Ch1.3 古典概型与几何概型

nullnullnull第一章 随机事件及其概率 §1.1 随机事件 §1.2 频率与概率 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率与事件的独立性 §1.5 全概率公式与贝叶斯公式null一、古典概型 1. 定义 古典概型是指满足下列两个条件的概率模型： （1）（有限样本空间）随机试验只有有限个可能结果， 即基本事件总数为有限个； （2）（等可能性）每一个可能结果发生的可能性相同， 即各基本事件发生的概率相同。 用数学语言可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 述为： null 设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任 意一个事件，且包含 m 个样本点，则事件 A 出现的概率记 为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义. 说明 计算古典概型中事件A的概率，关键是要计算 出样本空间中样本点总数和事件A包含的样本点数，这 些数目的计算要用到排列组合的知识。 null完成这件事的方法总数：null完成这件事的方法总数：null（1）排列（从n个元素中取m个不同元素）排列选排列全排列不可重复选排列(不放回)可以重复选排列(有放回)不可重复 (不放回)可以重复 (有放回)null　(2) 元素的分类　　将n个元素分为m类，每类分别有k1, k2 ,… km 个， 总共的分类方式有：n个元素null因为:上式称为多项系数。它是null　　(3) 环排列 从n个不同元素中，选出m个不同的元素排成一 个圆圈的排列，共有：(4) 组合null常用组合公式：（1）null 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：从n个不同的元素中摸取m个元素( m≤n)（1）有放回摸取计序：不计序：（2）不放回摸取计序：不计序：null从n个球中有放回不计序地摸取m个球：m个所有摸取方法总数为： 从n个数中有放回地（即可以重复或不计序）取出m个数的一个组合相当于从1到n+m-1个不同的数中不放回取出m个数的一个组合变换是一一的null 11 12 13 22 23 33+ 01 01 01 01 01 01 12 13 14 23 24 34相当于从1, 2, 3, 4中不放回地取出2个不可重复的数null 例1.9 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三 本书放在一起的概率。 解 将10本书放到书架上相当于将10个元素作一次排 列，其所有可能的放法相当于10个元素的全排列数10！， 由于书是按任意的次序放到书架上去，因此，这10！种 排列中出现任意一种的可能性相同，这是古典概型。用 A表示事件“指定的三本书放在一起”，则事件包含的样本 点数为8！•3！，所以 null 例1.10 把1，2，3，4，5，6共6个数各写在一张纸片 上，从中任取三张纸片排成一个三位数。问： （1）所得三位数是偶数的概率是多少？ （2）所得三位数不小于200的概率是多少？ 解 从6个数中任取三个，可以排列成6×5 ×4 =120 个三位数，故基本事件总数为120。 (1)设A表示事件“三位数是偶数”，则A包含的基本事 件数为3×5 ×4 =60, 故 null（2）设B表示事件“所得三位数不小于200”，只要百位数取 2，3，4，5，6其中之一，所组成的三位数必定不小于200， 所以，B包含的基本事件数为5×5 ×4 =100 ，故 例1.11 从6个男人和9个女人组成的小组中选出5个人 组成一个委员会，假定选取是随机的，问委员会正好由3 男2女组成的概率是多少？ null 例1.12（分房问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ） 设有 n 个人，每个人等可能地被 分配到 N 个房间中的任意一间去住( N≥n )，求下列事件的 概率： （1）指定的n个房间各住有一人； （2）恰好有n个房间，其中各住有一人（或每个房间最 多住一人 ）； （3）指定的一个房间不空 ； （4）指定的一个房间恰好住k个人 (k≤n) 。 null 解 将n个人随意地分配到N个房间，共有 Nn 种分配方 法，记（1），（2），（3），（4）的事件分别为A,B,C,D。 则null 例1.13（抽签问题） 箱中有a根红签，b根白签，除颜 色外，这些签的其它方面无区别，现有a+b个人依次不放回 地去抽签，求第k人抽到红签的概率。 解1 把 a 根红签 b 根白签看作是不同的 ( 设想对它们进 行编号 )，若把所抽出的签依次排成一列， 其排列总数为 此即为基本事件总数。用 Ak 表示事件“第 k 人抽到 红签”，因第人抽到红签有 a 种抽法，其余的 次 抽签，相当于 个元素的全排列，有 种， 故事件Ak包含的样本点数为 ，从而null 由于第 k 次抽到红签，所以第 k 个位置必须放红签， 剩下a-1根红签可以放在a+ b-1个位置的任意a-1个位置上，null 解3 把 a 根红签 b 根白签看作是不同的（设想对它们 进行编号），以第 k 次抽出的签的全部可能结果作为样本 空间，则样本空间中样本点总数为 a+b，事件Ak包含的样 本点数为 a ，故所求概率为null 这个例子告诉我们，计算随机事件的概率与所选取 的样本空间有关。在计算基本事件总数（样本点总数） 及事件A所包含的基本事件数时，必须对一确定的样本 空间考虑，若其中一个考虑顺序，则另一个也必须考虑 顺序，否则结果一定不正确。 抽签问题是我们在实际中经常遇到的问题，由此例 我们可以看出，每个人抽到红签的概率相同，与抽签的 先后次序无关，这也与我们的实际生活经验相同。null 例1.14 15名新生中有3名优秀生，将这15名新生平均 分配到三个班级中去，求下列事件的概率： （1）每一个班级各分配到一个优秀生； （2）3名优秀生分配到同一班。 null （2）将3名优秀生分配在同一班级内的分法共有3种， 对于这每一种分法，其余12名新生的分法有 种， 由乘法原理知事件B包含的样本点数为 ，故 null 【例】 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少有2人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的概率为故64 个人中至少有2人生日相同的概率为解null 【例】 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少? 解：A ={4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}null　 【例】 有n个人排队，排成一圈，求甲、乙两人相邻的概率是多少? 解：(2)排成一圈是环排列， n个人的环排列有(n－1)!种，甲、乙相邻占一个位置的环排列有(n一2)!种，考虑互换性，有利事件有2× (n一2)!种．故： 更为简单的想法是：设想一个圆周上：有n个位置，甲占了一个位置后，乙还有n一1个位置可选，其中与甲相邻的位置有2个．所以:null 【例】 某人将三封写好的信随机装入三个写好 地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多 少？null解：设Ai ={第i封信装入第i个信封} i =1,2,3 A={没有一封信装对地址} ={至少有一封信装对地址}则其中：null于是:null 【练习】从自然数列1，2，…，30中不放回地任取 10个数，按大小排列成求事件A={x5=16}的概率。null 例 k个盒子中各装有n个球，编号为1，2，…， n，从每个盒子中各取一个球，计算所得到的k个 球中最大编号为m 的概率（1≤ m≤n ）。 分析： 本题所求概率也可叙述为“从装有编号为1,2,…,n共n个球的袋中有放回地取k次，计算所得到的k个球中最大编号为m的概率（1≤ m≤n ）”。 解 基本事件总数为 nk ，有利场合数可以这 样考虑：先考虑最大编号不大于 m 的取法，共 有 mk 种。null 再考虑最大编号不大于 m-1 的取法，共有 (m-1)k 种, 因此最大编为 m 的取法为mk - (m-1)k 则所求概率为 思考：若本题是不放回取球，结果又如何？ 同样的问题：掷 n 颗骰子，得最小的点数为2的 概率是多少？(“最小的点数≥2”-“最小的点数≥3”).null【练习 】利用概率模型证明恒等式（1）（2）证（1）构造概率模型：设一袋中有n个球，其中只有1个 红球，其余全是黑球，现从袋中无放回地摸出r个球。记 事件A=“摸出的r个球中有红球”，则null （2）构造概率模型：设一袋中有n个球，其中有m个 红球，n-m个黑球，现从袋中无放回地摸出r个球。记事件 Ai=“摸出的r个球中有i个红球”，则而所以，即null 【例*】一个人把6根绳子紧握在手中，仅露 出绳子的头和尾。然后请另一个人把6个头两两 相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根绳子 恰好连成一个环的概率。 【解】 取定一个头，它可以与其它的5个头 之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接 过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接， 故对头而言有 种接法，同样对尾也有 种接法，所以样本点总数为 。 null 用A表示“6根绳子恰好连成一个环”，这种连 接，对头而言仍有 种连接法，而对尾而言， 任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根绳子 的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连 接的另2根绳子的尾连接，最后再将其余的尾连接 成环，故尾的连接法为 。所以A包含的样本点 数为 ，于是 null 【例*】甲、乙两人掷均匀的硬币，其中甲掷 n+1次，乙掷n次，求“甲掷出正面的次数大于乙 掷出正面的次数”这一事件的概率。 【解】 本题若直接计算会比较复杂，下面我 们利用对称性来考虑。 因为正面与反面所处的地位是对称的，所以 事件“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数” 与事件“甲掷出反面的次数大于乙掷出反面的次 数”的概率相等。null注意到， {甲掷出正面的次数>乙掷出正面的次数}= {甲掷出反面的次数>乙掷出反面的次数}所以,= {甲掷出正面的次数≤乙掷出正面的次数}null 【例*】将均匀的硬币掷 n 次，求“出现正面的 次数多于反面的次数”的概率。 【解】 以 A 表示事件{正面的次数＞反面的次 数}，当 n 为奇数时，正面的次数与反面的次数不 会相等，此时={正面的次数＜反面的次数}={反面的次数＞正面的次数 } , 由于正面与反面所处的地位是对称的，则 null P{正面的次数＞反面的次数} = P{反面的次数＞正面的次数} 所以， 当 n 为偶数时，={正面的次数=反面的次数}+{正面的次数＜反面的次数} null所以，=1-P{正面的次数=反面的次数} -P{正面的次数＜反面的次数}= P{正面的次数＜反面的次数} 由于正面与反面所处的地位是对称的，则 P{正面的次数＞反面的次数} = P{反面的次数＞正面的次数}null于是，P{正面的次数＞反面的次数}=null二、几何概型 定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意 一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可 能的，则事件 A 的概率可定义为null 例1.15 (会面问题) 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时 间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t( t