吉林省长春市2020届高三数学质量监测试题（四）文（含解析）

PAGE吉林省长春市2020届高三数学质量监测试题（四）文（含解析）本试卷共4页，考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填除；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．【详解】因为“”，则“”；但是“”不一定有“”.所以“”，是“”成立的充分不必要条件．故选A.【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：①定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；②构造命题法：“若，则”为真命题，则是的充分条件，是的必要条件；③数集转化法：：，：，若，则是的充分条件，是的必要条件.2.学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为（）A.20B.17C.14D.23【答案】B【解析】【分析】两次运动会总人数减去两次运动会都参加的人数，即为所求结果.【详解】因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为.故选B【点睛】本题主要考查集合中元素个数的问题，熟记集合之间的关系即可，属于基础题型.3.圆：被直线截得的线段长为（）A.2B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由弦长，即可得出结果.【详解】因为圆：的圆心为，半径；所以圆心到直线的距离为，因此，弦长.故选D【点睛】本题主要考查求圆被直线所截弦长问题，常用几何法处理，属于常考题型.4.下列椭圆中最扁的一个是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】只需分别计算各选项中的值，越小，椭圆越扁，进而可得出结果.【详解】由得；由得；由得；由得；因为，所以最扁的椭圆为.故选B【点睛】本题主要考查椭圆的特征，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型.5.已知向量，其中，则的最小值为（）A.1B.2C.D.3【答案】A【解析】【分析】由得到，化简整理即可得出结果.【详解】因为，所以，因为，所以，故的最小值为.故选A【点睛】本题主要考查向量模的计算，熟记公式即可，属于常考题型.6.设是各项均不为0的等差数列的前项和，且，则等于（）A.1B.3C.7D.13【答案】C【解析】【分析】先由题意可得，进而可求出结果.【详解】因为是各项均不为0的等差数列的前项和，且，所以，即，所以.故选C【点睛】本题主要考查等差数列前项和的相关计算，熟记前项和公式以及性质即可，属于基础题型.7.已知，若，则（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】先根据题中条件求出，再将代入解析式，即可得出结果.【详解】因为，，所以，因此，故；所以.故选B【点睛】本题主要考查函数求值问题，根据题意先求出参数，进而可求出结果，属于常考题型.8.小明和小勇玩一个四面分别标有数字1，2，3，4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】用列举法分别列举出总的基本事件、以及满足题中条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求结果.【详解】用表示两次朝下面的数字的结果：由题意可得可能出现的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，共16个基本事件；满足“两次朝下面的数字之和不小于5”的基本事件有：，，，，，，，，，，共10个基本事件，所以两次朝下面的数字之和不小于5的概率为.故选C【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.9.某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：——结伴步行，——自行乘车，——家人接送，——其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，求得本次抽查的学生中类人数是（）A.30B.40C.42D.48【答案】A【解析】【分析】根据所给的图形，计算出总人数，即可得到A的人数．【详解】解：根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为120人，故选择A方式的人数为120﹣42﹣30﹣18＝30人．故选：A．【点睛】本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力．10.《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退123步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退127步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)A.步B.步C.步D.步【答案】A【解析】【分析】根据“平行线法”证得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求解线段的长度.【详解】因为，所以，所以；又，所以，所以；又，所以，即，所以步，又，所以步.故选A【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，属于常考题型.11.已知定义在非零实数集上的奇函数，函数与图像共有4个交点，则该4个交点横坐标之和为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】先由函数是奇函数，得到的对称中心，再根据得到的对称中心，由对称性，即可得出结果.【详解】因为函数是奇函数，关于点中心对称；所以函数关于点中心对称；又由得到，即函数的对称中心为，因此，点也是函数的一个对称中心；由函数与图像共有4个交点，交点横坐标依次设为且，所以由函数对称性可知，，因此.故选D【点睛】本题主要考查函数对称性、以及奇偶性的应用，熟记概念以及三角函数性质，即可求解，属于常考题型.12.已知抛物线：的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于、两点，若、的中点在轴上的射影分别为，，且，则抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设AF,FB的中点分别为D,E,求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p的值，即得抛物线的准线方程.【详解】设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，设，则，联立直线和抛物线的方程得，所以，所以抛物线的准线方程为.故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13.已知复数，则的模等于__________，它的共轭复数为__________.【答案】(1)..(2)..【解析】【分析】先由复数乘法运算，化简复数，进而可求出的模，以及的共轭复数.【详解】因，所以，.故答案为(1)..(2)..【点睛】本题主要考查求复数的模以及复数的共轭复数的问题，熟记公式以及运算法则即可，属于常考题型.14.已知、为两个单位向量，且，则与夹角的余弦值为__________．【答案】.【解析】【分析】先求出复数的模，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为、为两个单位向量，且，所以，设与夹角为，则故答案为【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记平面向量数量积的运算以及夹角公式即可，属于常考题型.15.已知，满足，则的最大值为__________．【答案】3.【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再将目标函数化为，令，结合图像求出的最大值即可.【详解】由约束条件作出可行域如下：又，令，则表示可行域内的点与定点连线的斜率，由图像可知：斜率最大，由得，所以，因此，的最大值为.故答案为3【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，结合目标函数的几何意义求解，属于常考题型.16.一个倒置圆锥形容器，底面直径与母线长相等，容器内存有部分水，向容器内放入一个半径为1的铁球，铁球恰好完全没入水中（水面与铁球相切）则容器内水的体积为__________．【答案】.【解析】【分析】先由题意作出轴截面，根据圆锥的底面直径与母线长相等，得到，再记铁球的半径为，得，求出圆锥的高，以及圆锥底面圆半径，最后由，即可求出结果.【详解】如图所示，作出轴截面，由题意，圆锥的底面直径与母线长相等，可得，则，所以，记铁球的半径为，即，在中，，则，所以，因此，所以铁球所在圆锥的体积为，即.故答案为【点睛】本题主要考查圆锥内切球的相关计算，熟记体积公式即可，属于常考题型.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数的图像与直线的交点中距离最近的两个交点距离为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在上的值域.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先由题中条件，得到相距最近的两个点横坐标满足，再由距离最近的两个交点距离为，得到，进而可求出，进而可得出结果.（Ⅱ）根据，求出，再结合正弦函数的值域即可得出结果.【详解】解：（Ⅰ）由题意，由，得或，，所以相距最近的两个点横坐标满足，又函数图像与直线交点中距离最近的两个交点距离，因此.即函数解析式为.（Ⅱ）因为，所以，因此，所以，即函数在上的值域为.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦型三角函数的性质即可，属于常考题型.18.已知四棱柱中，平面，，，，，点中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析.(2).【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理，先证明平面，平面，即可根据面面平行的判定定理，得出结论；（Ⅱ）由题意，以点为坐标原点，分别以方向为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，和向量，根据向量的方法,即可求出结果.【详解】（Ⅰ）由题意得，故四边形为平行四边形，所以，由平面，平面，故平面，由题意可知，为中点，，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面，又由于相交，所以平面平面；（Ⅱ）由题意可得，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以方向为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，则，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，故，设点到平面的距离为，则.【点睛】本题主要考查面面平行的证明、以及点到平面的距离，熟记判定定理，以及空间向量的方法求点到面的距离即可，属于常考题型.19.已知椭圆：的左顶点为，右顶点为，为椭圆上异于、的任意一点，平面内的点满足.（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；（Ⅱ）若存在点满足（为坐标原点），求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（Ⅰ）先由得是线段中点，根据题中条件求出坐标,再代入椭圆方程,即可得出结果；（Ⅱ）先设，则，再由，化简整理即可得出结果.【详解】（Ⅰ）依题意，是线段中点，因为，故，代入椭圆的方程，可得，解得；（Ⅱ）设，则，又，又所以，，，，消去，可得，故【点睛】本题主要考查椭圆方程，熟记椭圆方程的求法，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.20.到2020年，我国将全面建立起新的高考 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 ，新高考采用模式，其中语文、数学、英语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门（6选3）参加考试，满分各100分.为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名（其中男生550名，女生450名）学生中抽取了名学生进行调查.（1）已知抽取的名学生中有女生45名，求的值及抽取的男生的人数.（2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下列联表.选择“物理”选择“地理”总计男生10女生25总计（i）请将列联表补充完整，并判断是否有以上的把握认为选择科目与性别有关系.（ii）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率.附：，其中.0.050.013.8416.635【答案】(1)，55人(2)（i）见解析；（ii）【解析】【分析】（1）根据题意可得求解即可得出的值，进而可得抽取的男生人数；（2）（i）根据题中数据先完善列联表，再由题中公式，求出的值，结合临界值表即可的结果；（ii）先由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为，，4名女生，分别记为，，，；用列举法分别列举出“6名学生中随机抽取2名”和“其中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即是所求概率.【详解】解：（1）由题意得，解得，则抽取男生的人数为.（2）（i）选择“物理”选择“地理”总计男生451055女生252045总计7030100则，所以有以上的把握认为送择科目与性别有关系.（ii）由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为，，4名女生，分别记为，，，.从6名学生中随机抽取2名，有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，其中至少有1名男生的有，，，，，，，，共9种情况，故所求概率为.【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验以及古典概型的问题，需要考生熟记分层抽样特征、独立性检验的思想、以及古典概型的计算公式，属于常考题型.21.已知函数.（Ⅰ）求函数极值；（Ⅱ）若对任意，，求的取值范围.【答案】(1)，无极大值；(2).【解析】【分析】（Ⅰ）先对函数求导，利用导数的方法确定函数单调性，进而可得出极值；（Ⅱ）先设，对函数求导，分，和三种情况讨论，用导数方法判断其单调性等，即可得出结果.【详解】解：（Ⅰ）令，+极小值，无极大值；（II）对任意，即，设，，①当时，单调递增，单调递增，，成立；②当时，令，单调递增，单调递增，，成立；③当时，当时，，单调递减，单调递减，，不成立.综上，的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值等，属于常考题型.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.选修4-4坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）若曲线与无公共点，求正实数的取值范围；（Ⅱ）若曲线的参数方程中，，且曲线与交于，两点，求.【答案】(1).(2)8.【解析】【分析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化，可直接得出曲线的直角坐标方程；再由曲线的参数方程，消去参数，得到曲线的普通方程；联立两曲线方程，根据题意列出不等式组，即可得出结果；（Ⅱ）先由题意得到曲线的普通方程，联立直线与曲线的方程，求出交点坐标，再由两点间距离，即可得出结果.【详解】解：（Ⅰ）的直角坐标方程为①，的直角坐标方程为②，将①②联立，可求得，由题意:，求得.（II）当时，曲线为直线，解方程组，得，，所以易得.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.23.选修4-5不等式选讲已知均为正实数.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求.【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）先将展开，再用基本不等式即可得出结论；（II）先由题意，计算，再由基本不等式，即可得出结果.【详解】解：（Ⅰ）；（II）而，所以.【点睛】本题主要考查不等式的证明，常用综合法处理，熟记基本不等式即可，属于常考题型.