PAGE协方差的属性两个不同参数之间的方差就是协方差 若两个随机变量X和Y相互独立,则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0,因而若上述数学期望不为零,则X和Y必不是相互独立的,亦即它们之间存在着一定的关系。定义E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差,记作Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。协方差与方差之间有如下关系:D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)协方差与期望值有如下关系:Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。协方差的性质:(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),(a,b是常数);(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)。由协方差定义,可以看出Cov(X,X)=D(X),Cov(Y,Y)=D(Y)。协方差作为描述X和Y相关程度的量,在同一物理量纲之下有一定的作用,但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上
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现出很大的差异。为此引入如下概念:定义称为随机变量X和Y的相关系数。定义若ρXY=0,则称X与Y不相关。即ρXY=0的充分必要条件是Cov(X,Y)=0,亦即不相关和协方差为零是等价的。定理设ρXY是随机变量X和Y的相关系数,则有(1)∣ρXY∣≤1;(2)∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1,(a,b为常数,a≠0)定义设X和Y是随机变量,若E(X^k),k=1,2,...存在,则称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩。若E{[X-E(X)]k},k=1,2,...存在,则称它为X的k阶中心矩。若E{(X^k)(Y^p)},k、l=1,2,...存在,则称它为X和Y的k+p阶混合原点矩。若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l},k、l=1,2,...存在,则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。显然,X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩,方差D(X)是X的二阶中心矩,协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩。