2019-2020年高中数学专题突破练15平面向量的数量积新人教A版必修

PAGE/NUMPAGES2019-2020年高中数学专题突破练15平面向量的数量积新人教A版必修1．平面向量的数量积：定义、运算律、性质、投影．2．平面向量数量积的坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示、模、夹角．例1　在边长为1的正三角形ABC中，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝________．变式训练1　已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．例2　一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)A．6B．2C．2eq\r(5)D．2eq\r(7)变式训练2　设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．例3　如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，求eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值．变式训练3　已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，求|c|的取值范围．A级1．设向量e1，e2是夹角为eq\f(2π,3)的单位向量，若a＝3e1，b＝e1－e2，则向量b在a方向上的投影为(　　)A.eq\f(3,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．12．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于(　　)A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．2eq\r(5)D．103．已知|a|＝9，|b|＝6eq\r(2)，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　)A．45°B．135°C．120°D．150°4．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)A．－8B．－6C．6D．85．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.6．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．7．已知向量a，b满足(a－2b)·(a＋b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．B级8．已知向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC＝(　　)A．30°B．45°C．60°D．120°9．已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)且a，b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)A．λ>eq\f(10,3)B．λ≥eq\f(10,3)C．λ<eq\f(10,3)D．λ≤eq\f(10,3)10．若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)A．－eq\f(π,4)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)11．设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________．12．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为eq\f(π,3)，求x的值．13．设a＝(1，2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．专题15　平面向量的数量积典型例题例1　－eq\f(1,4)解析　如图，由题意得D为BC中点，E为AC三等分点，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4).变式训练1　eq\f(7,12)解析　由eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))知eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝(λ－1)×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－λ×9＋4＝0，解得λ＝eq\f(7,12).例2　D解析　由题意，得F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－F1－F2，所以(F3)2＝(－F1－F2)2＝(F1＋F2)2＝Feq\o\al(2,1)＋2F1·F2＋Feq\o\al(2,2)＝|F1|2＋2|F1|·|F2|·cos60°＋|F2|2＝22＋2×2×4×cos60°＋42＝28，即|F3|2＝28，故|F3|＝2eq\r(7).变式训练2　eq\f(5,2)解析　a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|).∵a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2eeq\o\al(2,1)＋6e1·e2＝5.|b|＝|2e1|＝2.∴eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(5,2).例3　解　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0)．设eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x，2)，则由条件得eq\r(2)x＝eq\r(2)，得x＝1，从而F(1，2)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(1－eq\r(2)，2)，于是eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\r(2).变式训练3　解　∵a·b＝0，且a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋1.∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0，∴|a＋b|＝eq\r(2)，∴c2＋1＝2eq\r(2)|c|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．又－1≤cosθ≤1，∴0eq\f(10,3).]10．C　[2a＋b＝2(1，2)＋(1，－1)＝(3，3)，a－b＝(1，2)－(1，－1)＝(0，3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝3eq\r(2)，|a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，则cosα＝eq\f(9,3\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2)，∵0≤α≤π，∴α＝eq\f(π,4).]11．－eq\f(2,3)解析　由题意，得a·b＝0⇒x＋2(x＋1)＝0⇒x＝－eq\f(2,3).12．解　(1)因为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，因为0