null§2 数项级数的收敛判别法2.交错级数的收敛判别法3.绝对收敛与条件收敛4.任意项级数的收敛判别法1.正项级数的收敛判别法§2 数项级数的收敛判别法null 前面所讲的常数项级数中，各项均可是
正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊
情况。如果级数中各项是由正数或零组成，
这就称该级数为正项级数。同理也有负项级
数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项
级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数
在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛
散性讨论都会转为正项级数的敛散性.一、正项级数的收敛判别法定义 设级数为正项级数. 显然,正项级数的部分和{sn}数列是单调增加的，
即一、正项级数的收敛判别法null定理 正项级数收敛有界.证: “” 收敛收敛有界.有界,又是一个单调上升数列存在收敛.“” null故{sn}有界，所以原级数收敛.null定理1(比较判别法) 设与是两个正项级数， 且 那么 （1）如果 收敛，则收敛。（2）如果 发散，则发散。 证: 设和分别表示和的部分和，显然由(1) 收敛有界有界也收敛.(2) 发散无界无界也发散.null例2 判定p-级数的敛散性.(常数 p>0)nullnullnull证明null思考题：若正项级数则下列级数的敛散性(2)(3)收敛，(1)nullnull例4 判断下列级数的敛散性nullnullnull定理2（比较审敛法的极限形式）null证明由比较审敛法的推论, 得证.null (2) 由于(=0)取=1时，N > 0, 当n > N时，故由比较判别法，当=0时，null(3) 由于(= )，故M > 0 (不妨取M > 1) , N > 0, 当n > N 时，即 0 vn < un ,由比较判别法，当= 时，nullnull解原级数发散.故原级数收敛.nullnull练习1 判别级数的敛散性 (a>0为常数)解：因为(即=1为常数)又是调和级数，它是发散的发散.故原级数null练习2 判别级数的敛散性，其中, x>0为常数.解：由于而是n=2的P一级数，收敛的故原级数null比值审敛法的优点:不必找参考级数. 两点注意:nullnull例7 判别级数由比值判别法可知所给级数发散.null由比值判别法可知所给级数发散.null例9 判别级数的敛散性,其中x>0为常数解：记即 =0<1，故该级数收敛.null例10 判别级数的敛散性,其中x0为常数.解：记即 =x2, 由达朗贝尔判别法.null当 | x |=1 时，=1, 但原级数为这是 n = 2 的 p一级数，是收敛的. 综上所述，当 0 < | x | 1 时，原级数收敛，
当 | x | > 1 时，原级数发散.当0<|x|<1时，<1, 级数收敛.当|x|>1时，<1, 级数发散.null解null比值审敛法失效, 改用比较审敛法null级数收敛.nullnull例12 判别级数的敛散性,其中x>0, a>0为常数解：记即当x>a时，当0
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