的反馈增益，在一定的误差信号时， 必然增大控制作用u(k)的幅值。控制信号的幅值受物理条 件的限制，不能无限增大。所以，工程设计时，要考虑到 所求反馈增益物理实现的可能性。 • (3)实际应用极点配置法时，首先应把闭环系统希望特性转 化为z平面上的极点位置。 • (4)系统阶次较低时，可以直接利用系数匹配法：系统阶次 较高时，利用计算机求解。 —计算机控制系统— 5.3.2 基于极点配置的观测器设计      )()( )()()1( kk kkk Cxy HuGxx )()(ˆ)1(ˆ kkk HuxGx  前面讨论按预定极点配置设计控制律时，假设全部状态 均可直接用于反馈。实际上采用全状态反馈是不现实的。为 了实现状态反馈，除了可以利用不完全状态反馈或输出反馈 外，最常用的方法是利用观测器(估计器)来观测、估计系统 的状态。 给定系统的状态方程为 观测估计系统状态的最简单方法是，构造系统的一个模型 —计算机控制系统— 状态估计： 图5-6 开环估计器结构图 估计误差： 估计误差状态方程： ( 1) ( ) x k Gx k ˆ x x x ˆ ˆ( 1) ( ) ( )  x k Gx k Hu k 1. 如果原系统是不稳定的，那么观测 误差将随着时间的增加而发散； 2. 如果F 阵的模态收敛很慢，观测值 也不能很快收敛到的值，将影响观测 效果。 3. 开环估计只利用了原系统的输入信 号，并没有利用原系统可测量的输出 信号。 —计算机控制系统— 利用原系统输出与估计器输出之间的观测误差修正模型 的输入，构成闭环估计器。 由于利用系统输出值不同，有2种实现状态闭环估计的方 法：一种方法是利用y(k-1)值来估计状态x(k)值——预报观测 器；另一种方法是利用当今测量值y(k)估计x(k)值——现时观 测器。 预报观测器和现时观测器都是全维观测器。 5.3.2.1 全维观测器的设计 —计算机控制系统— (a)现时观测器 (b) 预报观测器 —计算机控制系统— 2012/5/1 50 —计算机控制系统— （1）现时观测器的设计 现时观测器方程   )1()(][)(ˆ][ ))]()(ˆ()1([)()(ˆ )1()1()1()1(ˆ    kkuk kukkkuk kykyLkxk LyLCHHxLCGG HxGCyLHxG x )(~][)1(ˆ)1()1(~ kkxkxk xLCGGx  观测器设计的基本问题是要及时地求得状态的精确估计 值，也就是要使观测误差能尽快地趋于零或最小值。从观测 误差方程可见，合理地确定增益L矩阵，可以使观测器子系 统的极点——观测极点位于给定的位置，加快观测误差的收 敛速度。 观测误差方程 现时观测器方程 —计算机控制系统— 在给定了观测器期望极点后，确定增益L矩阵的问题与配 置极点设计反馈控制律的问题相同。 0)()(  zz oLCGGI 现时观测器的特征方程 L具有唯一解的充分必要条件是系统完全能观。即 n n            1 rank CG CG C  —计算机控制系统—                                   1 0 0 )( 1 0 0 )( 11 1 2   OGG CG CG CG GL o n o 现时      Cxy BAxx u 0)( zo 确定增益L的计算过程： 已知 并给定观测器期望极点 1)将给定观测器期望极点形成 2)求G、H 3) —计算机控制系统—                                    1 0 0 )( 1 0 0 )( 1 1 1   OG CG CG C GL o n o 预报 )()()(ˆ][ )](ˆ)([)()(ˆ)1(ˆ kkuk kkkukk LyHxLCG xCyLHxGx   )(~][)1(~ kk xLCGx  预报观测器方程 观测误差方程 （2）预报观测器的设计 —计算机控制系统— 2、 降维观测器的设计 前面讨论的预报观测器和现时观测器都是根据输出量 重构出全部状态，即观测器的维数等于状态的个数，因此 也称为全维观测器。在大部分系统中，所能量测到的输出 量也就是系统的一部分状态。因而只需根据这部分状态， 再重构出其余不能量测的状态。这样便可得到较低阶的状 态观测器，称为降维观测器。 —计算机控制系统— )](ˆ)()()1([)]()([)(ˆ )1(ˆ kkukkkukk k babaaaaabababbb b xGHxGxLHxGxG x   )(~][ )](ˆ)(][[)1(ˆ)1()1(~ k kkkkk babbb bbabbbbbb xLGG xxLGGxxx   降维观测器方程为 其状态重构误差为 降维观测器的增益矩阵L为                         1 0 0 )( 1 11   n bbab bbab ab bbobb GG GG G GL 降维 —计算机控制系统— 【例5.15】被控制对象的状态方程仍同例5.13，采样周期 T=0.1s，要求确定L。 (1) 设计现时观测器，并将观测器特征方程的两个极点配 置在z1,2=0.2 处。 (2) 设计预报观测器，并将观测器特征方程的两个极点配 置在z1,2=0.2 处。 (3) 假定x1是能够量测的状态，x2是需要估计的状态，设计 降维预报观测器，并将观测器特 征方程的极点配置在z=0.2 处。 —计算机控制系统— • 解 ，C=[1 0]， • 1) 2） • 3）由 ， ， • 得 2012/5/1 58     10 1.01 e TAG                 1010 01 1.01 01 11 1 CG C O              4.6 96.0 1 0 )04.04.0( 1 0 )( 11211 OGIGGOGGL o现时              4.6 6.1 1 0 )04.04.0( 1 0 )( 121 OIGGOGL o预报 ]1.0[abG ]1[bbG 2.0)(  zzobb 3)   1 2 1( ) [1] (1 0.2) 0.1 1 8obb bb ab         L G G降 —计算机控制系统— 5.3.3 基于极点配置的控制器设计 按极点配置设计的状态观测器和控制律组成了状态反馈的 比例控制器。另外，为了克服扰动和消除静差，还要引入积分 控制。实用控制器如下图所示。分两步设计控制器： 1) 调节器设计 假设r(k)=0，按极点配置方法设计出状态观测器和控制律， 以保证系统具有满意的稳定性和克服扰动的能力，使系统从非 零的初始状态回到零状态时具有较好的调节性能。 2）跟踪问题 然后再引入给定值r(k)，以使系统具有满意的跟踪性能及 稳态精度。 —计算机控制系统— 控制器结构图 —计算机控制系统—      )()( )()()1( kky kukk Cx HGxx      )(ˆ)( )](ˆ)([)()(ˆ)1(ˆ kku kkykukk xK xCLHxGx      )(ˆ)()()1(ˆ )(ˆ)()1( kkk kkk xLCHKGLCxx xHKGxx                  )(ˆ )( )1(ˆ )1( k k k k x x LCHKGLC HKG x x 0)()( )(          zz zzzz oc   LCGIHKGI LCHKGLC HKG I 由上式可以求得闭环系统的特征方程为 被控制对象的离散状态方程 控制器由预报观测器和状态反馈控制律组合而成 由上两式构成的闭环系统的状态方程可写成 —计算机控制系统— 在设计控制器时，控制极点是按照对闭环系统性能的要 求来设置的，因而控制极点成为整个闭环系统的主导极点。 观测器极点的设置应使状态重构具有较快的跟随速度。如果 量测输出中无大的误差或噪声，则可以考虑将观测器极点都 设置在原点。如果量测输出中含有较大的误差或噪声，则可 以考虑按观测器极点所对应的衰减速度比控制极点所对应的 衰减速度快约4或5倍的要求来设置。 —计算机控制系统— 观测器类型的选择应考虑以下两点： (1)如果控制器的计算延时与采样周期处于同一量级，则 可考虑选用预报观测器，否则可选用现时观测器； (2)如果量测输出比较准确，而且它也是系统的一个状态 ，则可考虑选用降维观测器，否则可选用全维观测器。 —计算机控制系统— • 下面通过一个例子来说明控制器的设计步骤。 • 【例5-16】 2012/5/1 64 —计算机控制系统— 5.4 线性二次型最优控制 假设过程对象是线性定常的，且可以是多输入和多输出。 若系统性能指标（系统目标泛函）是状态和控制信号的二次 型函数，则系统设计问题称为线性二次型（linear quadratic， LQ）控制问题。若涉及的是调节系统，则系统设计问题称为 线性二次型状态调节器（linear quadratic regulator）设计， 简称LQR设计。 —计算机控制系统— 5.4.1 LQR问题的描述 • 完全可控的被控对象: 0)0()()()( xxBuAxx  ttt • 取系统目标泛函J为线性二次型函数   NT TTT dtttttNTNTJ 0 )]()()()([ 2 1 )()( 2 1 RuuQxxSxx 正定对称阵 非负定对称矩阵 —计算机控制系统— • 系统控制的目的是设计最优控制律（最优反馈增益矩阵） ， k=0,1,…,N-1 • 最优控制: • 使性能指标J为最小。 )(kK )()()(* kkk xKu  —计算机控制系统— • 当N为有限时，称为有限时间最优调节器问题。实际上应 用最多的是要求N→∞，设计无限时间最优调节器，计算 的稳态解K，这称为离散系统稳态线性二次型状态调 节器问题。 ( )kK —计算机控制系统— 性能指标的物理意义： • 二次型性能指标式的物理意义是，在能耗不太大的条 件下，使整个控制过程的状态偏差尽可能小，尤其 是 。当Q相对R大时，表示强调偏差的最小化， 有可能通过大的控制能量迅速到达期望值：而Q相对R 选择得小时，表示强调控制能量最小化。   NT TTT dtttttNTNTJ 0 )]()()()([ 2 1 )()( 2 1 RuuQxxSxx )(NTx —计算机控制系统— • 式中加权矩阵S 、Q和R至少为非负定对称矩阵，否则性能 指标式的数学描述就会违背物理现实和最优控制的意义。 至于要求R为正定对称阵，是为了保证系统最优解的存在。 —计算机控制系统— 5.4.2 二次型性能指标函数的离散化     1 0 2 T 12 T 1 TT )]()()()(2)()([ 2 1 )()( 2 1 N k kkkkkkNNJ uRuuRxxRxSxx   NT TTT dtttttNTNTJ 0 )]()()()([ 2 1 )()( 2 1 RuuQxxSxx dtt T tT AA QR ee 0 1  BQR AA ]d)de(e[ 00 12 t tT tT  Tdtd tT tT T RBQBR AA   ])e(e[ 002   离散的二次型性能指 标中增加了状态变量 与控制变量的交叉乘 积项。 —计算机控制系统— • 一般情况下，也可直接给出如下离散的二次型性能指标： • （) 1 T T 2 0 1 1 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 2 N T k J N N k k k k     x Sx x Qx u R u —计算机控制系统— 5.4.3 LQR最优控制律计算 SP )(N ])1([])1([)( T12 T1T 2 RGPHHPHRK   kkk )]()[1()]([)( T kkkk HKGPHKGP  )()()()( 12 T 12 T 12 T kkkk KRRKRKRK  其中 0,,2,1  NNk —计算机控制系统— —计算机控制系统— —计算机控制系统— —计算机控制系统— 计算Z、W的递推公式为 —计算机控制系统— —计算机控制系统— —计算机控制系统— • 如果被控对象是以离散状态方程给出，要求解离散稳态线 性二次型状态调节器，则用函数dlqr()与dlqry()。函数的调 用格式为： • [K,S,E]= dlqr(A,B,Q,R,N) • [K,S,E]= dlqry(A,B,C,D, Q,R,N) • 其中，输入参量A为系统的离散域状态矩阵G；B为系统的 离散域输入矩阵H；Q为给定的正定或半正定实对称矩阵， 即式(5-28)中的R1；R为给定的正定实对称矩阵，即式(5- 28)中的R2；N代表更一般化性能指标中交叉乘积项的加权 矩阵，即式(5-19)中的R12。输出参量K为离散最优反馈增 益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正定解P；E为A-BK的 特征值。 —计算机控制系统— • 函数dlqry()用来求解二次型状态调节器的特例，这个 特例就是用输出反馈替代状态反馈。即有： • 其性能指标则为： )()( kk Kyu      0 TT )]()()()([ 2 1 k kkkkJ RuuQyy —计算机控制系统— • 本节首先在假设所有状态都可用的条件下给出LQ问题的最 优控制律。如果全部状态是不可测的，就必须估计出它们。 • 如果在过程模型中考虑了高斯随机扰动，则称为线性二次 型高斯LQG(Linear Quadratic Gaussian)控制问题。对随 机扰动过程，可以求出使估计误差的方差为最小的最优估 计器，它称为Kalman(卡尔曼)滤波器，这种估计器的结构 与状态观测器相同，但其增益矩阵L的确定方法不同，而 且它一般是时变的。MATLAB 的kalmand（）函数可设计 Kalman滤波器。读者可参考有关资料。 • LQG控制器由Kalman滤波器（最优估计器）和LQR最优反馈 控制律两部分构成。 —计算机控制系统— 5.4.4 LQR与Liapunov最优状态反馈设计的关系 • Riccati方程 • Liapunov方程 T 1 1 T 1[ ]    P Q G P HR H G QPPGG T   NT TTT dtttttNTNTJ 0 )]()()()([ 2 1 )()( 2 1 RuuQxxSxx —计算机控制系统— —计算机控制系统— 5.4.5 LQ设计与极点配置设计的比较 • 共同点：由观测器（估计器）和反馈控制律两部分构成。 并且根据分离性原理，这两部分设计分开进行。 —计算机控制系统— 区别： • （1）系统性能指标。极点配置法用的性能指标对应的 是系统期望极点；LQ法是达到某种二次型性能指标函 数最优（最小）。 • （2）系统模型。极点配置法主要只用于单变量系统， 而且是确定性系统；LQ法适用于多变量和时变系统， LQG考虑的是随机模型。 • （3）控制量的限制问题。实际工程中，执行机构所能 提供的物理控制量的幅度和总能量都是有限的。极点 配置法难以考虑这个问题（需要反复凑试）；LQ法比 较容易通过控制量的加权矩阵来解决这个问题。