1-1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换 目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解 一.直角坐标系 1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。它使直线上任意一点P都可以由惟一的实数 来确定。 2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为 、 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点P都可以由惟一的二元有序实数对 来确定。 3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为 、 、 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点P都可以由惟一的三元有序实数对 来确定。 事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对 的集合一一对应. 二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换 在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F的平移。若以向量 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示移动的方向和长度，我们也称图形F按向量 平移． 在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为 ，向量 ，平移后的对应点为 . 则有： 即有： . 因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由 所确定的变换是一个平移变换。 因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。 例1.①.已知点 按向量 平移至点Q，求点Q的坐标； ②.求直线 按向量 平移后的方程。 一般地我们有如下关于平移变换的结论： ①.将点 按向量 平移， 所得点 的坐标为： . ②.将曲线 按向量 平移， 所得曲线 的方程为 . 注：点 按向量 平移， 得点 ，即： ； 直线 按向量 平移， 得直线 ，即： . 2.有关曲线平移的一般性结论 ①.直线 ，按向量 平移后得 直线 . 过点 . ②.曲线 ，按向量 平移后得 曲线 中心为 . ③.曲线 ，按向量 平移后得 曲线 EMBED Equation.3 中心为 . ④.曲线 ，按向量 平移后得 曲线 EMBED Equation.3 中心为 . ⑤.曲线 ，按向量 平移后得 曲线 顶点为 . 例2.说明方程 表示什么曲线，求这个曲线的顶点、中心、焦点、渐近线和离心率. 三.平面直角坐标系中的伸缩变换 1. 伸缩变换 例3.我们已经知道，方程 所表示的曲线可以看作由方程 所表示的曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 得 到的曲线；同理，将方程 所表示的曲线上所有点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的2倍，也可以得到方程 所表示的曲线. 这也就是说，方程 所表示的曲线可以通过伸缩变换得到方程 所表示的曲线． 实际上，设 ，则 可以化为 . 由 ，所确定的变换，是曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，也可以称为曲线按伸缩系数为2向着 轴的伸缩变换(这里 是变换前的点， 是变换后的点)． 一般地，由 ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为 向着 轴的伸缩变换(当 >1时，表示伸长；当 <1时，表示压缩)，即曲线上所 有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍(这里 是变换前的点， 是变换后的点). 同理，由 ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为 向着 轴的伸缩变换(当 >1时，表示伸长；当 <1时，表示压缩)，即曲线上所 有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍(这里 是变换前的点， 是变换后的点). 由 ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数 向着 轴和按伸缩系数 向着 轴的伸缩变换(当 时，表示伸长， 时，表示压缩；当 时，表示伸长，当 <1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标和纵坐标分别变为原来的 倍和 倍(这里 是变换前的点， 是变换后的点). 在伸缩变换中，曲线上任意两点间距离的不变性已不存在．那么缩变换有什么特征呢? 我们来考察直线与圆在伸缩变换作用下的变化． 例4.对下列曲线向着 轴进行伸缩变换，伸缩系数是 . ①. ； ②. . (设 是变换前的点， 是变换后的点). 注：①.直线 经过伸缩变换后的方程为 ， 它仍然表示一条直线； ②.圆 经过伸缩变换后的方程为 ，它变为椭圆. 2.有关曲线伸缩变换的一般性结论 ①.直线经过伸缩变换后，仍是直线．因此，在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变。 ②.曲线 在伸缩变换 （或 或 ）作用下（ 时表示拉伸， 时表示压缩），所得曲线 的方程为： EMBED Equation.3 （或 或 ）. ③.曲线 上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）压缩为原来的 ，可得曲线 EMBED Equation.3 （或 或 ， 时表示压缩， 时表示拉伸）. 例5.设曲线 ， ， ， . 由曲线 经过何种变换可以得到曲线 、 、 . 例6.设 是 与 的中点，经过伸缩变换 后，它 们分别为 ，求证： 是 的中点． (设 是变换前的点， 是变换后的点). 四.典型例题 1.两个定点的距离为4，点M到这两个定点的距离的平方和为16， 则点M的轨迹是 （ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2.将函数 图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标拉伸为原来的2倍，得到的函数图象的解析式为 （ ） A. B. C. D. 3.将点 变换为点 所用的伸缩变换公式是 （ ） A. B. C. D. 4.①已知点 按向量 平移至点Q，求点Q的坐标; ②已知点 按向量 平移至点 ，求平移向量 . 5.将对数函数 曲线的横坐标拉伸为原来的2倍， 求所得曲线的方程. 6.在同一直角坐标系中，已知伸缩变换 . ①.求点 经过 变换所得到的点 的坐标； ②.点 经过 变换得到点 ，求点 的坐标 ③.求直线 经过 变换后所得到的直线 的方程； ④.求双曲线 经过 变换后所得到的曲线 的焦点坐标. 7.在平面直角坐标系中求将曲线 变为曲线 的伸缩变换. 8.方程 表示何种曲线，求它的中心坐标、焦点坐标、准线方程、离心率． 五.课外练习 六.补充练习 1.将点 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的 ，得到点 的坐标为 （ ） A. B. C. D. 2.曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 的方程为 , 则曲线 的方程为 （ ） A. B. C. D. 3.①已知点 按向量 平移至点Q，求点Q的坐标; ②已知点 按向量 平移至点 ，求向量 . 4.写出曲线按向量 平移后的方程. ①. ； ②. 5.求下列方程所表示的曲线的顶点、焦点、中心及准线方程. ①. ； ②. . 6.对下列曲线向着 轴进行伸缩变换，伸缩系数 . ①. ; ②. ． 7.对 曲线向着 轴进行伸缩变换，伸缩系数 . 8.在平面直角坐标系中求将曲线 变为曲线 的伸缩变换. _1363161313.unknown _1363176314.unknown _1363184385.unknown _1363184763.unknown _1363186329.unknown _1363186481.unknown _1363186618.unknown _1363186695.unknown _1363186743.unknown _1363187157.unknown _1363187275.unknown _1363186718.unknown _1363186660.unknown _1363186559.unknown _1363186584.unknown _1363186521.unknown _1363186392.unknown _1363186412.unknown _1363186360.unknown _1363185988.unknown _1363186243.unknown _1363186274.unknown _1363186161.unknown _1363185238.unknown _1363185267.unknown _1363185218.unknown _1363185074.unknown _1363184481.unknown _1363184585.unknown _1363184640.unknown _1363184531.unknown _1363184418.unknown _1363184452.unknown _1363184403.unknown _1363177274.unknown _1363177561.unknown _1363184355.unknown _1363184285.unknown _1363184323.unknown _1363177302.unknown _1363177344.unknown _1363177286.unknown _1363176699.unknown _1363177059.unknown _1363177166.unknown _1363177017.unknown _1363176634.unknown _1363176651.unknown _1363176612.unknown _1363162754.unknown _1363163540.unknown _1363163840.unknown _1363163913.unknown _1363163923.unknown _1363163860.unknown _1363163746.unknown _1363163779.unknown _1363163722.unknown _1363162955.unknown _1363163006.unknown _1363163016.unknown _1363162986.unknown _1363162926.unknown _1363162947.unknown _1363162762.unknown _1363162503.unknown _1363162683.unknown _1363162718.unknown _1363162745.unknown _1363162702.unknown _1363162657.unknown _1363162666.unknown _1363162557.unknown _1363162154.unknown _1363162433.unknown _1363162444.unknown _1363162311.unknown _1363162323.unknown _1363162199.unknown _1363162091.unknown _1363162117.unknown _1363162126.unknown _1363162139.unknown _1363162101.unknown _1363161410.unknown _1363161529.unknown _1363161536.unknown _1363161532.unknown _1363161524.unknown _1363161320.unknown _1363161322.unknown _1363161316.unknown _1363091408.unknown _1363160484.unknown _1363160583.unknown _1363160654.unknown _1363160752.unknown _1363160854.unknown _1363160886.unknown _1363161310.unknown _1363160893.unknown _1363160962.unknown _1363160966.unknown _1363160890.unknown _1363160877.unknown _1363160880.unknown _1363160857.unknown _1363160836.unknown _1363160844.unknown _1363160847.unknown _1363160838.unknown _1363160813.unknown _1363160705.unknown _1363160729.unknown _1363160746.unknown _1363160750.unknown _1363160720.unknown _1363160661.unknown _1363160692.unknown _1363160658.unknown _1363160638.unknown _1363160644.unknown _1363160650.unknown _1363160641.unknown _1363160599.unknown _1363160635.unknown _1363160595.unknown _1363160532.unknown _1363160560.unknown _1363160580.unknown _1363160554.unknown _1363160499.unknown _1363160503.unknown _1363160487.unknown _1363097950.unknown _1363098177.unknown _1363160102.unknown _1363160481.unknown _1363160477.unknown _1363098464.unknown _1363098074.unknown _1363098102.unknown _1363097959.unknown _1363098068.unknown _1363091427.unknown _1363091462.unknown _1363091477.unknown _1363097946.unknown _1363091857.unknown _1363091473.unknown _1363091454.unknown _1363091458.unknown _1363091414.unknown _1363091417.unknown _1363091423.unknown _1363091411.unknown _1363091332.unknown _1363091381.unknown _1363091394.unknown _1363091401.unknown _1363091404.unknown _1363091397.unknown _1363091388.unknown _1363091391.unknown _1363091385.unknown _1363091350.unknown _1363091361.unknown _1363091364.unknown _1363091353.unknown _1363091343.unknown _1363091346.unknown _1363091337.unknown _1363091251.unknown _1363091289.unknown _1363091321.unknown _1363091328.unknown _1363091313.unknown _1363091261.unknown _1363091285.unknown _1363091287.unknown _1363091254.unknown _1363091258.unknown _1278189977.unknown _1363091222.unknown _1363091230.unknown _1363091234.unknown _1363091225.unknown _1278190963.unknown _1363091212.unknown _1363091216.unknown _1278190998.unknown _1278191058.unknown _1278190886.unknown _1278190904.unknown _1278190004.unknown _1278141252.unknown _1278186787.unknown _1278186892.unknown _1278146603.unknown _1278147512.unknown _1277552566.unknown _1277552611.unknown _1277552397.unknown _1277552198.unknown _1277552208.unknown _1277552052.unknown