关于微分中值定理的证明及思考

-33- 定理2 (一般形式的中值定理) 设 和 g是[α,b]上的两个连续函数，在(α,b)内 可导，那么必定存在至少一点ζ∈(α, b)，使得有 （1） 证 作辅助函数 h(x)=[(b)-(α)]g(x)-[g(b)-g(α)] (x)， x∈[α,b] 则h在[α,b]上连续，在(α,b)内可 导，且有h(α)=(b)g(α)-(α)g(b)=h (b) 要证（1）式成立，就是要证存在 某一点ζ∈(α,b)使 。 事实上，因为h在[α,b]上连续，所 以有最大值与最小值，分别用M与m表 示，现分两种情况来讨论： (i)若m=M，则h在[α,b]上必为常 数，从而结论显然成立。 （ii）若m＜M，则因h(α)=h(b)，使 得最大值M与最小值m至少有一个在(α, b)内某点ζ取得，从而ζ是h的极值点。 由条件（h在(α,b)内可导）知h在ζ处可 导，故由费马定理推知 ，即： 注1 在(1)式中，若 x∈(α, b)，而且g(α)≠g(b)，则得柯西中值公 式 ： (2) 注2 在(1)式中，若g(x)=x，则又得 到拉格朗日中值公式： (3) 注3 在(3)式中，若 (α)=(b)，这 就是罗尔定理的结论 。 关于微分中值 定理的证明及思考 常敏慧 运城学院应用数学系 044000 一元函数的微分中值定理，通常指罗 尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，它们 构成微分学的理论核心，是研究函数性态 （如：不定式极限、单调性、极值、凸 性、拐点）的有效工具。证明这些中值 定理的出发点是下述费马定理： 定理1[1] 设函数 在点x0的某邻域 U(x0)内有定义，且在点x0可导。若x0是 的极值点，则必有 。 通常由上述费马定理导出罗尔定理， 并以罗尔定理为基础逐步推广，得到拉格 朗日定理和柯西定理。当然也可以由上述 定理直接证明柯西定理，然后把拉格朗日 定理和罗尔定理看成柯西定理的特殊形 式。下面就采用这种途径来处理。 1 微分中值定理的证明 2 对微分中值定理的思考 (1) 微分中值定理的条件是充分条件， 不是必要条件; 如 函数 (x) 对罗尔定 理的三个条件皆不满足, 但却有 （x）=0,x∈（-1,1）且 x≠0。 (2) 罗尔定理的条件不完全满足时结论 有可能不成立; 如 函数 在[-1,1] 上不连续，在（- 1 , 1）内不存在ζ使 ; 函数 在x=0处不可 导，在（-1,1）内不存在ζ使g 。 (3) 若把拉格朗日定理中条件函数在 [α,b]上连续去掉，只要求函数在(α,b)可 导，则结论不一定成立。因为函数在(α,b) 可导只能保证在(α,b)连续，在两个端点 处可以不连续，这样的函数在闭区间[α,b] 上就丧失了闭区间上连续函数的性质，定 理也就不一定成立了。 如函数 在开区间(0,1)可导， 在x=0处不连续，在(0,1)不存在ζ使 (1)-(0)= (1-0)成立。 (4) 若拉格朗日定理的条件改为只要求 函数在[α,b]可导，如函数 ， The Proof and Thought on Mean Value Theorem Chang Minhui Department of Application Mathematics Yuncheng University Yuncheng Shanxi 044000 下转第38页 摘 要 本文先证明了一个一般形式的中值定理,由它 得到罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理,然 后对微分中值定理条件和结论进行了一些讨 论。 关键词 微分中值定理；连续；可导；中值点 中图分类号：O172 Abstract In this paper we first prove a mean value theorem of general form and get Rolle theorem, Lagrange theorem and Cauchy theorem from it, then make some discussion on conditions and conclusions of differential mean value theorem. Key words differential mean value theorem; continuous; derivable; mean point -38- 中国科技信息2008年第16期 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Aug.2008工 程 参考文献 [1] McKeown N. The iSLIP scheduling algorithm for input-queued switches[J]. IEEE/ACM Trans Networking, 1999.7(4):188-201. [2] Richard, Dimitrio. Two dimensional round-robin schedulers for packet switches with multiple input queues[J]. IEEE/ACM Trans. Networking,1994,2 (5):471-482. [3] McKeown N, Anantharan V , Walrand J. Achieving 100% throughput in an input-queued switch[A]. IEEE Infocom’96[C]. San F rancisco:IEEE, 1996. 296-302. [4] Anderson T, Owicki S, Saxes J, Thacker C. High speed switch scheduling for local area networks. ACM Transactions in Computer Systems, Dec. 1993,319-352. [5] 王斌. 高性能路由器的交换技术研究 [D], 北京邮电大学, 20050420：5—16. [6] 李文杰，刘斌. 输入排队中抢占式的 短包优先调度算法[J], 电子学报, 2005, 4 (33):577—583. [7] 华兴. 排队论与随机服务系统[M].上海 翻译出版公司，1987：180—185. 作者简介 赵卫星（1 9 5 8 - ），男，河北保定人， 工程师，从事电力系统通信工程 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ； 李秋（1 9 8 3 - ），女，山东兖州人，硕 士研究生，研究方向为信息系统及信息安 全 ； 王秀欣（1983- ），硕士研究生，研究 方向为信息系统及信息安全。 上接第35页 显然 在x=±1点不可导，但x=0时， (0)=0，由此知这样变化条件后定理的 应用范围缩小了。 (5) 满足罗尔定理条件的中间值ζ可以 有无穷多吗?可能。 例如，函数 在[- 1,1]上满足罗尔定理的条件，当x≠0时, , 当 时(n∈Z), ，说明 定理中的中间值ζ可以有无穷多。 (6)[3] 罗尔定理的条件可以减弱。函 数 (x)在闭区间[α,b]的两端点α,b处即使 不连续，只要在两端点处的单侧极限存在 且相等，定理结论仍然成立;定理中的区 间也可以是无穷区间，只要满足一定的条 件,也能保证定理结论的成立。 (7) 微分中值定理中只指出ζ的存在 性，没有指出它的具体位置，某种意义上说 微分中值定理就是适合特定等式的某区间 内的“中值点”的存在定理。从文献[4]中得 到如下定理: 定理3 设函数 (t),g(t)在[α,x]上连 续，在(α,x)内可导, 存 在，且 ，记 ， ，则 对于柯西中值公式( 2 )中的ζ有 。 上接第33页 参考文献 [1] 华东师范大学数学系.数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 [M].北 京：高等教育出版社.2001. [2] 盛祥耀.高等数学[M].北京：高等教育 出版社.1987 [3] 齐春玲,李晓培.关于罗尔(Rolle)中值定 理条件的研究[J].河南科技大学学报(自然 科学版).2007(5):96～97. 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