资产组合选择(哈里·马科维茨)

Classical Issues in Financial Economics 资产组合选择 Harry Markowitz 资产组合选择 Harry Markowitz 金融经济学名著译丛 『 第 1 页 』 资产组合选择* Harry Markowitz 原载《金融学杂志》，第 7卷，第 1期（1952年 3月），第 77-91页 资产组合选择过程可以分为两个阶段。第一个阶段是从观察和 经验 班主任工作经验交流宣传工作经验交流材料优秀班主任经验交流小学课改经验典型材料房地产总经理管理经验 形成对备 选证券未来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现的主观信念，第二个阶段是从对未来表现的有关主观信念形成资 产组合选择。本文关注第二个阶段。我们首先考察投资者采取（或者应当采取） 最大化折现期望或预期回报的准则，这一准则不足以作为立论的前提假设和引领 投资者行为的最大化原则。接下来，我们考察投资者采取（或者应当采取）追求 期望回报，回避回报方差的准则。这一准则作为投资者行为最大化原则和前提假 设具有许多优点。我们用几何方法表示了主观信念和资产组合选择之间依照“期 望回报— —回报方差”准则形成的关系。 资产组合选择的一种准则是投资者采取（或者应当采取）最大化未来回报的 折现（或资本化）价值1。既然未来是不可确知的，我们所折现的必然是“期望” 或“预期”回报。也可以讨论该种准则的变体形式，我们沿用Hicks的方法，让“预 期”回报包含一个风险补偿2。或者，我们可以让资本化特定证券回报的比率随风 险而变化。 投资者采取（或者应当采取）最大化折现回报的假设（或最大化原则）必须 被摒弃。如果我们忽略市场表现，该准则不能得出存在一个优于所有非分散化组 合的分散化资产组合。分散化既是可以观察到的，也是可以理解的，一个不能得 出分散化优越性的行为准则不足以作为前提假设和最大化原则。 无论预期回报如何形成，无论是否对不同证券使用相同的或不同的折现率， 也无论这些折现率是如何确定的或者如何随时间而变化3，上述准则都不会得出 分散化的结论。假设必然得出投资者将他的所有资金投入具有最大折现价值的证 券。如果两个或多个证券具有同样的价值，那么其中的任何一个或者其组合当中 的任何一个都与其它的同样优异。 我们的分析如下：设有 N种证券，r i t为 t时期投资于证券 i的每单位货币的 预期回报（不管其如何确定），d i t为第 i个证券在时期 t的回报折现为现值的比率， X i为投资于证券 i的相对数量。我们规定不允许卖空，因此，对所有的 i有 X i =0。 *本文是作者在 Cowles 经济研究委员会以及担任社会科学研究所金融助理研究员时的著作。作为 Cowles 委 员会 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 系列第 60号重印。 1 例如可参看 J. B. Williams 的《投资价值原理》（Cambridge，Mass，Harvard大学出版社，1938年），第55-75 页。 2 J. R. Hicks，《价值与资本》（New York：Oxford大学出版社，1939年），第 126页。Hicks将该规则运用 于企业而非资产组合。 3 该结果基于特定投资者的资产组合的预期回报和折现率是独立的这一假设。 资产组合选择 Harry Markowitz 金融经济学名著译丛 『 第 2 页 』 组合的折现预期回报为： R = = R i = 是第 i个证券的折现回报，因此，R=? X i R i，这里R i与 X i独 立。因为对所有的 i有 X i =0 并且? X i =1，所以 R是以非负的 X i为权数的 R i的 加权平均。为了最大化 R，我们对 R i最大的 i取 X i =1。如果某些 Ra a，a=1，…， K最大，那么只要满足 都可以最大化 R。分散化的资产组合肯定未必优于所有的非分散化组合4。 为方便起见，在此考察静态模型。我们不说第 i个证券回报的时间序列（ r i 1， r i 2，…，rin，…），而代之以第 i个证券的“回报流”（r i）。资产组合整体的回报流 是 R=? X i r i。在动态情况下，如果投资者希望最大化资产组合“期望”回报，他 会将所有的资金投入具有最大期望回报的证券。 同时满足投资者应当分散化投资和应当最大化期望回报的准则是存在的。该 准则是说投资者采取（或者应当采取）将其资金分散在所有提供最大期望回报的 证券上面。大数法则确保资产组合的真实收益几乎与期望收益相同5。该定式是 期望回报—回报方差准则（下面即将表述）的特例，它假设存在期望回报最大并 且方差最小的资产组合，这一组合正好适合投资者。 将大数法则用于资产组合的假设是不正确的。证券回报的关联性太强，分散 化就不能抵消所有的方差。 具有最大期望回报的资产组合不一定具有最小方差。存在一个投资者可以在 控制方差的前提下获得期望回报，或者在放弃期望回报的前提下减少方差的比 率。 我们已经看到期望回报或预期回报准则是不合适的。我们考察期望回报-回 报方差（E-V）准则。首先，必须给出一些数理统计的基本概念和结果，接下来 4 如果允许卖空，有限数量的资金应当投入具有最大 r的证券。 5 Williams，同前，第 68-69页。 8 ? d i t r i t t=1 8 N ? ? d i t r i t X i t=1 i=1 N 8 ? X i ( ? d i t r i t ) i=1 t=1 K ? X a a =1 a=1 资产组合选择 Harry Markowitz 金融经济学名著译丛 『 第 3 页 』 我们揭示 E-V准则的含义，随后我们讨论其合理性。 我们力图避免复杂的数学表述和证明，严格而且一般性的讨论需要花费一定 的代价。由此形成的主要局限有：（1）我们并非从分析 n种证券的情况，而是以 几何方式分析 3到 4种证券得到结果；（2）我们假设静态的概率信念。在一般情 况下，我们必须认识到各种证券收益的概率分布是时间的函数。作者力图在将来 探讨一般性的数学处理，以消除这些局限。 我们需要下列数理统计学的基本概念和结论。 Y 是随机变量，即其值是偶然性确定的变量。为简化计，设 Y 可以取有限 个值 y 1，y 2，…，y N。Y= y 1的概率为 p 1，Y= y2的概率为 p2等等。Y的期望值（均 值）定义为： E = p1 y1 + p 2 y 2 +….+ p N y N Y的方差定义为： V = p1（y1 - E）2 + p2（y2 - E）2 +…. + p N（y N - E）2 V 是 Y 与其期望值的平均平方偏差。V 一般用于测度分散程度，其他与 V 有关的测度分散程度的是 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差s = v—— V 和方差系数s / E。 假设我们有一列随机变量 R 1，R 2，…，R n，如果 R是 R i的加权和（线性组 合）： R = a1 R 1 +a2 R 2 +…+a n R n 那么 R也是随机变量。（例如，R1为占 1 个单位的数，R2为占另一个单位的数， R为这些数的和。在这种情况下，n = 2，a1 = a2 = 1）。 加权和（R）的期望值和方差与 R 1，R 2，…，R n的概率分布的关系对于我们 来说非常重要。下面我们给出这些关系，读者可参考标准教科书的证明6。 加权和的期望值是期望值的加权和。即 E（R）=a 1 E（R） 1 +a2 E（R 2） + … + an E（R n）。加权和的方差并不同样简单，为了表述它，我们必须定义“协方差”。 R1和 R2的协方差为 s12 = E { [ R1 -E（R1）] [ R2 -E（R2）] } 6 例如 J. V. Uspensky，《数学概率引论》（New York：McGraw-Hill，1937年），第 9章，第 161-81页。 资产组合选择 Harry Markowitz 金融经济学名著译丛 『 第 4 页 』 即 R1与其均值的差乘以 R2与其均值的差的期望值。一般地，我们定义 R i和 R j的 协方差为 s i j = E { [ R i -E（R i）] [ R j -E（R j）] } s i j可以用熟悉的相关系数（r i j）来表示。R i和 R j的协方差等于它们的相关系数乘 以 R i的标准差再乘以 R j的标准差。 s i j = r i j s i s j 加权和的方差为 V（R）= 如果我们运用 R i的方差为s i 的事实，那么 V（R）= R i为第 i个证券的回报，m i为 R i的期望值；s i j为 R i和 R j的协方差（因此s i i为 R i的方差），X i为配置到第 i 个证券上的投资者资产的比例。资产组合整体的收 益（R）为: R = ? R I X i 将 R i（以及 R）作为随机变量7，X i不是随机变量，由投资者决定。因为 X i是 比例，我们有? X i =1。在我们的分析中，我们将不考虑 X i的负值（即卖空），因 此对所有的 i，X i =0。 7 即我们假设投资者就像具有与这些变量有关的主观概率信念一样采取（并且应当采取）行动。一般地， 我们总是期望投资者能够告诉我们对于两个事件（A和 B），他个人认为或者 A比 B更有可能，B比 A更 有可能，或者 A与 B同样有可能。如果投资者对于这类事件的意见是一致的，他就拥有一套主观概率信念 体系。我们不能期望投资者在每一个细节上都是一致的。但是，我们能够期望他的主观概率信念在经过审 慎考虑的重要事件上是一致的。我们也应当期望他将基于这些主观概率信念采取行动——尽管这些信念部 分是主观的。 本文并不考虑投资者如何（或者应当）形成其主观概率信念这一难题。 N N N ? a2 i V（X i）+2 ? ? a i a j s i j i=1 i=1 j〉i N N ? ? a i a j s i j i=1 j=1 资产组合选择 Harry Markowitz 金融经济学名著译丛 『 第 5 页 』 资产组合整体的回报（R）是随机变量的加权和（投资者可以选择权数）。 从我们对加权和的讨论看出资产组合整体的期望回报 E是： E = 方差是： V = 对固定的主观概率（m i，s i j），投资者所选择 E和 V的各种组合决定于选 定资产组合的 X 1，X 2，…，X N。设所有可行（E，V）组合集如图 1所示。E-V 准则得出投资者将（或者应当）希望选择这些组合中最富有效率的一个，也就 是给定 E或者更大时 V最小，以及给定 V或更小时 E最大。 图 1 给定m i和s i j时，计算有效资产组合和有效（E，V）组合集的技术是存在 的。在这里我们不给出这些技术。但是，我们以几何方法表示当 N（可选证券 数）较小时有效平面的性质。 有效平面的计算可能会有实际的用途。或许存在着通过将统计技术和专家 判断相结合形成合理的主观概率（m i，s i j）的方法，我们将利用这些主观信念 计算可行的有效组合（E，V）。投资者在知道哪些（E，V）组合是可行的之 后，能够描述他所希望获得的组合。我们能够找到获得这一希望组合的资产组 N ? Xi m i i=1 N N ? ? s i j Xi Xj i=1 j=1 V 有效 E，V组合 可行 E，V组合 E 资产组合选择 Harry Markowitz 金融经济学名著译丛 『 第 6 页 』 合。 在按照上述方式将有效平面运用于实践时，必须至少满足两个条件。首先， 投资者必须依照 E-V矩阵采取行动。其次，我们必须达到合理的m i和s i j。我们 随后将回到这些主题上来。 让我们考虑三只证券的例子。在三只证券的情况下，我们的模型减少为： 1） E = 2） V = 3） =1 4） X i =0 对 i =1，2，3 从（3）我们得到 3’） X 3 = 1 – X 1 – X 2 如果将（3’）代入（1）和（2），我们得到 E和 V的用 X 1 和 X 2表示的函数形式。 例如，我们发现： 1’） E = m 3 + X 1（m 1- m 3）+ X 2 （m 2- m 3） 在这里，精确的 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 并非十分重要（V在下面给出）8。我们可以简化写做： a） E = E（X 1，X 2） b） V = V（X 1，X 2） c） X 1 = 0，X 2 = 0，1- X 1- X 2 = 0 利用关系式（a）、（b）、（c），我们用二维几何来表示。 8 V = X2 1 (s 11 - 2s 13 +s 33) + X2 2（s 22 - 2s 23 +s 33）+ 2 X 1 X 2（s 12 –s 13 –s 23 +s 33） + 2 X 1（s 13 –s 33）+2 X 2（s 23 -s 33）+s 33 3 3 ? ? s i j Xi Xj i=1 j=1 3 ? Xi m i i=1 3 ? Xi i=1 资产组合选择 Harry Markowitz 金融经济学名著译丛 『 第 7 页 』 资产组合可行集由所有满足约束（c）和（3’）（或等价地（3）和（4））的 组合构成。X 1和 X 2的可行组合由图 2中的三角形 acb来表示。X 2轴左边的任何点 都是不可行的，因为不满足 X 1=0 的条件。X 1轴下边的任何点都是不可行的，因 为不满足 X 2=0的条件。直线（1 - X 1 - X 2 = 0）上方的任何点都是不可行的，因 为不满足 X 3 = 1 – X 1 – X 2 =0的条件。 我们将给定期望回报时所有点（资产组合）构成的集合定义为“等均值”线。 同样，将给定回报方差时所有点构成的集合定义为“等方差”线。 考察 E和 V的方程，我们知道等均值线和等方差线的形状。具体而言，一 般情况下9等方差线是一簇平行直线；等方差线是一簇同心椭圆（参见图 2）。例 如，如果m2 ? m 3 ，方程 1’可以写做熟悉的形式 X 2 = a + bX1，具体而言（1）是： X 2 = 因此 E = E 0时，等均值线的斜率为-（m 1 - m 3）/（m2 - m 3），截距为（E 0 - m 3）/ （m2 - m 3）。如果我们改变 E，截距会改变但是等均值线的斜率不会改变。这就 确定了等均值线构成一簇平行直线的结论。 同样地，通过简单地应用几何分析，我们确定等方差线构成一簇同心椭圆。 曲线簇的“中心”是最小化 V的点，我们将该点标记为 X，将它的期望回报和方 差标记为 E和 V。偏离 X越远时，方差会增加，更精确地讲，如果一条等方差 线 C 1较另一条 C 2更接近 X，那么 C 1的方差就小于 C 2的方差。 利用前述几何工具，我们来求解有效集合。 等方差椭圆簇的中心 X可能落在可行集之内或之外。图 4 显示了一个 X落 在可行集之内的例子，在这种情况下 X是有效的。不存在 V小于 X的其它资产 组合；因此不存在具有更小的 V（E相同或更大时）或者在 V相同或更小时具有 更大的 E的资产组合。不存在期望回报 E小于有效 E的点（组合），因为我们有 E > E和 V < V。 考虑给定期望回报 E 的所有点，即所有在 E 的等均值线上的点。等均值线 上 V取最小值的点是等均值线与一条等方差线相切的点，我们称该点为^ X（E）。 我们让 E变动，^ X（E）的轨迹构成一条曲线。 代数推导（我们在此略去）显示该曲线为一条直线，我们称之为临界线 （critical line）l。临界线通过 X，因为该点在所有满足 E（X 1，X 2）= E的点中 9 除了当m 1 = m 2 = m 3以外，等均值线就如同上面所描述的。在后一种情况下，所有的资产组合具有相同的 期望回报，投资者选择具有最小方差的组合。 我们在等方差曲线的讨论中所隐含的假设，参看注脚 12。 E - m 3 m 1 - m 3 - X 1 m2 - m 3 m2 - m 3 资产组合选择 Harry Markowitz 金融经济学名著译丛 『 第 8 页 』 使得 V最小。从 X沿着 l的任何方向，V都将递增。在临界线上从 X到临界线 通过可行集边界点的线段构成有效集的一部分，有效集的其余部分（在所显示的 情况下）是 ab 直线上从 d 到 b 的线段。b 是可行的 E最大的点。在图 3 中，X 位于有界域之外，但是临界线与有界域相交。有效直线的端点是具有最小方差的 可行点（在这种情况下在 ab直线上）。它向 b点延伸到与临界线相交，沿着临界 线延伸到与边界相交并最终沿着边界达到 b。读者可能希望构建并观察到下列情 况：（1）X位于可行集之外并且临界线不与可行集相交。在这种情况下，存在一 只不会包括在任何有效组合当中的证券。（2）两只证券具有相同的m i。在这种情 况下，等均值线与边界线平行。可能会发生具有最大 E的有效组合是分散化组合 的情况。（3）仅有一个组合是有效的情形。 图 2 具有 4 只证券的有效集，如同具有 3 只证券和 N 只证券的情形一样，是一 系列折线段。有效集的一端是方差最小的点，另一端是期望回报最大的点10（参 10 就像我们在三只证券的情形下，运用方程 =1减少维数一样，我们可以使用该方程在三维空 间中表示四只证券。消去 X 4，我们得到 E=E（X 1，X 2，X 3），V=V（X 1，X 2，X 3）。在三维空间中，用向量 （0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）将可行集表示为四面体，资产组合表示为 X 4=1，X 3=1， X2=1，X 1=1。 用 S123表示 X 4=0的所有点构成的子空间。同样，我们可以将 Sa1,… ,aa定义为 X i =0，i≠a1,… ,aa的所有点 构成的子空间。对于每一个子空间 Sa1,… ,aa我们可以定义一条临界线 la1,… ,aa。该直线是点 P的轨迹，点 P对于 Sa1,… ,aa中具有与 P相同的 E的所有点使得 V最小化。如果一个点在 Sa1,… ,aa当中并且是有效的， 它一定在 la1,… ,aa上。有效集可以这样画出，从具有可取的最小方差的点出发，按照定义的规则沿着各种 la1,… ,aa连续移动，在具有最大 E的点终止。就像在二维的情形一样，具有最小可取方差的点可能在可取 集内或者在其中的一条边界上。一般地我们沿着一条给定的临界线直到这条线或者与一个较大的子空间相 交，或者触及一条边界（以及同时具有较低维数子空间的临界线）。在上述任何一种情况下，效率线会反转 并且沿着新的直线连续。当到达具有最大 E值的点时，效率线将终止。 X 1 X 2 a 可行集 b a c 有效组合 等方差曲线 等均值线 E递增的方向* b c 4 ? Xi i=1 *E递增的方向取 决于m 1，m2，m 3 资产组合选择 Harry Markowitz 金融经济学名著译丛 『 第 9 页 』 见图 4）。 既然我们已经了解了有效组合的性质，有效（E，V）组合的性质也就不太 困难。在三只证券的情形下，E = a 0 + a 1X 1+ a 2X 2是一个平面；V = b 0+b 1X 1+ b 2X 2+ b12X 1X 2 + b11X 2 1 +b22X 2 2是一条抛物线11。如图 5所示，E-平面在有效组合集之上的 部分是一系列折线段。V-抛物线在有效组合集之上的部分是一系列抛物折线。如 果就有效组合的 E画出 V，我们也将得到一系列抛物折线（见图 6）。对任何数 量的证券都将得到这一结果。 图 3 使用回报的期望回报-方差准则有各种理由，包括可以作为很好地解释投资 行为的假设，以及作为个人行动的指南。我们即将看到该准则很好地解释和引导 与“投机”行为迥然相异的“投资”行为。 在前面，我们摒弃了期望回报准则，因为它不能得出分散化的优越性。与此 相对，回报的期望回报-方差准则蕴含着相对m i，s ij一定取值范围的分散化。这并 非意味着 E-V 准则否定了非分散化组合的优越性。可以想象一只比所有其它证 券具有高得多的收益和更小方差的证券，因此一个特定的未分散化的组合就具有 了最大 E和最小 V。但是对于大型的、假定具有代表性取值范围的m i，s ij，E-V 准则得出的有效资产组合几乎都是分散化的。 11 参见注脚 8。 l d l a E递增的方向 bc 资产组合选择 Harry Markowitz 金融经济学名著译丛 『 第 10 页 』 图 4 E-V准则不仅蕴含着分散化，而且蕴含着由“正确性原因”引起的分散化的 “正确性”。投资者并非仅仅根据持有不同证券的数量来运用分散化。例如，一 只包含十六只铁路证券的组合的分散化效果比不上同样规模但包含铁路、公用事 业、采掘、各种实业等的证券组合。原因在于同一产业内的公司比不同产业间的 公司在同一时期内的表现通常来讲有可能更差。 同样，为了降低方差，投资于多个证券是不够的。必须避免投资于具有很高 相关性的证券。我们应当在产业间进行分散化，因为不同产业的公司，尤其是经 济特性不同的产业，比同一产业内的公司具有更低的相关性。 “收益”和“风险”的概念频繁见诸于金融著作中。通常如果用“期望收益” 或“期望回报”替代“收益”，用“回报方差”替代“风险”，不会引起表面含义 的变化。 方差是一个广为人知的测度回报分散度的指标。如果投资者不使用方差，而 是使用标准误差σ=v—— V ，或分散参数σ/E，其选择依然位于有效资产组合集当 中。 假设投资者在两个组合之间进行分散化（即他将一部分资金投入一个组合， 将其余的资金投入另一个组合。在组合之间进行分散化的一个例子是买入两个不 同投资公司的股份）。如果两个原始组合的方差相等，那么一般地12最终的（复 合）组合的方差将小于任何一个原始组合的方差。图 7显示了这一情况。为了解 释图 7，我们注意到一个组合（P）基于两个组合 P’=（X’ 1，X’ 2）和 P’’=（X” 1 ，X ’’ 2）按照 P = l P’ +（1-l）P’’ = （l X’ 1 +（1-l）X’ 2， l X” 1 +（1-l）X ’’ 2）的形式 构建而成。P位于联结 P’ 和 P’’的直线上。 12 方差不会增加。方差不会降低的唯一情况是两个组合的回报完全相关。为了导出椭圆状等方差曲线，假 定没有两个组合具有完全相关的回报是必要并且充分的。 l124 l234 X 1 有效组合 X 2 X 3 l1234 资产组合选择 Harry Markowitz 金融经济学名著译丛 『 第 11 页 』 图 5 图 6 E-V准则作为与投机行为相区别的投资行为准则更为合理。回报概率分布对 于组合的三阶距 M 313反映了赌博倾向。例如，如果投资者根据 E和 V最大化效 用（U）（U = U（E，V），dU / dE > 0, dU / dV < 0），他不会接受实际上的公平14赌 局。但是，如果 U = U（E，V，M 3）并且 dU / dM 3≠ 0，那么会有一些公平赌局 被接受。 或许——对于相当一部分追求收益、回避风险、避免赌博的投资机构来说— —将 E，V有效性作为操作假设和操作准则是合理的。 E-V准则存在两方面的应用：我们可以在理论分析中应用，或者我们可以在 资产组合实践中应用。 13 如果 R是随机变量，以概率 P 1，…，P n取有限个值 r 1，…，r n，期望值为 E，那么M 3= 14 赌博所赢得的钱数乘以赢的概率等于赌博所输掉的钱数乘以输的概率。 V 有效 E，V组合 E b c X 1 有效组合集 X 2 a n ? p i （r i-E）3 i=1 资产组合选择 Harry Markowitz 金融经济学名著译丛 『 第 12 页 』 图 7 在理论分析中，我们会考察诸如对公司普遍持有的主观信念的变化、或者对 期望回报与回报方差偏好的一般性变化、或者证券供给的变化所产生的各种效 应。在我们的分析中，X t可以表示单只证券或者表示如债券、股票和房地产15的 总体。 为了在证券选择中运用 E-V准则，我们必须通过一定的程序发现合理的m i， s ij。我相信这些程序应当由统计技术和对人的判断组合而成。我的理解是应当使 用统计计算获取的m i和 s ij的试验性集合。然后运用判断，根据计算公式没有考虑 到的因素或细微差别调增或调减部分m i和 s ij。利用m i和 s ij的修正集合，E、V有 效集可以计算出来，投资者可以选择所偏好的组合，可以找到构成该 E、V组合 的资产组合。 寻求试验性m i、s ij的一个方法是使用过去某段时间观测到的m i、s ij。我相信 可以找到包括更多信息的更好方法。我相信所需要的是从根本上对证券分析进行 “概率化”革新。在这里我不想就此进行讨论，因为这是“另一个故事”。这是 一个我仅仅读到第一章第一页的故事。 在本文中，我们考察了资产组合选择过程的第二个阶段。这一阶段从对所包 括的证券的相关主观信念形成资产组合选择。我们没有考察第一阶段：根据观察 形成相关的主观信念。 15 在应用与解释总体之间关系时必须小心。我们在此不能处理总体问题。 p’ p’’ a 等方差线 p · x - bc X 1 X 2