《数理化解
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
研究)2011年第9期 数学篇 23
= 0属于定义域时,有 0):一 0),所以 0)=0.
因此,一般地,有以下结论:奇函数要么在 =0处没
有定义,要么在 =0处的函数值为0,即 0)=0.在
该例中如果能去掉函数在 =0处的定义(或在 :0
处定义.厂(0)=O),那么这个函数就是奇函数了.
四、忽视对函数中所含参数的讨论
例4 U断函娄 厂( )= +l 一0 I+1(口∈R)
的奇偶性.
失招现象 当函数中含有参数时,不对参数进
行讨论,就对函数的奇偶性进行判断,会造成判断结
果不完整的错误.
错解 显然函数定义域为 R.
因为,(0)=0 +l√^(一 )=口 +2 l a l+1,贝U
一 o)≠ 0),且 一口)≠一 0),
所以函数 )既不是奇函数,也不是偶函数.
剖析 此解法错误的原因在于未考虑到 0=0
这种特殊情形,以致解题结果不完整.正确的解答过
程应当是 :
当o:0时,函数,(一 ):(一 ) +J一 I+1=
+l l+1= ),此时厂( )为偶函数;
当口≠0时,可以令 :Ⅱ进行检验,过程同原解.
河北省秦皇岛市抚宁县教育局教研室 (066300) 李爱红 ●
解三角形是指已知三角形的三个元素(至少有
一 条边),求三角形的其他元素问题,历来是高考的
必考内容.现选取部分2010年高考试题分类解析,探
索解题规律,以期对您高考复习有所帮助.
一
、求边长
例 1 (陕西)如图1,已知
RtAABC的两条直角边 AC,BC
的长分别为 3 cm,4 em,以AC
为直径的圆与AB交于点 D,则
BD =
— — cm. 图 1
解析 在 Rt~,ABC中,cosB :- 2-.因为D为以
AC为直径圆上的点,所以 /_ADC=/BDC=90。.在
Rt△ Dc中'c。s =器,所以肋= 。s =
点评 解三角形问题中有许多是求边长的,若
能将所求的边置于直角三角形中,可利用锐角三角形
的定义求解,发现垂直关系是解题的关键(本题 中
LBDC为直角).
例 2 (2010年北京)在 AABC中,若b=1,c=
, c= 则 口=
解析l 由正弦定理 b =
,得 sinB =
_bsinC= 1
. 因为o< <手,所以 =詈, =仃一
C —B = -仃~-
,AABC为等腰三角形,所以口=1.
解析2 由余弦定理 c =口 +b 一2abcosC,得
0 +口一2=0,解得 口=1或 a=一2(舍去).
点评 正弦定理和余弦定理是解三角形的两个
重要工具.本题 AABC恰好是等腰三角形,若非此特
殊情况,则还需要利用一次正弦定理,而余弦定理可
一 步到位.
例3 (全国卷 Ⅱ)AABC中,D为边 BC上的一
点,BD=33,sin =西5
,
c。sLADC = 3
, AD.
解析 由 c。s LADC=i3 >o
,知B<手,由已
知得 c。妇 = ,sin LADC =45,从 而 sin BAD =
sin( ADC一 )=sin ADCcosB—cos DCsinB =
24 数学篇 《数理化解题研究}2011年第9期
4 12 3 5 ×西 一 ×西 _.33 由正弦定理得 五AD函 =
⋯ =B—D~slnB=
5
一zs.
点评 解三角形需要有三个元素(至少有一条
边),本题中虽然有三个条件,但不在同一三角形中,
需要将分散的条件集中到一个三角形中,LADC是
AABD的外角,LADB和 LBAD都可知.若求
LADB,不能直接求出 AD的长,还需要进一步求
/__BAD.当由题设可得出多个可知时,需要
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
哪个
可知是通往未知的最佳路径.
二、求角
例4 (湖北)在AABC中,a:15,b=10,A=
6O。,则 cosB=( )
A. B. C.一 3 D.垣
3
. 解析 由正弦定理 = ,得sinB=孚
3.因为口>b,所以A>B,可知B<60。,所以cosB=
、
厅 ; 百 :4 6
,故选 D.
点评 已知三角形的两边一对角,可能有一个
解、两个解或无解,具体情况宜结合函数 Y=sinx,
E(0,仃)的图象确定.
例5 (天津)在 AABC中,内角 A, ,C的对边
分别是 口,b,c,若 a 一b = 6c,sinC=2 sinB,则
A=( )
A.30。 B.6Oo C.120。 D.150。
解析 因为sinC=2 sinB,由正弦定理得c=
2 .而cosA= =譬,所以A-30。'故
选 A.
点评 利用正弦定理求角需要知一角两边,而
题中无已知角,故考虑用余弦定理求解.
例6 (江苏)某兴趣小组测量电视塔AE的高度
日(单位:m),如示意图2,垂直放置的标杆 BC的高度
h=4 m,仰角 J4BE=a,/_..ADE =
(1)该小组已经测得一组 的值,tanvt=1.
24,ta =1.20,请据此算
出日的值;
(2)该小组分析若干
测得的数据后,认为适当调
整标 杆到 电视塔 的距离
d(单位 :m),便 与 Z差 图2
较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为
125 m,试问d为多少时, 一 最大?
解析 (1)作 CF上AE交AE于,,则 LECF=
F=日_4,tan = =警,ta = : ,
=
4tanot
= 1 24 1 20 = 124. 一 tan —tan8 . 一 . ⋯ ’
(2)tan = = ’ca = EF= 121,ta
一 JB) rta+tna
n
-
柏
tan ~ 4
d
≤
— L
,当且仅当d: ,即d:55
2×11×545 Ⅱ
时,tan(a一卢)最大.因为0<
表
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示为d的函数,再求
tan( 一 )的最大值,要注意是否能取到最大值及角
a一口的范围.
三、判断三角形的形状
例7 (上海)某人要制作一个三角形,要求它
的三条高的长度分别为吉,『『1, 1,则此人将( )
A.不能作出满足条件的三角形
B.作出一个锐角三角形
C.作出一个直角三角形
D.作出一个钝角三角形
解析 设三角形三边分别为口,b,c。所作三角形
的面积为÷,则口=13、6=11、c=5,那么 为最
《数理化解题研究)2ol1年第9期 数学篇 25
大角,则有 c。sA::
OC
一 <0,所以 A
llU
为钝角,故选 D.
点评 出高联想三角形面积,建立高与边的关
系,利用余弦定理计算最大角.
例 8 (湖南j在 △ iBC中,角 、B、C所对的边
长分别为 a,b,C.若 C=120。,c= n.则(
A.a > b B.a < b C.a = 6
D.a与 b的大小关系不能确定
解析1 由余弦定理,c =a + 一2abcosC.因
为c= Ⅱ, C=120。,所以a 一b。=ab,所以Ⅱ>
b,故选 A.
解析 2 同上有0 一b。=ab,即( . :+2~一l
: 0.因为 >0,所以鱼 :二 丢,因为/_C=120。,所以 A>
30。,/_B=180。一 C一 A<30。,所 以 以> B.
由“大角对大边”,所以a>b,故选 A.
点评:由余弦定理得到a,b的等量关系,比较 a~
b与0的大小(或比较 旦 与l的大小);也可以利用正
弦定理比较 A与30。的大小,由角的大小,知边的大
小,曲径通幽.
例9 (湖北省)记实数 , :,⋯, 中的最大数
为max{ 1, 2.⋯, },最小数为 rain{ 1, 2,⋯, }.
已知 AABC的三边长为a,b,C(a≤b≤c),定义它的
倾斜度为c=max{詈,詈,旦}‘mia n i詈, ,三a}, 0 C D C
贝 。=1”是 AABC为等边三角形”的( )
A。必要而不充分的条件
B.充分而不必要的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
解析 若 △ABC为等边三角形,则Ⅱ=b=C,有
。=l;若 =l,即max{詈, 一, }‘rnin 詈, ,
}=1,不妨取口=b=3,c=4,有‘=max{导, ,
a b c
旦
a}·‘n{詈,睾,旦}=号一·寻=1,但AABC Y(<~ml a 4 一一}’ n{ 丁,—一,一}= 一’■一=l,1旦 D C j
等边三角形,故选 A.
点评 理解新定义“倾斜度” 是解题的关键,可
以给出一些特殊情形帮助理解“倾斜度”,对等腰三
角形都有 £=1.
四、求比值
例 10 (天津)如图3,四
边形ABCD是圆0的内接四边
形 ,延长 AB和CD相交于点 P.
若丝 一}, : ,则 BCPA PD 3 ~2’ 一 ’ cIj AD
的值为 ⋯ ⋯⋯ . 图3
解析l 因为毒 = PB ~PCPaD =吉,又 Jp= ’J l i i u U
AP,~PBC=1T一/_ABC,而在圆 0中有 /D +
~ABC =7r,所 以 /_PBC= D,所 以S△PBc—S△P ,
于是 =( BC) =
,所以筹=害
解析2 设PB=1,PC=t,贝0 PA=2,PD:3t.
由圆的割线定理 P曰·PA=PC·PD,得 3t =2,t:
PC: .在△PBc中.由正弦定理有 C_: _) S1n
PC
.
在 中,有 =面PA
,~~pA
A
B C
sin-Z
_
- -PBC APAD l"/t 15G =
一在 中,有 面 , A
丽PCsinD
. 因为 /_PBC = 所 以 :
一
PAsin PBC 一 6‘
点评 与圆有关的求角、线段长的问题,一定要
挖掘隐含条件,注意利用圆中的相关定理(如圆周角
定理、切割线定理等).
例 11 (江苏)在锐角 AABC中,A、B、C的对边
分别为。、6、c,若-垒_+詈=6c。sc,则一ta nC+ tan Ca tanA = 0 tan
解析 由已知 +詈=6c。sc,得a2a +6 = D
6abcosC.由 余弦 定 理 C2 : 口2+b 一2abcosC :
26 数学篇 《数理化解题研究}2011年第9期
4a6c0sc,所以 + ⋯ nc( + )=
. ,、 cosAsinB+cosBsinA sinC sin(A+B) 协nL
。 — — 一 ’
! : : 4
.
sinAsinBcosC abcosC ’。
点评 仅有一个已知条件,不足以求解三角形,
问题是求代数式的值,只能是“恰好”求出此值,即将
未知量“约去”(或“消去”).先将已知式化简,由结构
自然联想用余弦定理;再将正切化为正弦比余弦,再
利用正弦定理,所求与已知就联系起来了.
五 、确定范围
例 12 (辽宁)在 AABC中,a,b,c分别为内角
, ,C的对边,且 2aslnA =(2b+c)sinB+(2c+
b)sine
(1)求A的大小;
(2)求 sinB+sinC的最大值.
解析:(1)由已知,根据正弦定理得2a =(26+
c)b+(2c+6)c,即a =b +c +be.由余弦定理得a
1
= b +c 一2bccosA,故cosA=一÷,A=l2o。.
二
(2)由(1)得sinB十sinC=sinB+sin(60。一B)
1
= cosB+÷sinB=sin(B+60。),故当B=3o。
二
时,sinB+sinC取得最大值 1.
点评 正弦定理能够实现边与角的正弦之间的
互化,余弦定理能够将角的余弦化为边的平方;将
sinB+sinC化成一个角 (C:60。一B)的三角函数,
是求最值的常用手法.
江苏省张家港市第二中学 (215600) 李秀兰 ●
二次函数的最值问题不仅与代数、三角、立几和
解几等相关的知识发生联系,同时涉及到数形结合、
分类讨论、反证法和等价转化的问题.这类问题在高
考数学中经常出现.本文对二次函数的几个实例来进
行一些归纳.
‘
一
、二次函数在给定区间上的最值问题
对于这类问题,往往通过对抛物线的开口方向,
讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系来确
定.一般地,二次函数 Y=口( 一 ) +尼(a≠O)在
区间[p,口]上的最值随对称轴的位置而定,一般情况
下,分五种情况讨论:h>g;卫
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