三年级奥数

《虚拟课堂》每周一练，有两种答题方式： 1、不看答案，一道题、一道题地做下去，直到这一组题全部做完，最后与老师的答案进行交流反馈，看看本周的练习准确率给自己作出一个实际的评价。 2、从第一道题开始，每做完一道题马上核对答案，然后再做下一道题，直到最后一道题。遇到不懂的题请仔细阅读老师的例题分析，经过独立思考直至把疑点解开。 小朋友，你看懂老师提出的要求了吗？ 请你选择一种做题方式，开始做题吧！ (一)第一周训练目标： 1、首先要能熟练而正确地进行加、减计算。 2、要了解题目的特点，选用合理灵活多样的确计算方法。 3、不但会笔算，还要会心算；更要会简算和巧算。 （二）例题传授： 1、31＋28＋33＋30＋29＋24 = 分析：先确定一个数作为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 基数，并将其他数与这个数作比较，在基准数倍数（若干个加数）上加上多出的数，减去不足的数。 原式=（30＋1）＋（30－2）＋（30＋3）＋30＋（30－1）＋（30－6） =30×6＋1－2＋3－1－6 =175 2、计算：19＋199＋1999＋19999 分析：此题利用补数的方法，将每个加数加1后凑成整十、整百、整千……的数计算，然后再减去4个补数的和。利用靠近整十、整百、整千…整数进行补数的方法，可以使计算变得简便、快捷。 原式=（20－1）＋（200－1）＋（2000－1）＋（20000－1） =22220－4 =22215 3、计算1981＋8128＋8019＋1872 分析：根据加法的结合率和交换率，可先将两个互为补数的数结合在一起，进行“凑整”找朋友计算，然后再计算这两个数和的和。 原式=（1981＋8019）＋（8128＋1872） =10000＋10000 =20000 4、计算2676－（289＋676） 分析：先减去与被减数有相同尾数的减数。 因为： （1）一个数减去几个数的和等于从这个数中连续减去这几个数。 （2）尾数相同的数应先减去。 原式=2676－676－289 =2000－289 =1711 5、计算74＋47－74＋53 6、计算74×47÷74×53 分析：通过审题可得（5）、（6）两题中的两个74可以互相“抵消”。 7、解5：74＋47－74＋53 解6：74×47÷74×53 =74－74＋47＋53 =74÷74×47×53 =47＋53 = 47×53 =100 = 2491 小朋友们，在学习数学时要达到“速”与“巧”，主要掌握以下几点计算技巧： 1、凑成容易算的数，在心算中培养凑数、搭配、替代的思维习惯，如凑成整十、整百、整千……又如比较接近的数相加时，可选择一个基数为计算基础，在此数的基础上加上或减去这个基数的相差数。 2、利用运算定律简化计算。 3、适当配对，能使计算简便。 第一周练习 a) a)    183＋178＋189＋181＋176 b) b)    计算998+1413+9989 c) c)    19+299+3999+49999 d) d)    4500－768+536－232 e) e)    计算53×57 f) f)    计算88－37+44+37 g) g)    计算65×34×23÷65 h) h)    计算28÷36×54×72÷54÷14    算 式 谜 一．引入知识 小军用竖式的方法计算做完了一道数学题，但他没有及时把作业本收起来就到楼下去玩了，回来时发现作业本上被小狗“贝贝”搞脏了，算式中有几个数字已看不清楚，已成了下面这样的算式：           · □         框 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示被擦脏的数字。 小朋友们，我们把这种题目叫做数字谜题，也可以叫算式谜题。解这种题时要注意运用四则运算法则和运算中各数位的数字的特点，补上适当的数字，使算式恢复原来的面目。 小军的这道题的特点是两个加数的个位没有被擦去，所以可从个位开始加起： 7＋5=12，在和的个位□中填入2，并向十位进1。 再看十位，□＋4＋1的和个位是1，被加数的□中只能填6，并向百位进1。 最后来看百位、千位，6＋□＋1的和个位是2，加数的□中只能填5，并向千位进1，因此，和的千位□上应填8。这样小军作业题的完整题的竖式是： 7　6　6　7 ＋ 5 4 5 8 2 1 2 二．例题传授 1、 下面的算式中，每个方框代表一个数字，问这6个方框中的数字总和是多少？ □ □ □ ＋ □ □ □ 1 9 9 1 分析：□中的数字只能是0到9的数字，因此任何两个方框中的数字之和是18。我们先看百位两个数字之和，这个和最大是18，所以两个十位数字之和必须进1，并且两个百位数字之和是18；同样两个十位数字之和是18，而且个位数字之和必须进一，最后，个位数字之和为11。 解：18＋18＋11=47 所以这六个方框中的数字之和为47。 （此题为第三届“华杯赛”试题）   2、已知两个四位数的差等于8921，那么这两个四位数的和的最大值是多少？ □ □ □ □ －□ □ □ □ 8 9 2 1 分析：从题中我们不难看出，要使这两个四位数的和最大，就要使被两个四位数尽量大。被减数最大是9999，减数最大是 9999－8921=1078； 解：这两个四位数的最大值是： 9999＋1078=11077   3、在下面的乘法竖式的填空中填上适当的数。 □ □ 7 × □ 2 2          9 □ 3 分析：因为被乘数的个位为7，积的个位是3，所以乘数应填9，由于积的前两位数字是29，所以被乘数的百位数字是3。 29－3×9=2 所以，被乘数的十位数字是2，最后由乘法得：积的十位数字是4。 解： 3 2 7 × 9 2 9 4 3   4、在下面题中的方框里填上适当的数字。 □ □ □ 6 1 4 □ □ □ □ 8 □ □ □ 2 0 分析：除数乘以商的十位数字，即□6×□=□□8，所以除数的十位数字可能是8或3，若商的十位数字是8，除数的十位数字是1，积为128，而14□－128不是一位数，所以商的十位数字只能是3，为了使14□－□□8上一位数，除数的十位数字只能填4。 除数与商的个位数字的乘积是两位数，且积的个位是2，显然商的个位数应填2。 解： 3 2 □ 6 1 4 7 2 1 3 8 9 2 9 2 0 小结：“算式谜”是一种有趣的数学问题，它利用运算法则和推理、通过观察、判断、推理、尝试等方法，找出每一个环节的突破口，把算式中缺少的数填写出来。 解题时，要统观全局，掌握特点，选好突破口，有时需要枚举各种情况，逐一尝试。 三、本周练习 1、下列竖式中，有若干数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的几个数字的和。 □ □ □ ＋□ □ □ 1 1         0 9 9   □ □ □ □ □ □ ＋□ □ □ □ 2 9 9 1 2、下面的算式中，不同字母代表不同的数字，根据下面算式，请写出九位数ABCDEFGHI是几。 A B －C D E F ＋G H I 2 I 3、在□里填上合适的数。 □ 9 □ 5 □ □ □ 0 □ □ □9 □□ □ □ □ □ 0 4、下面算式中每个汉字代表一个数字，不同汉字代表不同的数字，当它们各代表不同的数字时，下列等式成立： 优优优优优优÷学=学习再学习 优=（ ）学=（ ）习=（ ）再=（ ）    平均数 小朋友们，今天我们将一起研究一个十分重要的数学问题，平均数问题。 把一个整体分成几份，如把一个西瓜切成几块，如果每一块的大小都不相同，就叫把一个整体平均分成几份。如果大小不等，就不是平均分割物体。 把几份（并不每份都相等的量）加在一起计算出总量，然后平均分成原来的份数，各份的量，就是原先几部分量的平均数。如全班每人的一次数学考试成绩，并不一定人人相等，也不一定人人都不相等。如果把各人的成绩全都加在一起全班总分，然后平均分割成人人相等的分数。这样每人新的分数就是全班考试成绩的平均成绩。 常用的数量关系式是： 总数量÷总份数=平均数 学习题1 有一头母猪产下12头猪娃，先产下的6头恰好每头都重大成果3.5千克，后产下的3头每头都重3千克，最后产下的每头都重2千克。那么这群猪娃平均每头重多少千克？ 分析：虽然只有三种重量，却不是3头猪。所以要先计算12头猪的重量，再平均分成12份，这才是每头的平均重量。 解：3.5×6＋3×3＋2×3 =21＋9＋6 =36(千克) 36÷12=3(千克) 答:这群猪娃平均每头重3千克.   学习题2 有一位小朋友特别喜爱数学,他要求自己在一周内平均每天在网上做8道数学题。星期一到星期四每天都已练了9道，星期五因为参加航模比赛没有练数学，星期六练10道题，那么这个星期日要练几道题才能达到要求？ 分析：不妨先算出每周按要求完成的总数，然后根据已练的题算出还缺的数目，这就是星期日要完成题目数量。 解：每周的总数 8×7=56（道） 已完成的数9×4＋10=46（道） 星期日的数56－46=10（道） 答：按要求在星期日要练10道数学题。   学习题3 一条大河，上游与下游的两个码头相距240千米，一艘航船顺流而下的速度为每小时航行30千米，逆流而上的速度每小时航行20千米。那么这艘船在两个码头之间往返一次的平均速度多大？ 分析：航行中的速度有两种，然而所求的平均速度并非是这两种速度除以2。 按往返一次期间的平均速度，就要分别计算总航程与经历的总时间，然后按平均速度的意义求出答案来。 解：总航程：240×2=480（千米） 总时间：240÷30＋240÷20 =8＋12 =20（小时） 平均速度：480÷20=24（千米） 答：往返一次的平均速度为每小时航行24千米。 学习题4 有2个班，每班的学生数相等。其中一个班平均每人9岁，另一个班平均每人11岁。那么这两个班的学生平均每人几岁？ 分析：“两个班的学生平均”年龄按理应把每个人的年龄加起来，这样才可算出总和。但是人数根本不知道，怎么办呢？所以要有新思路才能解决此问题。 小朋友，让我们一起来思考这个问题。 假设每班有30人， 则总岁数为9×30＋11×30=600（岁） 总人数为30＋30=60（人） 平均年龄为600÷60=10（岁）   如果设每班人数有10人，就可列式计算如下： （9×10＋11×10）÷（10＋10） =200÷20 =10（岁）   还可以更简单一点，可设全班只有1个人，则： （9×1＋11×1）÷（1＋1） =20÷2 =10（岁） 三种假设所得到的结果却是相等的，因为其中有一个特殊条件，即：两班学生每班人数相同。 这是一种求平均数的特殊情况。两班要是不相同就不能简单地对两种年龄求平均数。 解：由于两班中每班学生人数相同，可在各班抽出1人，并且年龄为各班的平均数。 （9＋1）÷（1＋1） =20÷2 =10（岁） 答：两班学生平均年龄为10岁。  本周练习： 1、一位学生的语文成绩96分，数学成绩为99分，唱游成绩为95分，体育成绩为80分。求它的四门成绩的平均分。 2、一群小木偶，有4个身高30厘米，有6个身高35厘米，有5个身高33厘米。求这群木偶的平均身高？ 3、猪八戒爱吃西瓜，唐僧规定他15天内平均每天可吃4个西瓜。猪八戒在前10天中已经平均每天吃了5个，那么后5天中平均每天能吃几个？ 4、一位长跑运动员每天从山下跑到山顶，又从山顶沿原路回到山下，共3个往返。单程为210米，上山每分钟跑3米，下山每分钟跑7米，那么3个往返期间的平均速度多大？ 5、有2个排的解放军战士，参加打靶的人数每排都相同，每人射击次数也相同。一个排平均每人每次射击得9.1环,另一排平均每人每次射击得8.9环。求这两个排平均每人每次射击得多少环？     和倍应用题 和倍应用题的特点是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的大小。解这类应用题的关键是找准一倍数，为了弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的关系：两个数的和以及其相应的倍数和，先求1倍数，再求其它倍数，数量关系可以这样表示： 两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数） 小数×倍数=大数（几倍数）或两数和—小数=大数（几倍数） 例1： 甲班和乙班共有图书200本，甲班的图书是乙班的3倍，甲，乙两班各有图书多少本？ 分析：用线段图帮助分析， 乙班： 甲班： 把乙班的本数看作1倍数，甲班的本数看作3倍，一共是1+3=4倍，200本图书是4倍数，一倍为200÷4=50本 解：乙班的图书：200÷（1+3）=50本 甲班的图书：50×3=150本 答：乙班有图书50本，甲班有图书150本。 例2：甲、乙、丙三个班共有240本，甲班的图书是乙班的2倍，乙班的图书是丙班的3倍，甲、乙、丙三个班各有多少本图书？ 分析：用线段图帮助分析，   丙： 乙： 甲： 从图中可以看出：丙班图书是1倍数，乙班图书就是3倍数，而甲班图书相对应就是3×2=6（倍）。那么，与240本相对的倍数就是三个班的倍数和，即3×2+3+1=10（倍）。求出1倍数也就是丙班图书本数。 解：丙班：240÷（3×2+3+1）=24（本） 乙班：24×3=72（本） 甲班：72×2=144（本） 答：甲班有图书144本，乙班72本，丙班有24本。 例3：甲、乙、丙、丁四个数的和为342，如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则四个数相等，求四个数各是多少？ 分析：甲+2 乙—2 丙×2 丁÷2 从图中可以看出： 丙最小是1倍数，（甲+2）是2倍数，（乙—2）是2倍数，丁是4倍数，甲+2总数就增加2，乙—2总数就减少2，因此总数就是342+2—2，所对应的倍数是2+2+4+1=9（倍），可以求出1倍数，即丙，再分别求出甲、乙、丁。 解：丙：（342+2—2）÷（2+2+1+4）=38 甲：38×2—2=74 乙：38×2+2=78 丁：38×4=152 答：甲是74，乙是78，丙是38，丁是152。 例4：小红、小英两人共有糖15颗，小英比小红的2倍少3颗，小红和小英各有多少颗糖？ 分析：根据题意，画线段图表示： 小红： 小英： 从图中可以看出，小红的糖是1倍数，但小英并不是2倍数，那就不是单纯的和倍问题，需要转化。如果给小英增加3颗，那就正好是小红的2倍。由于给小英增加3颗。那么总颗数也增加3颗即15+3=18（颗），这18颗对应的倍数就是（1+2）=3倍。这样可以求出1倍数，即小红的颗数。 解：小红：（15+3）÷（2+1）=6颗 小英：6×2—3=9（颗） 答：小红有6颗糖，小英有9颗糖。 练一练： 1、长方形的周长30厘米，长是宽的2倍，这个长方形的长与宽各是多少厘米？ 2、果园里有梨树、苹果树和桃树共180棵。其中梨树的棵数是苹果树的2倍，桃树的棵树是苹果树的3倍。求三种树各有几棵？ 3、某厂三个车间共有工人624人，第一车间的人数是第二车间人数的5倍，第三车间的人数等于第一、第二两个车间人数的和，三个车间各有多少人？ 4、大小两桶汽油共有90千克，如果从大桶倒出5千克给小桶，这时大桶汽油重量是小桶的5倍，求原来两桶油各重多少千克？ 5、甲、乙两数和是140，甲增加25，乙减少5，甲就是乙的3倍，求甲、乙原来各是多少？   差倍应用题 差倍应用题的特点是已知大小两个数之间的差和与它们的倍数关系，求大小两个数的大小。解这类应用题的关键是找准一倍数，为了弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的关系：两个数的差以及其相应的倍数差，先求1倍数，再求其它倍数，数量关系可以这样表示： 两数差÷（倍数--1）=小数（1倍数） 小数×倍数=大数（几倍数）或两数差+小数=大数（几倍数） 例1： 甲班的图书比乙班多100本，甲班的图书是乙班的3倍，甲，乙两班各有图书多少本？ 分析：用线段图帮助分析， 乙班： 甲班： 把乙班的本数看作1倍数，甲班的本数看作3倍，甲班比乙班多的倍数是3—1=2倍，甲班比乙班多的100本书对应的倍数是2倍，一倍数为：100÷2=50本 解：乙班的图书：100÷（3--1）=50本 甲班的图书：50×3=150本 答：乙班有图书50本，甲班有图书150本。 例2：参加区青少年科技站活动，今年比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人，两年各有多少人参加？ 分析：用线段图帮助分析， 去年： 今年： 从图中可以看出，今年如果加上35人以后正好是去年的3倍。两数之差是41+35=76（人）相差的倍数是3—1=2倍，从而求出一倍数。 解：去年：（41+35）÷（3+1）=38（人） 今年：38+41=79（人） 答：今年有79人参加，去年有38人参加。 例3：两块同样长的花布，第一块卖出36米，第二块卖出24米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原来有多少米？ 分析：根据题中的数量关系可用线段图来表示： 第一块： 第二块：   已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多，从图中可以看出第一块剩下的是1倍数，而第二块剩下的4倍，那么第二块比第一块剩下的多（36—24）米即12米，对应的倍数正好是3倍，用对应数量除以对应倍数就可以求出一倍数。 解：（1）：第二块比第一块多剩多少米布？ 36—24=12（米） （2）：第一块剩下多少米？ 12÷（4—1）=4米 （3）：第一块布原来有多少米？ 4+36=40（米）（两块布原长度相等） 答：每块布原来有40米。 例4：甲桶油是乙桶油的4倍，如果从甲桶中取出15千克倒入乙桶，那么两桶的重量相等。两桶油原来各重多少千克？ 分析： 乙 ： 甲： 从图中可以看出甲比乙多15×2=30千克，即甲乙两数的差是30千克，甲乙两数相差的倍数是4—1=3倍，从而求出一倍数 解：乙桶：15×2÷（4—1）=10千克 甲桶：10×4=40（千克） 答：甲桶有油40千克，乙桶有油10千克。 练一练： 1、新光小学四年级比三年级多100人，四年级的人数是三年级的3倍，两个年级各有多少人？ 2、两根绳子同样长，如果从甲减去30米给乙，这时乙的绳子正好似的甲的3倍，求甲、乙两根绳子原来长多少米？ 3、甲、乙两个仓库各存有一批面粉，甲仓库所存面粉的袋数是乙仓库的3倍，从甲仓库运走850袋，从乙仓库运走50袋后，两仓库所剩面粉的袋数相等，甲、乙两个仓库原来各有面粉多少袋？ 4、甲数加上152等于乙数，乙数加上480等于甲数的3倍，求甲、乙两数各是多少？ 5、小红有60元，小英有28元，两人添上相等的钱后，小红的钱的3倍等于小英的钱的5倍，现在两人各有钱多少元？ 年龄问题 年龄问题是研究人和人、年龄和年龄之间的数量关系，解年龄问题，要掌握它们的特点和解题规律。 1：两人的年龄差不变，是一定数。 2：同时都增加（减少）同一个正整数 定差的两个量随着时间的变化，倍数关系也发生变化。 例题分析： 例1：小红今年4岁，她爸爸32岁。几年后爸爸的年龄是小红的3倍？ 分析：（1）小红4岁，爸爸32岁，年龄差为32—4=28（岁），且是不变的； （2）几年后，爸爸的年龄是小红的3 倍，这时，他们的倍数差是3—1=2倍； （3）根据年龄差和倍数差能求出那时小红和爸爸的年龄，也能知道是几年以后。 解：（32—4）÷（3—1） =28÷2 =14（岁） 14—4=10（年） 答：10年后，爸爸的年龄是小红的3倍。 例2：父子今年的岁数之和是80岁，20年前，父亲的岁数是儿子的3倍。今年父亲和儿子各多少岁？ 分析：（1）20年前，父子的年龄和为80—20×2=40（岁）； （2）20年前，父亲和儿子的年龄的倍数和是1+3=4倍 （3）根据20年前的年龄和和倍数和，能求出当时儿子、父亲各多少岁，分别再加20，就是今年儿子和父亲分别是多少岁了。 解：（80—20×2）÷（1+3） =40÷4 =10（岁） 儿子：10+20=30（岁） 父亲：10×3+20=50（岁） 答：今年父亲50岁，儿子30岁。 例3：爸爸和儿子两人今年的年龄之和是44岁，4年前爸爸年龄是儿子年龄的8倍，现在爸爸和儿子各是多少岁？ 分析：因为4年前爸爸的年龄是儿子的8倍，所以4年前两人的年龄和是（44—4×2）岁，这样就能求出4年前儿子与父亲的年龄各是多少岁了，然后也很快地能求出今年爸爸和儿子各多少岁了。 解：（44—4×2）÷（8+1）=4（岁） 4+4=8（岁）……儿子今年年龄 4×8+4=36（岁）……爸爸今年年龄 答：现在爸爸36岁，儿子8岁。 练一练： 1．爸爸妈妈现在的年龄和是70岁，四年后，爸爸比妈妈大6岁，今年爸爸和妈妈各几岁？ 2．哥哥与弟弟两人3年后的年龄和是27岁，弟弟今年的年龄是两人的年龄差，问哥哥和弟弟今年各几岁？ 3．父亲现年50岁，女儿现年14岁，问几年前父亲的年龄是女儿的5倍？ 4．六年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后母子年龄和是78岁。问：母亲今年是多少岁？ 5．10年前爸爸的年龄是他儿子年龄的7倍，15年后，爸爸的年龄是儿子的2倍。现在父子俩的年龄各是多少？   最大与最小   1、如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，它们的乘积越大；两个整数的差越大，它们的乘积越小。 2、如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越小；两个正整数的差越大，那么它们的和也越大。 3、把一个正整数分拆成若干个正整数之和，如果要使这若干个正整数的乘积最大，这些正整数应该都是2或3，且2最多不超过两个。 4、遇到一些其他类型的问题，求最大或最小，还要根据实际的条件解决问题。   例：两个正整数的和是16，要使这两个正整数的乘积最大，这两个正整数各是多少？这两个正整数的乘积最小，这两个正整数各是多少？ 解：因为正整数的和是16，我们可以把所有的情况都列举出来，进行分析比较。 16=1+15=2+14=3+13=4+12=5+11=6+10=7+9=8+8。 以上共有八种不同情况，现在将每种情况的乘积算出。 1×15=15，2×14=28，3×13=39，4×12=48，5×11=55，6×10=60，7×9=63，8×8=64。 从以上的乘积可以知道，当两个正整数的差越小，乘积就越小，当乘积是64时，这两个正整数都是8，它们的差为零；当两个正整数的差越大，乘积就越小，当乘积是15时，这两个正整数是1和15，两个数中必有一个是1。   例：两个正整数的积是36，这两个正整数是多少时，它们的和最小？两个正整数是多少时，它们的和最大？ 解：因为两个正整数的积是36，我们可以把所有的情况都列举出来，进行分析比较。 36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6 以上共有五种不同情况，现在将每种情况的求和算出。 1+36=37，2+18=20，3+12=15，4+9=13，6+6=12。 从以上的求和可以知道，当两个正整数的差越大，所求的和就越大，当和是37时，这两个正整数是1和36时，其中必有一个数是1；当两个正整数的差越小，所求的和越小，当和是12时，这两个正整数都是6，它们的差为零。   例：把14分拆成几个正整数的和，这几个正整数的连乘积最大是多少？ 解：因为把14分拆成几个正整数的和，它的形式有多少种，在分拆过程中，如果分拆出的正整数的个数多，则它们的乘积就比较大，但是分拆的正整数不能是1，因为乘数是1，则乘积就比较小，所以分析的正整数就选择2和3，例如数6，分拆成6=2+2+2，则2×2×2=8；分拆成6=3+3，则3×3=9，9大于8，分拆的正整数应该尽可能多的选择3，如果剩下2，就选择2；如果剩下1，就用1与3合成2个2，按照以上方法，把14分拆成：14=3+3+3+3++2，这五个正整数的连乘积最大是：3×3×3×3×2=162。   例：用1，2，3，4共四个数字组成两个两位数，那么这两个两位数的乘积最大是多少？乘积最小是多少？ 解：用1，2，3，4共四个数字组成两个两位数，它们相乘有以下几种情况： 12×34，13×24，14×23，21×34，31×24，41×23，12×43，13×42，14×32，21×43，31×42，41×32。 然后将以上的12组乘法形式一一相乘，比较结果。 12×34=408，13×24=312，14×23=322，21×34=714，31×24=744，41×23=943，12×43=516，13×42=546，14×32=448，21×43=903，31×42=1302，41×32=1312。 乘积最大是41×32=1312 乘积最小是13×24=312 进一步观察，可以发现，要使所得的乘积最大，在组数的时候，应该把较大的数字放在最高位，例如把3和4分别排在两个两位数的十位上，得到两个乘法算式：31×42和41×32，但是它们的乘积不一样，再进一步分析，可以发现，31和42相差11，41和32相差9，所以从中得出，两个数的差越小，则这两个数的乘积越大。通过以上分析比较，在解决这类问题时，必须掌握两个原则，第一，求最大值时，应该把较大的数字排在数的最高位，以后按照数的数位情况，依次类推，第二，在排成的数之后，应该考虑这几个数应该尽可能接近，使差尽可能小，则乘积就最大。如果求最小值时，也是掌握两个原则。第一，应把较小的数字排在数的最高位；第二，排成的数的差应尽可能大就可以。所以同学们在解题的时候，不仅要做出正确答案，更要善于发现规律，寻找规律，这样有助于提高解题的能力。 练习题： 1、用由2，3，4，5共四个数字组成两个两位数，那么这两个两位数的乘积最大是多少？乘积最小是多少？ 2、两个正整数的和是30，这两个正整数的乘积最大是多少？最小是多少？ 3、把19分拆成几个正整数的和，这几个正整数的连乘积最大是多少？ 4、两个正整数的乘积是96，这两个正整数的和最大是多少？最小是多少？ 5、用1分，2分和5分的硬币凑成一元钱，要求三种硬币都要用，问最少要用多少个硬币？    盈亏问题 盈亏问题是指同样多的物品，在平均分成不同份时，物品多了几个或少了几个的数量关系，从中求出物品总数的份数的一类典型应用题，解答这一类应用题的基本方法有两种。 1、用算术方法解答时，要找出两种不同的分配方法，分掉的总数差和每份数的差，就是解题的关键，再用总数的差÷每份的差，求出总数和份数。 2、列方程解答时，物品的总数是方程等量关系，这类应用题用方程解比较方便。   例： 幼儿园老师给小朋友分饼干，如果每人分5块，少了15块，如果每人分3块，多了31块，小朋友有多少人？饼干有多少块？   分析一：小朋友的人数和饼干的总数是不变的，第一种分法少了15块；第二种分法多了31块，两种分法饼干总共相差（15+31）块，而两种不同分法中，每人饼干相差（5-3）块；用分掉饼干的总数差÷每人分得饼干的相差数，就可以求出小朋友的人数，最后求饼干的总数就方便了。   解法一： （15+31）÷（5-3）=23（个） 5×23-15=100（块）或3×23+31=100（块） 答：有23个小朋友，饼干有100块。   分析二：因为小朋友的人数是相同的，所以可以设小朋友的人数为x人，则第一种分法的饼干总数可以用（ 5x-15）表示，而第二种分法的饼干总数可以用（ 3x+31）表示，可用方程来解答。 解法二： 设小朋友有x 人。 5x-15=3x+31, x=23 5x-15=5×23-15=100或3x+31=3×23+31=100   例2: 学校里有铅笔若干支，奖给三好学生，若每人9支，缺15支；若每人7支，缺7支。三好学生有多少人？铅笔有多少支？ 分析：铅笔的支数和三好学生的人数不变，两种分法铅笔的总数相差（15-7）支，而两种分法每人相差（9-7）支，用分掉铅笔的总数差÷每人分到铅笔的支数差，就可以求出人数，最后求出铅笔的支数。 解： （15-7）÷（9-7）=4（人） 9×4-15=21（支）或7×4-7=21（支） 答：三好学生有4人，铅笔有21支。   例3：学校有一些学生寄宿在学校，若每间宿舍住6人，多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍。问寄宿的学生有多少人？宿舍有多少间？ 分析：先求宿舍有多少间，再求寄宿学生有多少人比较方便，那么就先设宿舍有x间，若每间住6人，则多出34人，那么寄宿的总人数为（6x+34）人，若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍，那么寄宿的总人数为7（x-4）人。 解：设学校有宿舍有 x间。 6x+34=7(x-4), x=62 6×62+34=406( 人)或 7×(62-4)=406( 人) 答：寄宿的学生有406人，宿舍有62间。 练习题： 1、三年级少先队员参加搬砖活动，如果每人搬4块，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖，这个年级共有少先队员多少人？要搬砖多少块？   2、有一根绳子测量井的深度，用绳子对折来量，井外余6米；用绳子一折四来量，井外余1米，求井深和绳长各多少米？     3、有一个班的同学去划船，如果增加一只船，正好每只船坐6人；如果减少一只船，正好每只船上坐9人，问这个班有多少个学生？   4、学校为新生分配宿舍，每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间，问宿舍有多少间？新生有多少人？     5、少先队员去植树，如果每人种5棵，还有3棵没人种，如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完，问有多少个少先队员参加植树？一共要种多少树苗？ 逆推问题（还原问题）   同学们在玩迷宫游戏时，往往会发现，根据要求从里面往外找出路，经常会走入死路，如果反过来思考，从外面的出口处往里走，却能很快走到里面的出发点。 在小学数学中，有些问题的解答，就像走迷宫一样，如果从已知条件向所求问题推想下去，有时会比较困难，但是如果从所求问题出发，倒着想，回到已知条件，解起来反而比较容易，这种倒着想的思考方法，在数学解法上就叫做逆推法，这一类问题称为逆推问题也叫还原问题。   例1：小华问数学张老师：“你今年多少岁了”？张老师回答说：“用我的年龄数减去8，乘以3，除以11，再加上3，就正好等于你现在的岁数9岁。”请你算一算，张老师今年多少岁？   分析与解：可以从最后的结果“9”倒着往前推。这个数没加上3时应是多少？没除以11时应是多少？没乘以3时应是多少？没减去8时应是多少？这样依次逆推，就可以求出张老师今年的岁数。 9没有加3时应是6，9—3=6； 6没有除以11时应是66，6×11=66； 66没有乘以3时应是22，66÷3=22； 22没有减去8时应是30，22+8=30。 列综合算式：（9—3）×11÷3+8 =66÷3+8 =22+8=30（岁） 答：张老师今年30岁。   例 2：学校体育组买来一捆绳子做跳绳，第一次用去全长的一半多6米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去12米，最后还剩15米，这捆绳子原来有多少长？ 分析：用逆推法分析，第二次用完后还剩下15+12=27（米），第一次用完后还剩下（27—10）×2=34（米），原来绳子长（34+6）×2=80（米） 解：〖（15+12—10）×2+6〗×2 =（17×2+6）×2 =40×2 =80（米） 答：这捆绳子原来有80米。   例3：小红和小明共有54张牌，小先给小明10张牌，小明再给小红12张牌，这时小红手中牌的张数是小明的2倍，他们原来各有几张牌？ 分析：先求出小红和小明现在各有多少张牌，根据条件知道小明现有54÷（1+2）=18，小红有18×2=36（张）。而小红现在的36张有12张是小明给的，小明现在的18张中有10张是小红给的，所以，小红原来有36—12+10=34（张）小明原来有18+12—10=20（张） 解答：54÷（1+2）+12—10 =54÷3+12—10 =18+12—10 =30—10 =20（张） 54—20=34（张） 答：小红原来有34张，小明原来有20张。 例4：三堆棋子共96枚，小华先从第一堆里拿出和第二堆棋子数相等的棋子放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆棋子数相等的棋子放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与第一堆棋子数相等的棋子放入第一堆，这时，三堆棋子数正好相等。问：三堆棋子数原来各有多少枚？ 分析与解：根据题意可知，最后每堆棋子数是96÷3=32（枚），由此向前逆推，用 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 可以清楚地看出变化情况。   第一堆 第二堆 第三堆 最初状态 16+28=44 56÷2=28 24 第一次变化后 16 32+24=56 48÷2=24 第二次变化后 32÷2=16 32 32+16=48 第三次变化后 32 32 32 答：第一堆原来有44枚棋子，第二堆原来有28枚棋子，第三堆原来有24枚棋子。 小结：逆推法是一种常用的思考方法。这种方法的主要特点，是从问题的最后结果倒推着去解决问题。有些题目用这种方法去解，就可以化难为易，化繁为简。 练一练： 1．一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8，这个数是多少？ 2．食堂买来一批大米，第一次吃了全部的一半少28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后剩下122千克，这批大米共有多少千克？ 3．有碗26只，甲乙两人去拿。甲先到，拿了一部分，乙赶到后从甲处拿走一半，甲又从乙处拿走一半，乙再从甲处拿了5只，这时乙比甲多2只。问：甲最初准备拿走几只碗？ 4．有一筐梨，甲取了一半又1个，乙取了余下的一半又1个，丙又取了余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个梨，这筐梨共值17.6元，平均每个梨值多少元钱？ 5．绿化队植树，第一天植了总数的一半少40棵，第二天植了余下的饿一半多20棵，最后还剩70棵，绿化队共要植树多少棵？   除法与余数   两个整数相除（除数不等于零），如果余数是零，我们就说被除数能被除数整除。 如：72÷8=9 72能被8整除 129÷3=43 129能被3整除 两个整数相除（除数不等于零），如果余数不是零，我们就说被除数不能被除数整除。 如：262÷5=52…2，262不能被5整除 538÷7=76…6，538不能被7整除 有余数的除法中： （1） （1）    余数必须小于除数 （2） （2）    被除数=商×除数+余数 例1：一个数除以7，所得的商与余数相同，这样的数有几个？是哪几个？ 分析：根据余数必须小于除数的性质，余数为：1、2、3、4、5、6 由题意知：商与余数相同，商也是：1、2、3、4、5、6 根据被除数=商×除数+余数 7×1+1=8，7×2+2=16，7×3+3=24…32、40、48 所以这样的数有6个，是8、16、24、32、40和48   例2：把4到30的每个整数都除以4，余数是1的数共有多少个？ 分析：从4到30共有27个自然数。 根据余数必须小于除数知：这27个自然数被4除共有4种情况：1：能被4整除；2：被4除余1；3：被4除余2；被4除余3； 把这27个数4个一组分成6组，还多出三种情况：能被4整除；2：被4除余1；3：被4除余2； 所以：把4到30的每个整数都除以4，余数是1的数共有7个。   例3：今年的“六一儿童节”是星期一，明年的六一儿童节是星期几？（一年按365天计算） 分析与解：一个星期有7天，我们将365天按7天一组排列，根据365除以7的余数情况判断明年的六一儿童节是星期几？ 365÷7=52…1 答：明年的六一儿童节是星期二。   例4：某商店门口挂了一串彩色气球，它们按3红2黄2蓝的顺序排列。那么第36个气球是什么颜色？第47个气球是什么颜色？第55个气球是什么颜色？ 分析与解：气球按3红2黄2蓝的顺序排列，把这三种气球7个分为一组（因为3+2+2=7），它们一组一组地排列着。 判断第几只气球哪种颜色，只需要用这个数除以7，如果余数是1、2、3，那么这个气球就是红色的；如果余数是4、5，气球是黄色的；如果余数是6或恰好整数，气球是蓝色的。 练一练： 1：甲、乙两个数为13，甲数除以乙数商2余1，求甲数和乙数各是多少？ 2、从5到50的每个整数都除以5，余数是2的数共有多少个？   3、篮子里有一些苹果，3个3个地数还多1个，5个5个地数也多1个，问篮子里至少有多少个苹果？   4、一条公路地一边按3棵松树、4棵梧桐树地顺序栽树，那么第29棵是什么树？第39棵是什么树？   5、七月一日“党的生日”是星期一，那么同年的八月一日“建军节”是星期几？ 归一问题（一） 例1 张师傅3小时完成240件产品，照这样计算，一天生产多少件产品？ （一天按8小时计算） 分析与解： 240÷3=80件—— 归一到一份为80件 80×8=640件—— 一天记8小时，8个一份为640件 答：一天生产640件产品。 例2 一个食品加工厂要磨大豆30000千克，3小时磨6000千克，照这样计算，磨完余下的大豆还要几个小时？ 分析与解： 6000÷3=2000（千克）——归结到1小时磨大豆多少 30000-6000=24000（千克）——还余下多少大豆 24000÷2000=12（小时）——余下的数量中包含多少个单一量。 练一练： 1、汽车从甲地开往乙地，经过4小时行180千米，照这样计算，再行使2小时就到达乙地。甲乙两地相距多少千米？ 2、修一条48千米长的公路，前10天修6千米，照这样计算，还要修多少天才能完工？ 3、挖一条水渠全长480米，3天挖120米，照这样计算，其余的还要几天才能挖好？ 4、杨浦大桥车流量很大，按照10分钟通过60辆计算，6小时共通过多少辆车？ 5、5箱蜂蜜一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿375千克蜂蜜要增加几箱蜂蜜？ 归一问题（二） 例1 用3台拖拉机工作4小时耕地84亩，照这样计算，如果用同样的拖拉机7台工作6小时可以耕地多少亩？ 分析与解：1、3台1小时耕地多少亩？84÷4=21（亩） 2、1台1小时耕地多少亩？21÷3=7（亩） 3、1台6小时耕地多少亩？7×6=42（亩） 4、7台6小时耕地多少亩？42×7=294（亩） 综合式： 84÷4÷3×6×7=294（亩） 答：7台拖拉机6小时耕地294亩。 例2 某汽车队，原 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 用汽车2辆，每天运3次，5天能运输货物120吨，照这样计算，如果用同样的汽车3辆要在4天内运输货物240吨，平均每天需要几次才能完成任务？ 分析与解：1、1辆汽车1次1天能运输货物：120÷2÷3÷5=4（吨） 2、3辆汽车4天内要运输的次数：240÷3÷4÷4=5（次） 综合式： 240÷3÷4÷（120÷2÷3÷5）=5（次） 答：平均每天运5次才能完成任务。 练一练： 1、4台磨粉机工作5小时磨面粉12000千克，照这样计算，用同样的磨粉机7台工作6小时可以磨面粉多少千克？ 2、某车队，原计划用汽车2辆，每天运3次，5天能运货物120吨，照这样计算，如果要在4天内运货物480吨，平均每天运5次，那么同样的汽车必须有几辆/ 3、3台拖拉机8天耕地2400亩，照这样计算，15天7台拖拉机耕地多少亩？ 4、3台拖拉机8天耕地2400亩，照这样计算，15天耕完9000亩地，需要同样的拖拉机多少台？ 基准平均数 例 第三小队11位少先队员参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别是92，86，92，87，90，94，91，88，89，92，89，求每个人平均每分钟跳绳多少个？ 分析与解：每个人跳绳的个数很接近，不妨选择其中一个数90作为基准数，再把每一个加数与这个基准数相比较，多的补上，如94-90=4，补上4，不足的减去如90-85=5，减去5，然后把这些差累计起来，用和数的项数乘以基准数，加上累计数，再除以和数的个数，算出结果。 92+86+92+87+90+94+91+88+89+92+89 =90×11+（2+2+4+1+2）-（4+3+2+1+1） =990+11-11 =990（个） 990÷11=90（个） 答：每个人平均每分钟跳绳90个。 练一练 1、某小学有10名学生参加二跳一踢小松鼠活动，他们每分钟跳绳的个数分别为87，79，68，94，88，84，86，76，78，每人平均每分钟跳绳多少个？ 2、食堂买来5只羊，每次取出2只合称一次重量，得到10种不同的重量（千克）：47，50，51，52，53，54，55，57，58，59，问这五只羊各重多少千克？ 3、有四个数的平均数是9，如果把其中一个数改为13，平均数变成了10，这个数应该是多少？ 4、小丁参加4次数学测验，平均成绩78分，他想在下一次数学测验后，将5次的平均成绩提高到80分，那么下次测验他至少得到多少分？ 5、50个数的平均数是38，若将其中的两个数55和69去掉，余下的数的平均数是多少？ 求平均数应用题 例1． 知七个连续偶数的和是84，求这七个连续偶数。 分析：假设有2、4、6、8、10、12、14，七个连续偶数，他们的和是56，依次为第一项、第二项……第七项，这样我们发现： 第一项+第七项=2+14=16 第二项+第六项=4+12=16 第三项+第五项=6+10=16 第四项=8 解： 从而得到： 总数÷项数=中间项=平均数 84÷7=12 七个连续偶数为： 6、8、10、12、14、16、18。 例2． 已知八个连续奇数的和为144，求这八个连续奇数。 分析：连续数的个数为偶数个（即双数个）的时候，它的特点是第一项与第八项纸盒等于第二项与第七项之和…… 假设八个数为a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8，这样有a1+a8=a2+a7=a3+a6=a4+a5。 八个数分为4组，每一组两个数的和为144÷4=36 简单推理 例1 某年的一月，只有4个星期一和4个星期五，那么这年的1月1 日是星期几？ 分析与解：因为31=4×7+3，所以1月1日不能是星期一，星期六，否则一月就有5个星期一。1月1日也不能是星期三、四、五，否则一月就有5个星期五。所以，1月1日应该是星期二。 例2 有A,B,C三个人,这三个人中,一位是经理,一位是会计,一位是司机,已经知道C的年龄比会计大, A和司机的年龄不相同,司机的年龄比B小,问:这三人各是什么职位? 分析与解：A和司机的年龄不同,司机的年龄比B小,所以,A,B都不是司机,从而C是司机. 因为司机C的年龄比会计大,比B小,所以B不是会计,从而A是会计,B是经理． 练一练： 1、一头大象的重量等于4头牛的重量，一头牛的重量等于3匹小马的重量，一匹小马的重量等于3头小猪的重量，问：一头象的重量等于几头小猪的重量？ 2、甲、乙，丙三人一个人喜欢看足球，一个人喜欢看拳击，一个人喜欢看篮球，已知甲不爱看篮球，丙既不爱看篮球又不爱看足球，现有足球、拳击、篮球比赛的入场卷各一张，请根据他们的爱好把票分给他们。 3、三个姑娘，一个穿白色，一个穿红色，一个穿花格连衣裙去参加游园会，他们分别姓龚，王，周，而且姓周的不喜欢穿红色的裙子，姓龚的不喜欢红的，也不喜欢花的，问：穿各色裙子的姑娘各姓什么？ 4、数学竞赛后，小名，小化，小强各获一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，另一人得铜牌，老师猜测：“小名得金牌，小化不得金牌，小强不得铜牌。”结果老师只猜对了一个，那么他们各自得了什么奖牌？ 趣味问题 例1 有一杯牛奶，小平喝了半杯后，将它加满水，然后他又喝了半杯后，再加满水，最后全部喝完，问：小平喝的牛奶多，还是喝的水多？ 分析与解：一被牛奶，喝了半杯，加上半杯水后又喝了半杯，再加了半杯水，所以，前后两次总共加水一杯，因为牛奶也是一杯，所以小平喝的牛奶和水一样多。 答：小平喝的牛奶和水一样多。 例2 用一根绳子去测一口井的深度，把绳子三折后去测量，井口外余下3米，把绳子四折后去测，井口外余1米，问：这口井多少米？这根绳子长多少米？ 分析与解：绳子三折，井口外余下的绳子总长为3×3=9（米）。四折，井口外的绳子总长是1×4=4（米）。所以，井深为9-4=5（米）。绳子为（5+3）×3=24（米） 答：井深5米，绳子24米。 练一练： 1、一张长方形的纸片有4个角，用剪刀沿直线剪掉1个角后，还剩下几个角？ 2、用绳子测井深。绳子5折后，井口外余3米，绳子7折后，井口外余1米，问井深多少米？绳子长多少米？用三条直线，最多能将一个圆盘分成几块？ 3、从3000中减区285，加上282，再减去285，再加上282，…，照这样下去，减去多少次后，结果是0？ 4、某个商店规定3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小红买了10瓶汽水，喝完后用空瓶去换汽水，小红一共可以喝到多少瓶汽水？ 5、牛牛家有100头牛，正好喝完100桶水，大牛一头要喝3桶水，小牛两头才喝一桶水，问；牛牛家有几头大牛？几头小牛？ 上楼梯问题 例1如果上一层楼梯需要1分钟，那么小玲从一楼到四楼需要多少分钟？小明从一楼到六楼需要多少分钟？ 分析与解： 如果上一层楼要1分钟，从一层上到四层要4分钟，那么就错了，正确的答案是3分钟，因为从一层上到四层，只要上三层楼梯，而不是四层楼梯。 1×（4-1）=3（分钟） 1×（6-1）=5（分钟） 答：小令要走3分钟，小明要走5分钟。 例2 小明有一段16米长的绳子，每天剪去2米，第几天剪去做后一段？ 分析与解：所用的天数比2米的个数少1，因此只要看16米里包含几个2米，问题解可以解决了。 16÷2=8（个） 16米中包含2米的个数 8 – 1 = 7（天） 天数比段数少1 答：第7天就剪