步步为赢
中考数学第二轮复习资料—专
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
复习
目 录
（一）、初中阶段主要的数学思想
1.分类讨论思想
2.数形结合的思想
3.转化的思想
4.
函数
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与方程的思想
5、数学建模的思想
（二）、初中阶段主要考查的数学能力
1.图表信息型
2.探索规律型
3.开放型
4.实验操作型
5.阅读理解型
6.运动变化型
7.新定义型
8. 方案设计型
（一）、初中阶段主要的数学思想
1.分类讨论思想
当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或
标准
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，将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想。这就是主要考查了分类讨论的数学思想方法。
一：【要点梳理】
1.数学问题比较复杂时，有时可以将其分割成若干个小问题或一系列步骤，从而通过问题的局部突破来实现整体解决，正确应用分类思想，是完整接替的基础。而在学业考试中，分类讨论思想也贯穿其中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都设计分类讨论。由此可见分类思想的重要性，在数学中，我们常常需要根据研究队形性质的差异，分个中不同情况予以观察，这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法的解题策略，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分级问题、解决问题的能力都是十分重要的。
2.分类讨论设计全部
初中数学
初中数学教师发展规划初中数学教师年度考核初中数学的教学计划初中数学有理数计算题初中几何辅助线秘籍
的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。
3.热点内容
(1).实数的分类。
(2).绝对值、算术根
(3).各类函数的自变量取值范围
(4).函数的增减性：
EMBED Equation.DSMT4
(5).点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。
(6).三角形的分类、四边形的分类
二：【例题与练习】
1.在平面直角坐标系内，已知点A（2，1），O为坐标原点。
请你在坐标上确定点P，使得三角形AOP成为等腰三角性，
在给出坐标西中把所有这样的点P都找出来，画上实心点，
并在旁边标上P1，P2，P3……
（有k个就表到P1，P2，Pk,不必写出画法0）.
2.由于使用农药的原因，蔬菜都回残留一部分农药，对身体健康不利，用水清晰一堆青菜上残留的农药，对于水清晰一次的效果如下规定：用一桶水可洗掉青菜上残留农药的
，用水越多洗掉的农药越多，但总还有农药残留在青菜上，设用x桶水清洗青菜后，青菜上残留的农药量比本次清晰的残留的农药比为y，
（1）试解释x=0，y=1的实际意义
（2）设当x取x1,x2使对应的y值分别为y1,y2,如果x1＞x2＞1，试比较y1，y2，
的关系（直接写结论）
（3）设
，现有a(a＞0)桶水，可以清洗一次。也可以把水平均分2份后清洗两次，试问哪种方；案上残留的农药比较少？说明理由.
3.田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌个有等级为上、中、下的三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，有一天，齐王要与田忌塞马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强…………
（1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？
（2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随即出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写双方对阵的所有情况）
4.填空：
（1）要把一张值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值2元、1元的人民币，那么有＿＿＿＿种换法。
（2）已知（2005-x）2=1，则x=＿＿＿＿
（3）若
，则直线y=kx+k的图像必经过第＿＿＿象限。
（4）一次函数y=kx+b的自变量取值范围是-3小于等于x小于等于6，相应函数值的取值范围是-5小于等于y小于等于2。则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿
5.选择：
（1）若x2+4(m-2)x+16是完全平方式，则m等于（ ）
A.6 B. 4 C. 0 D. 4或0
（2）若圆O所在平面内的一点P到圆O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a＞b)，则此圆的半径为（ ）
A.
； B.
； C.
； D.
（3）已知圆O的直径AB=10cm。CD为圆O的弦，且点C，D到AB的距离分别为3cm和4cm,则满足上述条件的CD共有（ ）
A.8条 B.12条 C.16条 D.以上都不对
6.如图，已知等边三角形ABC所在平面上有点P，使△PAB，
△PBC，△三角形PAC都是等腰三角形，问具有这样性质的
点P有多少个？请你画画
7.一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标出3，4，5从袋子中随即取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回；在取出一个小球用一个小球上的数字作为数位上的数字，这样组成一个两位数，试问：按这样方法能组成哪些两位数？十位数上的数字比个为上的数字合为9的概率是多少？用列表发或画数状图加以说明。
8.依法纳税是每个公民应尽的义务，从2006年1月1日起，个所得税的起征点从800元提到1600元。 月工资个人所得税税率表(与修改前一样):
全月应纳税所得额
税率(%)
不超过500元的部分
5
超过500元至2000元的部分
10
超过2000元至5000元的部分
15
……
……
(1)某同学父亲2006年10月工资是
3000元（未纳税），问他要纳税多
少？
(2)某人2006年8月纳税150.1元，那么此人本月的工资（未纳税）是多少元？此所得税法修改前少纳税多少元？
(3)已知某人2006年9月激纳个人所得税a（0＜a＜200）元,求此人本月工资（未纳税）是多少元？
9.已知：如图所示，直线
切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，
点B在直线
上，且∠BAC=∠CA D(A D与AB不在一条直线上)，试
判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？
10. (1)抛物线
经过点A (1，0)．
①求b的值；
②设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内的点．如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长．
(2)已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于
，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
2.数形结合的思想
把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。涉及实数与数轴上点的对应关系，公式、定理的几何背景问题，函数与方程的对应关系等。
一：【要点梳理】
1.数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等
2. 热点内容
(1).利用数轴解不等式(组)
(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.
(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.
(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题.
二：【例题与练习】
1.选择：
（1）某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量 c（件）
关于时间t（月）的图象如图所示，则该厂对这种产品来说（ ）
A.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少
B.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平
C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产
D.1月至 3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产
（2）某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y（元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（ ）
（3）丽水到杭州的班车首法时间为早上6时,末班车为傍晚18时,每隔2小时有一班车发出,且丽水到杭州需要4个小时.已知同一时刻有班车分别从杭州、丽水战发出.则班车在图中相遇的次数最多为( )
A.4次 B.5次 C.6次. D.7次
2.填空：
（1）已知关于X的不等式2x-a>-3的解集如图所示,则a的值等于
（2）如果不等式组
的解集为x>3,则m的取值范围是
3.考虑
的图象,当x=－2时,y= ；当x<-2时,y的取值范围是 。当y≥-1时,x的取值范围是
4.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人
按规定剂量服用,那么2个小时时血液中含药最高,达每毫升
6微克(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药
量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)
的变化如图所示.当成人按规定剂量服药后.
(1)分别求出x≤2和x≥2时y与x的函数解析式;
(2)如果每毫升血液中含量为4微克或4微克以上时,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间有多长?
5.如图.小杰到学校食堂买饭,看到A、B两窗口前排队的人一样多(设为a
人,a>8),就战到A窗队伍的后面,过了2分钟他发现A窗口每分钟有6人
买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人.
(1)此时,若小杰继续在A窗口排队,则他到达窗口所花的时间是多少(用含
a的代数式表示)?
(2)此时,若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队,且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口的时间少,求a的取值范围(不考虑其他因素).
6.如图①,在平面直角坐标系中,两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合,点A在第二象限内.点B、点C在x轴的负半轴上,角CAO=30°,OA=4.
(1)求点C的坐标;
(2)如图②,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转30°到△A'CB'的位置, 其中A'C交知线OA与点E,A'B'分别交直线OA,CA与点F,G,则除△A'B'C≌△AOC外,还有哪几对全等的三角形,请直接写出答案(不再另外天家辅助线)
① ②
7.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象过点(-1,2)
和(1,0),且与y轴相交与负半轴。以下结论（1）a>0；
（2）b>0；（3）c>0；（4）a+b+c=0；（5）abc<0；
（6）2a+b>0;（7）a+c=1；（8）a>1中,正确结论的序号
是 .
8.如图,在四边形ABCD中,对角线AC垂直BC,AC=BC=2,动作P
冲点A出发沿AC向终点移动,过点P分别作PM平行AB交
BC与M,PN平行DC与点N,连接AM,设AP=x.
(1)四边形PMCN的形状可能是菱形吗?请说明六;
(2)当x为何值时,四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等?
9.如图所示，ΔAOB为正三角形，点A、B的坐标分别为
，求a，b的值及△AOB的面积．
10.在直径为AB的半圆内，画出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8．现要建造一个内接于△ABC的矩形水池 DEFN，其中，DE在 AB上，如图所示的设计方案是使AC=8，BC=6．
⑴ 求△ABC中AB边上的高h；
⑵ 设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
⑶ 实际施工时，发现在AB上距B点l．85处有一棵大树．问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．
3.转化的思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题等，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。
一：【要点梳理】
将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思想的过程，选择运用的数学方法进行交换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题思想叫做转化与化归的思想，转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化。
除简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的，化归月转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化，无限向有限的转化等，都是转化思想的体现。
熟练，扎实的掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想，机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识的去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
二：【例题与练习】
1.已知实数x满足
,那么
的值是( )
A.1或-2； B. -1或2； C. 1
； D.-2
2.如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，
其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2=S3
(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，
其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么
关系（不求证明）？
(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，
其面积分别为S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系，
并加以证明。
(3)若分别以直角三角形ABC三边为边想外作三个一般三角形，
其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具
有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
(4)类比（1）（2）（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论。
3.如图①所示，一张三角形纸片ABC，角ACB=90，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成三角形AC1D1和三角形BC2D2两个三角形（如图②所示），将纸片三角形AC1D1沿直线D2B（AB方向平移0（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，CD1与BC2，交于点E，AC1与C2D2，BC2分别交于点F，P
(1)当三角形AC1D1平移到如图③所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并加以证明你的猜想
(2)设平移距离D2D1为X，三角形AC1D1与三角形BC2D2重叠部分面积设为y，请你写出y 与x的函数关系式，以几自变量的取值范围；
(3)对与（2）中的结论，是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原三角形ABC的1/4/？若存在，求x的值：若不存在，请说明理由。
4.如图，在宽为20m，长32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（如图阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为540m2.求道路的宽17如图反比例函数
与一次函数y=-x+2的图像交于A，B两点
(1)求A，B两点坐标
(2)求三角形AOB的面积
5.如图，在直角坐标系中，点O’的坐标为（2，0），圆O与x
轴交于原点O和点A，又B，C，E三点坐标分别为(-1，0)，
（0.3），（0，b），且0＜b＜3
(1)求点A的坐标和经过点B，C两点的直线的解析式
(2)当点E在线段OC上移动时，直线BE与圆O有哪几种位置
关系？并求出这种位置关系b 的取值范围。
6.已知
7.如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
的矩形，接着把面积为
的矩形等分成两个面积为
的正方形，再把面积为
的正方形等分成两个面积为
的矩形，如此进行下去……试利用图形揭示的规律计算：
8.解方程：
9.△ABC中，BC＝
，AC＝
，AB＝c．若
，
如图l，根据勾股定理，则
。若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想
与c2的关系，并证明你的结论．
10.已知：如图所示，在△ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，
若AC=1且∠BAC=60°，∠ABC＝100°，∠DEC=80°，
求:
.
4.函数与方程的思想
函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。
中考函数试题解法及新颖题目研究
函数是初中代数的重点，也是难点，在中考的代数部分所占比重最大，综合题中离不开函数内容。中考函数考察的重点是：函数自变量取值范围，正反比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质，画函数图像，求函数表达式。近年来中考比较侧重实际应用问题的考察。中考的最后一道题，常常要用到多个数学思想方法，纵观近几年的中考题，基本上都是函数、方程、几何（主要是圆）的综合题。
1．初中函数知识网络
2．命题思路与知识要点：
2．1一般函数
2．1．1考查要点：平面直角坐标系的有关概念；常量、变量、函数的意义；函数自变量的取值范围和函数值的意义及确定。
2．1．2考纲要求：理解平面直角坐标系的有关概念，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，会求对称点坐标，能确定函数自变量的取值范围。
2．1．3主要题型：填空题，选择题，阅读理解题。
2．1．4知识要点：
（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。
（2）特殊位置上点的坐标特点：
①点P(x，y)在x轴上
y=0；
点P(x，y)在y轴上
x=0；
②点P(x，y)在第一、三象限角平分线上 x=y；
点P(x，y)在第二、四象限角平分线上 x+y=0;
③点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)；
点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y)；
点P(x，y)关于原点对称的点的坐标是(－x，－y)；
确定函数自变量取值范围，就是要找出使函数有意义的自变量的全部取值。一般从以下几方面考虑：
（1）解析式型：函数直接由解析式给出，不涉及其它问题。主要有以下五种情况：①整式型：自变量的取值范围是全体实数；②分式型：自变量的取值范围是使分母不为零的实数；③二次根式型：自变量的取值范围是使被开方式为非负数的实数；④零指数和负指数型：自变量的取值范围是使底数不为零的实数。⑤综合型：自变量的取值范围是使各部分有意义的公共部分。
（2）具体问题型：函数涉及具体问题时，要考虑使具体问题有意义。主要有以下两种情况：①几何问题型：要使自变量取正值，且满足几何的定义、公理、定理等；②实际问题型；自变量的取值使实际问题有意义。
（3）动态问题型：在动态问题中，自变量的取值范围受动点运动范围的限制。一般先求动点运动的极端值，从而确定自变量的取值范围。
自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独的一个数。
2．2一次函数
2．2．1考查要点：一次函数的概念、图象、性质；一次函数解析式的确定。
2．2．2考纲要求：理解正比例、一次函数的概念并会用待定系数法求出函数解析式；熟练掌握一次函数的图象及其性质，并能灵活运用。
2．2．3主要题型：填空题，选择题，解答题。
2．2．4知识要点：
（1）一般地，如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么，y叫做x的一次函数。k、b是常数的含义是，对于一个特定的函数式，k和b的值是固定的。k≠0这个条件不能省略不写，若k=0，则y=kx+b变形为y=b，b是关于x的0次式，因此不是一次函数。
特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数。正比例函数是一次函数的特例。
(2)一次函数的图象是一条直线。由几何知识可得，要画一条直线只要知道两点就可以了。所以一次函数图象的方法是：只要先描出两点，再连成直线就可以了。画正比例函数y=kx的图象，通常取（0，0）和（1，k）两点连成直线。画一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象，通常选取
和
两点连成直线。通常，我们把一次函数y=kx+b的图象叫做直线y=kx+b。
直线的倾斜形态与k的关系如下：（1）k>0时，直线的倾斜形态“/”；（2）k<0时，直线的倾斜形态“\”。要树立“数形结合”的数学思想方法。由k的数值（正、负）决定出直线的倾斜形态，反之，由直线的倾斜形态能确定k的正、负。y＝kx＋b（k≠0）与y＝kx（k≠0）的图象是两直平行线。
直线所经过的象限与k、b的关系：
示意图
k、b的符号
k＞0
k＞0
b＞0
b＜0
b＞0
b＜0
直线y＝kx＋b所经过的象限
一、二、三
一、三、四
一、二、四
二、三、四
直线y＝kx＋b不经过的象限
四
三
二
一
（3）一次函数的性质：
一般地，正比例函数y=kx和一次函数y=kx+b都有下列性质：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（4）一次函数解析式的确定：
在正比例函数y=kx（k≠0）中，只要求出k的数值，这个正比例函数解析式就求得。所以求y=kx（k≠0）所需条件是一个点坐标。
由于一次函数y=kx+b（k≠0）中需要求出k与b的数值，所以需要两个点的坐标（或说两个相互独立的条件），代入解析式中，得到关于k与b的二元一次方程组，通过解方程组求出k与b的数值。
要注意掌握由坐标求线段长度，由线段长度求坐标的转换方法。掌握由直线解析式求与坐标轴交点的坐标和由直线上两点坐标，求直线解析式的方法。掌握求两直线交点坐标的方法。
2．3反比例函数
2．3．1考查要点：反比例函数的概念、图象、性质；反比例函数解析式的确定。
2．3．2考纲要求：理解反比例函数的概念并会用待定系数法求出函数解析式；熟练掌握反比例函数的图象及其性质，并能灵活运用。
2．3．3主要题型：填空题，选择题，解答题，应用题。
2．3．4知识要点：
（1）如果y=
(或y=kx
或xy=k)(k≠0)，那么y叫做x的反比例函数。注意反比例函数有三种不同表现形式：①y=
(k≠0)；②y=kx
(k≠0)；③xy=k(k≠0)。自变量x的取值范围是x≠0的实数。在反比例函数中，两个变量成反比例关系。因此，判定两个变量是否成反比例关系，看是否能写成反比例函数关系，即两个变量的积是不是一个不为0的常数。
（2）反比例函数y=
(或y=kx
或xy=k)(k≠0)的图象是由两条曲线组成，叫做双曲线，它们关于原点成中心对称。反比例函数的图象是两条双曲线，两条双曲线既不过原点，又与两个坐标轴不相交（因为xy≠0），它只是无限接近x轴和y轴。用描点法画反比例函数图象时，可先画一个分支，由两个分之关于原点对称的性质，再画另一个分支。要注意两个分支不能相连，即两个分支是断开的。
（3）反比例函数解析式的确定。因为反比例函数解析式y=
(k≠0)，只含有一个待定系数，所以要确定函数解析式，只需要已知图象所经过的一个点的坐标即可。
（4）反比例函数性质的学习要结合图象进行。k>0时，反比例函数y=
(或y=kx
)的图象在一、三象限，函数y在每个象限内随x的增大而减小。k<0时，反比例函数y=
(或y=kx
)的图象在二、四象限，函数y在每个象限内随x的增大而增大。
（5）反比例函数y=
(或y=kx
)(k≠0)中比例系数k的几何意义是：过双曲线上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=
。如果再连结PO，则
。如图2。
（6）一次函数与二元一次方程（组）的关系：
将一次函数y=kx+b移项，得kx-y+b=0，可以看出这是一个二元一次方程。这样，y=kx+b的图象也是方程kx-y+b=0图象，图象上每个点的坐标都适合方程kx-y+b=0，也就是方程kx-y+b=0的解。直线y=kx+b与x轴的交点的纵坐标等于0，即直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解。
设直线
和直线
的交点坐标为(a,b)，则a,b适合这两个函数关系式。所以直线
和直线
的交点坐标就是方程组
的解。
因此，我们可以用图象法来求一元一次方程、二元一次方程组以及一元一次不等式的近似解。
2．4二次函数
2．4．1考查要点：描点法画函数图象；二次函数和抛物线的有关的概念、性质；二次函数解析式的确定。
2．4．2考纲要求：了解描点法画函数图象，理解二次函数和抛物线的有关的概念，抛物线的顶点、对称轴；会用待定系数法求出函数解析式；熟练掌握二次函数的图象及其性质，并能灵活运用。
2．4．3主要题型：填空题，选择题，解答题，阅读理解题，应用题。
2．4．4知识要点：
（1）二次函数解析式，主要有两种形式：一般式y=ax2+bx+c与顶点式y=a(x-h)2+k，其中a≠0。它的图象为抛物线，其位置与各系数关系为：(1)a 决定抛物线的开口方向：a>0，开口向上；a<0,开口向下；(2)抛物线与y轴交点的坐标为(0,c)；(3)a、b结合决定抛物线对称轴的位置，对称轴x=- eq \f(b,2a) ，若a、b同号，则对称轴在y轴左侧；若b=0,则对称轴是y轴；若a、b异号，则对称轴在y轴右侧；(4)一般式的顶点坐标为（-eq \f(b,2a)，eq \f(4ac-b2,4a)）,顶点式的顶点坐标为（h,k）。
（2）求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式；若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3．中考函数新颖试题分析
中考数学试题里，有关函数的试题覆盖了函数的主要考点，且出现了一些体现新课程理念，具有强烈的时代气息的新颖试题，下面结合一些事例作简单分析。
3．1．坐标系与相似三角形
例1请同学们在右边的同一个直角坐标系中，画出两个形状相同，但面积不等的三角形。
答案不唯一。如
评注：此给学生广阔的思维空间，体现数形结合思想，学生可从边或角两个角度探求直角，画出符合要求的直角三角形。本题考查学生发散思维的能力、运用知识解决问题的能力及数形结合思想。
3．2．网格与坐标系
例2如图，是象棋盘的一部分，若帅位于点（1，-2）上，相位于点（3，-2）上，则炮位于点（ ）上。
A.（-1，1） B.（-1，2） C.（-2，1） D.（-2，2）
例3（2005年杭州市）如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内,白棋② 的坐标为
,白棋④的坐标为
,那么黑棋①的坐标应该是 .
答案：C；（－3，－7）
评注：这两个题充分利用方格纸的特点及坐标的有关知识，将方格纸与平面直角坐标系以及学生熟悉的象棋、围棋联系在一起，新颖而有趣味性。
3．3．网格与坐标系与中心对称
例4如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心。此时，M是线段PQ的中点。如图，在直角坐标系中，⊿ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）。点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于⊿ABO的一个顶点对称：
点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…。对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环。已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标。
答案：P2(1，－1) P7(1，1) P100=(1，－3)
评注：本题将中心对称、坐标以及规律寻找结合起来。
3．4．阅读函数图象，解决实际问题。
例5某游乐场每天的赢利额y（元）与售出的门票x（张）之间的函数关系如图所示.
（1）当0≤x≤200，且x为整数时，y关于x的函数解析式为 ；
当200＜x≤300，且x为整数时，y关于x的函数解析式为 .
（2）要使游乐场一天的赢利超过1000元，试问该天至少应售出多少张门票？
（3）请思考并解释图像与y轴交点（0，－1000）的实际意义.
（4）根据图像，请你再提供2条信息。
答案：（1）y=100x-1000；（2）y=150x-2500。（3）没有售出门票时，亏损1000元。（4）答案不惟一。
评注：此题巧妙地将函数知识与实际生活情景联系在一起。
3．5．二次函数的最值与应用。
由
可知：当a＞0时，顶点
是抛物线
的最低点，即
时，二次函数
取得最小值
。当a＜0时，顶点
是抛物线
的最高点，即
时，二次函数
取得最大值
。
例6某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品。已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元。在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系。
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）。当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围。在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
答案：（1）
（2）当
元时，年获利最大为60万元。
（3）要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元。
评注：本题在日常情景中，运用了许多数学知识，如解方程组，二次函数的画图及求二次函数的极值。应用二次函数的有关知识，分析和解决生产、生活或相关学科中简单问题，既可提高学习数学的兴趣，又能增强用数学的意识，也是当前体现“人人学有用数学”的热点考题。需要注意的是，实际问题中，有时需要根据实际问题的具体情况确定“局部最值”。
3．6．函数与跨学科试题
例7在某一电路中，保持电压不变，电流I（安）与电阻R（欧）成反比例函数关系，其图像如图3，则这一电路的电压为 伏.。
析解：因为在某一电路中，保持电压不变，电流I（安）与电阻R（欧）成反比例函数关系。所以可设
。又根据图象过（2，5）。所以容易求得U=IR=10（伏）。
评注：动态的数量变化预示着函数的广泛运用。实际生活中的许多问题都可以用函数的有关知识来解决。尽管我们初中生的数学知识十分有限，但也能解决不少的实际问题。在我们学习的物理知识中，许多物理量之间的关系就是我们数学上的反比例函数关系。在倡导素质教育的今天，在数学试题中渗透物理知识是一个新热点。在近几年的中考数学试题中，已开始出现数学与物理综合的考题，学科结合型试题也是今后中考命题的一个趋势，值得引起大家的注意。
3．7．函数探索性试题
例8如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x＝t，使它与直线y＝x和直线
分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形。若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因。
分析：对存在性探索试题，其一般解题思路是：先对作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的推理或计算，再对得出的结果进行分析检验，说明假设是否正确，由此得出符合条件的数学对象存在或不存在。顺着这种思路，对该题，我们很容易得到以下两种解法。
答案：存在。当t＝
时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，
）或（0，
）；当
时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，
）；当t＝－4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）。
评注：所谓探索型试题，是指缺少一定的题设和结论，需要学生自己推断、补充并加以解决的一类数学考题。由于这类考题形式新颖、思考方向不确定，因此，综合性和逻辑性较强，它着力于考查学生的观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高学生的思维品质，培养学生独立解决问题的能力具有十分重要的作用，因此成为近年来各地中考命题的一类热门题型。其具体形式多样，其中，存在性探索题是最常见的一类。
3．8．函数综合题
例9如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）A（－1，0），B（3，0）；C（0，3）.
（2）略。
（3）满足题意的点P存在，其坐标为（1，
）。
评注：这是最典型的中考数学压轴题。
几何中的基本元素——线段做为函数中的变量，求函数解析式，一般寻找一个等量关系列方程，再转化为函数解析式，难点是求自变量取值范围及画函数图象的示意图。函数知识与几何知识相互转化的基础是｜点坐标｜＝线段长。
一般解题思路是：（1）已知点坐标(线段长，线段长(……(点坐标；（2）用待定系数法求函数解析式；（3）解析式(点坐标(线段长(面积及其它。
解综合题中注意合理运用点在函数图象上，点的坐标适合函数解析式：（1）已知点P（a，b）（a，b为已知数）代入含“待定系数”的函数解析式构造关于待定系数的方程。（2）点P（a，k）或（k，b）（其中a，b为已知数，k为待定系数）代入含“待定系数k”的函数解析式，构造关于k的方程。（3）已知点P（a，y）或（x，b）（其中a，b为已知数，x，y为未知数），代入已知函数解析式，则可以用关于a的代数式表示y或用关于b的代数式表示x。（4）已知点P（x，b）（其中b为已知数，x为未知数），代入含待定系数k的函数解析式，可以用含k的代数式表示x。
解函数——几何综合题时，注意图形的分解。（把基本的几何图形从直角坐标系中分离出来，求出所需线段长后，再放回坐标系中）。
解函数——几何综合题时，注意对点位置的讨论。
综合题的学习既要见题有一定的思路，又不能模式化地套用旧有模式，应以数学思想方法为指导，致力于能力的提高。
五、数学建模的思想
简单的说就是把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述。其形式是多样的，可以是方程（组）、不等式、函数、几何图形等等。这需要考生具备阅读理解材料、获取有用信息、建立数学模型、解决实际问题的能力。
数学建模思想(1)
一：【要点梳理】
1.新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心.
2.解答应用题的主要步骤有：(1)建模，它是解答应用解题的最关键的步骤，即在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题；(2)解模，即运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运用，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论．其解答的基本程序可表示如上。
3.常见的数学模型及相关问题归类如下：
建模
相关内容
方
程
工程、行程、质量分数、增长率（降低率）、利息、存贷、调配、面积等
函数
方案优化、风险估算、成本最低、利润最大
不等式、统计、概率
最佳设计、租金预算、合理调配、人口、环保、投资估算
解直角三角形
测高量距、航海、气象、图形设计、土地测量、堤坝、屋架计算
线性规划初步
产品成本、销售盈亏、投资获利、城市规划、产业预估、利润分配、生产方案设计
二：【例题与练习】
1.某商店的老板销售一种上平，要要以不低与进价２０％的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价８０％的价格标价．若你想买下标价为３６０元的这种商品，最多降价（ ），商店老板才能出售（C）
Ａ.80元 Ｂ.100元 Ｃ.120元 Ｄ.160元
2.在社会注意新农村建设中，某乡阵决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要４０天完成；如果由乙工程队先单独做１０天，那么剩下的工程还需要两对合作２０天才能完成．
（１）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（２）求两对合作完成这项工程所需的天数．
3.校的一间阶梯教室，第一排的座位数为a，从第２排开始，每一排都比前一排增加b个座位．
（１）请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：
第排的座位数
第排的座位数
第排的座位数
第排的座位数
……
a
a+b
a+2b
……
（２）已知第４排有１８个座位，第１５排座位是第５排座位数的２倍，求第２１排有多少个座位？
4.九年级（８）班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：
李小波：阿姨，您好！
售货员：同学，你好，想买点什么？
李小波：我只有１００元钱，请帮我安排１０钢笔和１５本笔记本．
售货员：好，每支钢笔要比笔记本贵２元，退你５元，请清点好，再见．
根据这段对话，你能算你钢笔和笔记本的单价各是多少吗？
5.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某
种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器
的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经
过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。
⑴按该公司要求可以有几种购买方案？
⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
答案：⑴该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；
方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；
方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；
（2）应选择方案二。
进球数n
0
1
2
3
4
5
投进n个球的人数
1
2
7
2
6.某班进行个人投篮比赛，收污损的下标记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况如右表：
同时，已知进球数３个或３个以上
的人平均每人投进２.５个球．问投进
３个球和４个球的各有多少人？
7.我市向少数民族地区的某县赠送一批计算机，首批２７０台将与近期启运．经与某物流公司联系，得知用Ａ型汽车若干辆刚好装完；用Ｂ型汽车不仅可少用一辆，而且有一辆车差３０台计算机才装满．
（１）已知Ｂ型汽车比Ａ型汽车每辆车可多装１５台，求Ａ，Ｂ两种型号的汽车各能装计算机多少台？
（２）已知Ａ型汽车的运费是每辆３５０元，Ｂ型汽车的运费是每辆４００元．若运送这批计算机同时用这两种型号的汽车，其中Ｂ型的汽车都要节省，按这种方案需Ａ，Ｂ两种型号的汽车各多少辆？运费多少元？
8.某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?
解：根据题意，可有三种购买方案；
方案一：只买大包装，则需买包数为：；由于不拆包零卖．需买10包．所付费用为30×10=300(元)
方案二：只买小包装．则需买包数为： 需买1 6包，所付费用为1 6×20＝320(元)
方案三：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元。
9.某公司欲招聘甲、乙、丙三个工种的工人，这三个工种每人的月工资分别为800元、1000元、1500元．已知甲、乙两工种合计需聘30人，乙、丙两种工种合计需聘20人，且甲工种的人 数不少于乙工种人数的2倍，丙工种人数不少于12人．问甲、乙、两三个工种各招聘多少人，可使每月所付的工资总额最少？
10.某园林门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该园林除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年八年票分A、B、C三类；A类年票每张120元，持票者进人园林时无需再购买门票出类年票每张60元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次2元几类年票每张440元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．
⑴ 如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进人该园林的次数最多的购票方式；
⑵ 求一年中进人该园林至少超过多少次时，购买A类票比较合算．
数学建模思想(2)
二：【例题与练习】
1.某种出租车的受费标准是：起步价７元（即行驶距离不超过３km都需要付７元），超过３km以后，每增加１km加收２.４元（不足１km按１km计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费１９元，设此人从甲地到乙地经过的路程是xkm，那么x的最大值是（ ）
Ａ．１１ Ｂ.８ Ｃ.７ Ｄ.５
2.某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知道每件产品的进价为40元．每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万．在销售过程中发现．年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．
（１）求y 关于x的函数关系式；
（２）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额-年销售产品总进价-年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个量的最大值，
（３）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于４０万元，借助图中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在次情况下，要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
3.某商场购金一种单价为４０元的篮球，如果以单价５０元出售，那么每月可售500个，根据销售
经验
班主任工作经验交流宣传工作经验交流材料优秀班主任经验交流小学课改经验典型材料房地产总经理管理经验
，售价每提高１元，销售量相应减少１０个．
（１）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元；这种篮球每月的销售量是 个（用含x的代数式表示）；
（２）8000远是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说名理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应顶问多少元？
4.如图，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前
台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．
(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米.
(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据
，
)．(1)100；
；(2) 城市O不会受到侵袭。
5.如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发
现在其所处位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私
船只正以24海里／时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，
巡逻艇调整好航向，以26海里／时的速度追赶，在涉嫌船只不
改变航向和航速的前提下，问：
⑴需要几小时才能追上(点B为追上时的位置) (需要1小时才能追上．)
⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．(巡逻艇的追赶方向为北偏东67．4°)
6.如图所示，大江的一侧有甲、乙两个工厂，它们都有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及n千米，设两条小路相距l千米，现在要在江边建立一个抽水站，把水送到甲、乙两厂去，欲使供水管路最短．抽水站应建在哪里？
7.国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A、B、CD正好位于一个正方形的四个顶点．现计划在四个村庄联合架一条线路，他们设计了四种架设方案，如图中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
(图⑷线路最短，这种方案最省电线)．
（二）、初中阶段主要考查的数学能力
1.图表信息型
图表、图象是一种最直观形象的数学语言，学生需要对呈现的各种信息进行加工处理，其关键是正确获取图表、图象中的信息。对于这类题型需要学生能够透过现象发现规律揭示本质，这类题型能有效地考查学生的观察思考、分析推理、类比迁移及合理决策的能力。
一：【要点梳理】
1.图象信息题是指由图象（表）来获取信息．从而达到解题目的的题型。
2.图象信息题的图象大致分两大类．（1）是课本介绍的基本函数图象（如直线、双曲线、抛物线）；（2）是结合实际情境描绘的不规则图象（如折线型、统计图表等）．这种题型一般是由图象给出的数据信息，探求两个变量之间的关系，进行数、形之间的互换．
3.图象信息题的解决方法是观察图象，从图象提供的已知条件出发，认真分析，由图象信息建模出有关函数解析式，揭示问题的数学关系和本质属性，找到了解题的途径．
4.解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：（1）观察图象，获取有效信息；（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
5.图象信息题大致有三类：基本概念类、基础综合类和压轴综合类．题型可涉及填空、选择和解答等．
二：【例题与练习】
1.假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，
那么可以知道：（１）这是一次 m赛跑；（100）
（２）甲、乙两人中先到达终点的是 ；（甲）
（３）乙在这次赛跑速度为 m／s．（8）
2.如图是上体育课某学生推铅球时．铅球轨迹高度y（m）与水
平距离x（m）的函数图象．铅球推出的水平距离是 m；
这段图象的y关于x的函数解析式是 （10m；
）
3.某校九年级（８）班共有学生５０人，据统计
浙公网安备 33021202002483