数学物理方程作业题及解答-2011

第一次课（波动方程）作业：p6 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 满足方程 其中 为杆的密度， 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 与 EMBED Equation.3 。现在计算这段杆在时刻 的相对伸长。在时刻 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 令 EMBED Equation.3 ，取极限得在点 的相对伸长为 EMBED Equation.3 。 由虎克定律，张力 等于 其中 是在点 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为 则作用在杆段 两端的力分别为 EMBED Equation.3 于是得运动方程 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 利用微分中值定理，消去 ，再令 得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 若 常量，则得 = 即得所证。 7. 验证 在锥 >0中都满足波动方程 证：函数 在锥 >0内对变量 有 二阶连续偏导数。且 同理 所以 即得所证。 （达朗贝尔公式）p15 8．求解波动方程的初值问题 EMBED Equation.3 解：根据叠加原理，问题可以分解为以下两类问题的叠加： （I） (II) 根据达朗贝尔方程，问题（I）的解为： = = 根据齐次化原理，问题（II）的解为 = = = = = = 所以， 第2次作业：（分离变量法）p22 1. 用分离变量法求下列问题的解： (1) 解：采用分离变量法，令 带入偏微分方程，得到 （1） 将上式分离变量，有 （2） 上式只有在两边均等于常数时才成立。令此常数为 ，则有 ， （3） （4） 根据边界条件，方程（4）应当满足 X(0)=0, (5) X(l)=0 （6） 方程（4）的通解可以分为 三种情况分别讨论。 当 时，方程（4）的通解为 要使它满足边界条件（5）（6），必须有 解得 所以 时，无非平凡解。 当 时，方程（4）的通解为 要使它满足边界条件（5）（6），必须有 解得 所以 时，无非平凡解。 当 时，方程（4）的通解为 要使它满足边界条件（5）（6），必须有 为了使得 ，就必须有 于是 ，k=1,2,……. 于是，得到了一族非零解 ，k=1,2,……， 将 代入方程（3）中，可得其通解为 ， 于是问题的解为 由初始条件确定常数 及 ，有 所以 因此所求解为 （热传导方程）p48 1. 一均匀细杆直径为 ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 又假设杆的密度为 ，比热为 ，热传导系数为 ，试导出此时温度 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为 轴，此时杆为温度 。记杆的截面面积 为 。由假设，在任意时刻 到 内流入截面坐标为 到 一小段细杆的热量为 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻 到 在截面为 到 一小段中产生的热量为 又在时刻 到 在截面为 到 这一小段内由于温度变化所需的热量为 由热量守恒原理得： 消去 ，再令 ， 得精确的关系： 或 其中 （初边值问题的分离变量法）p53 1. 用分离变量法求下列定解问题的解： EMBED Equation.3 解：设 代入方程，得 （1） 将上式分离变量，有 （2） 上式只有在两边均等于常数时才成立。令此常数为 ，则有 ， （3） （4） 根据边界条件，方程（4）应当满足 (5) （6） 方程（4）的通解可以分为 三种情况分别讨论。 当 时，方程（4）的通解为 要使它满足边界条件（5）（6），必须有 解得 所以 时，无非平凡解。 当 时，方程（4）的通解为 要使它满足边界条件（5）（6），必须有 解得 所以 时，无非平凡解。 当 时，方程（4）的通解为 要使它满足边界条件（5）（6），必须有 为了使得 ，就必须有 于是 ，k=1,2,……. 于是，得到了一族非零解 ，k=1,2,……， 将 代入方程（3）中，可得其通解为 ， 于是问题的解为 由初始值得　　　 因此　　　 　 故解为　　　 第3次作业（调和方程）p73 4. 证明下列函数都是调和函数 （1） (a, b, c为常数) 证：令 , 显然 故 ，所以u为调和函数 (2) EMBED Equation.3 。所以 。u为调和函数 令 则 EMBED Equation.3 。所以 。v为调和函数 (3) 证： 令 EMBED Equation.3 所以 , 为调和函数。 令 EMBED Equation.3 。所以 ， 为调和函数。 (4) 证： 双曲正弦函数 双曲余弦函数 双曲正切函数 因 EMBED Equation.3 所以 故 同理，其余三个函数也是调和的 （5） 证： 令 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 所以u, v皆为调和函数。 第4次作业（二阶方程）p102 2. 判定下述方程的类型 （1） （2） （3） 解：(1) 因 当 时 或 时 。即在坐标轴上方程为抛物型，其余处为双曲型。 （2） 因 ，在直线 上， 为抛物型，其余处 ，为椭圆型。 （3） 因 在坐标轴上， 为抛物型；在一，三象限中， ，为椭圆型；在二，四象限中， ，为双曲型。 3. 化下列方程为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式 （1） （2） 解：（1） 因 ，方程为椭圆型。 特征方程为 解之得 因此引变换 有 代入化简即得： 因 ,方程为抛物型. 特征方程为 解之得 因此引变换 有 代入化简即得 第9次作业（二阶方程）p107 1. 求下列方程的特征方程和特征方向 解： 特征方程 又 所以 引实参数 得特征方向为 特征方程 又 所以 即任一点特征方向与 轴交角为 。 特征方程 又 所以 引实参数 得特征方向为 PAGE 1 _1062223976.unknown _1062844406.unknown _1343058441.unknown _1343060644.unknown _1343061264.unknown _1343061551.unknown _1343063207.unknown _1343063388.unknown _1343064378.unknown _1364063440.unknown _1364063476.unknown _1364063496.unknown _1364063630.unknown _1364063452.unknown _1364063347.unknown _1343063991.unknown _1343064037.unknown _1343064051.unknown _1343063411.unknown _1343063295.unknown _1343063357.unknown _1343063242.unknown _1343063042.unknown _1343063085.unknown _1343063142.unknown _1343063059.unknown _1343062995.unknown _1343063016.unknown _1343062979.unknown _1343061312.unknown _1343061354.unknown _1343061467.unknown _1343061275.unknown _1343060986.unknown _1343061010.unknown _1343061054.unknown _1343061097.unknown _1343061039.unknown _1343060995.unknown _1343060744.unknown _1343059558.unknown _1343060226.unknown _1343060422.unknown _1343060503.unknown _1343060469.unknown _1343060236.unknown _1343060018.unknown _1343060142.unknown _1343059898.unknown _1343059238.unknown _1343059505.unknown _1343059532.unknown _1343059468.unknown _1343058698.unknown _1343058972.unknown _1343058680.unknown _1343058578.unknown _1062844577.unknown _1062844674.unknown _1343057721.unknown _1343058335.unknown _1343058419.unknown _1343058309.unknown _1343057688.unknown _1343057702.unknown _1062844691.unknown _1062844708.unknown _1062844715.unknown _1062844685.unknown _1062844647.unknown _1062844655.unknown _1062844658.unknown _1062844649.unknown 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