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第七章差分方程模型

第七章差分方程模型nullnull7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长第七章差分方程模型null7.1 市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡null蛛网模型xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点一旦xk=x...

nullnull7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划 ——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长第七章差分方程模型null7.1 市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡null蛛网模型xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0 null设x1偏离x0x1P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点蛛网模型null在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致null ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量考察 ,  的含义 ~ 消费者对需求的敏感程度 ~ 生产者对价格的敏感程度小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格结果解释null经济不稳定时政府的干预办法1. 使  尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变2. 使  尽量小，如  =0靠经济实力控制数量不变结果解释null模型的推广生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件null(c1, c2由初始条件确定)平衡点稳定，即k, xkx0的条件:模型的推广null7.2 减肥计划——节食与运动背景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.525 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖.null模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。null某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。null 确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡基本模型w(k) ~ 第k周(末)体重c(k) ~第k周吸收热量1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡 w=100千克不变null 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周, 每周减1千克，第10周末体重90千克1）不运动情况的两阶段减肥计划null 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克 1）不运动情况的两阶段减肥计划null 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克 null运动 t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划t~每周运动时间(小时)null3）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变null7.3 差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口)yk ~某种群第k代的数量(人口)若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点null离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程 (1)的平衡点y*=N讨论 x* 的稳定性变量代换null(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识null平衡点稳定性另一平衡点为 x=0nullnull初值 x0=0.2数值计算结果b=3.3, x两个极限点b=3.45, x4个极限点b=3.55, x8个极限点null倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论单周期不收敛2倍周期收敛(*)的平衡点x*不稳定，研究x1*, x2*的稳定性null倍周期收敛null倍周期收敛的进一步讨论出现4个收敛子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+32n倍周期收敛, n=1,2,…bn~ 2n倍周期收敛的上界b0=3, b1=3.449, b2=3.544, …n, bn3.57b>3.57, 不存在任何收敛子序列nullnull7.4 按年龄分组的种群增长不同年龄组的繁殖率和死亡率不同建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,… , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… 以雌性个体数量为对象第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- dinull假设与建模xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量预测任意时段种群按年龄组的分布null稳定状态分析的数学知识P的第1列是x*解释L对角化null稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关。~ 各年龄组种群数量按同一倍数增减， 称固有增长率~ 各年龄组种群数量不变null ~ 1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1稳态分析~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比

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