null第四节第四节一、 偏导数概念及其计算二 、高阶偏导数 偏 导 数 第八章 一、 偏导数定义及其计算法一、 偏导数定义及其计算法引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是中的 x 固定于求一阶导数与二阶导数.x0 处,关于 t 的将振幅定义8.5定义8.5设 二 元函数在 (x0, y)的某邻域内有定义,如果当⊿x→0时，极限则称 此极限值为函数 f (x , y)在点(x0 , y0)处对x 的偏导数。记作 如果当⊿y→0时，极限则称 此极限值为函数 f (x , y)在点(x0 , y0)处对y 的偏导数。记作 如果函数z=f (x, y)在平面区域D内每一点(x, y)处对x (或y)如果函数z=f (x, y)在平面区域D内每一点(x, y)处对x (或y)在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:定义8.5.则称函数f (x, y)在D内有对x(或对 y)的的偏导数都有存在，简称偏导数。记作偏导函数，同样可定义对 y 的偏导数同样可定义对 y 的偏导数若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数 ,记为或 y 偏导数存在 ,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义:二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的注意：注意：函数在某点各偏导数都存在,显然例如,但在该点不一定连续.在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!例1 . 求例1 . 求并求解:的偏导数与例2. 求例2. 求解:的偏导数一般说来,函数 的偏导数还是 x, y 的二元函数。如果这个函数对自变量 x 和 y 的偏导数也存在,则称这些偏导数为函数f ( x, y) 的二阶偏导数。记作仿此可以定义二元函数更高阶的偏导数。例如：P330例3. 求P330例3. 求解:只有当为x, y的连续函数时，必有P330例4. 求P330例4. 求解:只有当为 x , y 的 连续函数 时，必有例5.设某货物的需求量Q是价格P及消费者收入Y 的函数例5.设某货物的需求量Q是价格P及消费者收入Y 的函数价格 P 改变ΔP,是需求量Q，当价格为P、消费者收入为Y 时,当消费者收入 Y 保持不变，需求量 Q 对于价格 P 价格P 由P 变到P +ΔP 时的平均变化率。而比值的偏改变量为是需求量Q 对于称为需求对价格的偏弹性.对于价格P的变化率。类 似 地 , 类 似 地 , 消费者收入 Y 改变 ΔY 时，对于收入 Y 的偏改变量.需求量Q 对是当价格为P、收入为Y 时,是需求量Q,当价格不变, Y 变到Y +ΔY 时的平均变化率。是需求量Q 对于收入Y从称为需求对收入的偏弹性.于收入Y的变化率。例1 . 求例1 . 求解法1:解法2:在点(1 , 2) 处的偏导数.例2. 设例2. 设证:例3. 求的偏导数 . 解:求证例4. 已知理想气体的状态方程偏导数记号是一个例4. 已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R 为常数) , 不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为例5. 求函数例5. 求函数解 :注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 例如,例如,二者不等例6. 证明函数例6. 证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性 , 有方程定理.定理.则例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续时, 有而初等(证明略) 定理.定理.证:令则则令同样同样在点连续,得内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算
方法
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求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)备用题 备用题 设方程确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且求解:偏 导数的几何意义1.偏 导数的几何意义1.作 业 7.3作 业 7.3 阅读 P150 - 153 P153 P362 4,5,6,7; 奇思考与练习思考与练习解答提示:P73 题 5P73 题 5 , 6即 x＝y＝0 时,P73 题6P73 题6(1)(2)
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