第五章线性参数的最小二乘法处理

null第5章 线性参数的最小二乘法第5章 线性参数的最小二乘法null最小二乘法（least square method） 1805年，勒让德（Legendre）应用“最小二乘法”，确定了慧星的轨道和地球子午线段。 1809年，高斯（Gauss）论证其解的最佳性。 经典最小二乘法（即代数最小二乘法） 现代最小二乘法（即矩阵最小二乘法）线性参数的最小二乘法线性参数的最小二乘法第一节 最小二乘法原理 第二节 正规方程 第三节 精度估计 第四节 组合测量的最小二乘 法处理大纲要求大纲要求掌握最小二乘原理。 掌握正规方程: 等精度测量线性参数的最小二乘处理 不等精度测量线性参数的最小二乘处理 掌握最小二乘精度估计方法。 第一节　最小二乘法原理 第一节　最小二乘法原理 设有一金属尺，在温度t时长度可表示为 yt=y0（1+t），其中，y0为温度零度时的精确长度。为金属材料的线膨胀系数，求y0与的数值 一、最小二乘法原理 引题:求 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 米尺线膨胀系数 null求标准米尺线膨胀系数 设在t1，t2，t3……….tn温度条件下分别测得金属尺的长度l1，l2，l3 ………. ln共n个结果，可列出方程组 （1）    当n<2，方程有无穷多个解。 （2）  当n=2，方程只有唯一解。 （3）当n>2，方程组无解。 最小二乘法y0与最可信赖 值？一、最小二乘法原理 null待测量（难以直接测量）：直接测量量：问题：如何根据　　　　和测量方程解得待测 量的估计值　　　　　？一、最小二乘法原理 为确定t个不可直接测量的末知量 的估计量 ，可对与该t个末知量有函数关系的直接测量量Y进行n次测量，得测量数据 （n>t）并设有如下函数关系： 测量方程 null直接求得　　　　　。有利于减小随机误差，方程组 有冗余，采用最小二乘原理求 。讨论：最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。一、最小二乘法原理 null一、最小二乘法原理 由此得测量数据 的残差为： v1= l1-y1 v2= l2-y2 …. ….. （5-3） vn= ln-yn即 残差方程式 （误差方程式） null一、最小二乘法原理 各误差相互独立，由概率乘法定理，各测量数据同时分别出现在相应区域的概率应为： null一、最小二乘法原理 等精度测量 ：最小二乘原理的代数形式测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值 出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应为引入权null必须指出:上述最小二乘原理是在测量误差无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用。实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。一、最小二乘法原理 最小二乘原理:测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。第一节　最小二乘法原理 二、线性参数的最小二乘法处理 线性参数的测量方程相应的估计值 其误差方程： 第一节　最小二乘法原理 null二、线性参数的最小二乘法处理 线性参数的最小二乘原理的矩阵形式 误差方程的矩阵形式 误差方程null二、线性参数的最小二乘法处理 线性参数的最小二乘原理的矩阵形式 误差方程的矩阵形式 其中：null不等精度　　 等精度不等精度测量线性参数的最小二乘原理的矩阵形式null二、线性参数的最小二乘法处理 线性参数的不等精度测量转化为等精度的形式： null误差方程 正规方程（法方程） 最小二乘法 (方程数n>末知数个数t) (n=t) 求解线性方程组 求极值的方法线性参数的最小二乘法处理程序 正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的 　　　　　有确定解的代数方程组。第二节、正规方程第二节、正规方程一、等精度测量线性参数最小二乘法的正规方程 二、不等精度测量线性参数最小二乘法的正规方程 三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程（略） 四、最小二乘法与算术平均值的关系 第二节　正规方程 第二节　正规方程 一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程且第二节　正规方程 第二节　正规方程 正规方程：特点：　主对角线分布着平方项系数，正数 　相对于主对角线对称分布的各系数两两相等(5-19)第二节　正规方程 看正规方程组中第r个方程：则正规方程可写成第二节　正规方程 即正规方程的矩阵形式第二节　正规方程 第二节　正规方程 将　　　　　代入到　　　　中，得null的数学期望为： null由最小二乘法求最佳解系数矩阵A--------误差方程，（测量方程） 实测值矩阵L------直接测得 例题 5-1第二节　正规方程 第二节　正规方程 例5.1 已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：　　　　　　　　　　　　　　　　　　，为 　　　　　　　　　。为获得０℃时铜棒的长度　 　　　和铜的线膨胀系数　，现测得不同温度下铜 　　　棒的长度，如下表，求　，　的最可信赖值。null由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的 正规方程：二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程 null整理得：(5-19)(5-25)不等精度的正规方程null即不等精度的正规方程将　　　　　代入上式，得null的数学期望为： null由最小二乘法求最佳解系数矩阵A--------误差方程，（测量方程） 测量值矩阵L------直接测得 权矩阵P例题 5-2null例5.2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差： 试求 的最可信赖值。解：首先确定各式的权null令null四、最小二乘法与算术平均值的关系 为确定一个量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得到n个数据 ,相应的权分别为 。最佳估计值 运用最小二乘法求 null 误差方程： 系数矩阵 权矩阵： 实测值矩阵 null对等精度测量： 与前面结果一致。 此式与等精度测量时算术平均值原理给出的结果相同，由此可见，最小二乘法原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理可以看作是最小二乘法的特例。 第三节 精度估计第三节 精度估计一、直接测量数据 的精度估计 二、最小二乘估计量 的精度估计 第三节　精度估计 第三节　精度估计 一、测量数据精度估计(一）等精度测量数据的精度估计可以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 是自由度（n－t）的 变量。 根据 变量的性质，有null则可取作为 的无偏估计量。因此测量数据的标准差的估计量为当t=1时？ null(二) 不等精度测量数据的精度估计 一、直接测量数据 的精度估计 测量数据的单位权标准差 当t=1时？ null直接测量量的标准差对角元素不定系数 二、最小二乘估计量 的精度估计 1、等精度测量时估计量的精度估计 null单位权的标准差 对角元素不定系数 二、最小二乘估计量 的精度估计 2、不等精度测量估计量的精度估计 第四节 组合测量（combined measurement）的最小二乘法处理第四节 组合测量（combined measurement）的最小二乘法处理组合测量基本概念组合测量基本概念组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量（一般是等精度测量），然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计值，并给出其精度估计。 通常组合测量数据是用最小二乘法进行处理，他是最小二乘法在精密测试中的一种重要应用。t个被 测量 n个误差方程式 求解 n种 组合最小 二乘法组合测量基本概念组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量 测得值误差方程 待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量基本概念组合测量基本概念优点：精度较高。组合形式越多（n越大），测量结果的精度就越高。 缺点：工作量大 应用：在精密测量工作中有十分重要的地位，如标准器的检定。 null【例题】　要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离　　　　。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求　　　　及其标准偏差。 null直接测量各组合量，得首先列出误差方程由此可得：null则null式中，现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入 误差方程中，null那么，测量数据 的标准差为null已知则最小二乘估计量 的标准差为