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浅谈微分方程的应用
徐 � 彬
(华中科技大学武昌分校 基础科学部 � 430064)
�摘� 要�微分方程是数学的重要分支, 本文讨论微分方程知识在实际
问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
中的应用,以及用微分方程知识解决实际问题的方法步骤,并给出
具体实例。
�关键词�微分方程;应用
中图分类号: 0715
一、引言
在高等数学教学过程中,我发现学生除了对知识的渴望外, 更
想知道的是所学知识能用在哪里, 这里我就简单谈一下微分方程
知识的应用。
微分方程是与微积分一起形成发展起来的重要数学分支, 已
有悠久的历史,早在 17~ 18 世纪, 牛顿、莱布尼兹、贝努里和拉格
朗日等人在研究力学和几何学中就提出了微分方程。随着科学的
发展,它在力学、电学、天文学和其他数学物理领域内的应用不断
获得成功,有力地推动了这些学科的发展, 已成为研究自然科学和
社会科学的一个强有力工具。
如今,微分方程仍继续保持着进一步发展的活力,其主要原因
是它的根源深扎在各种实际问题之中, 许多实际问题可以通过建
立微分方程模型得以解决。
二、解决方法
应用微分方程解决实际问题, 其实就是建立微分方程数学模
型,通过建立微分方程、确定定解条件、求解及对解的分析可以揭
示许多自然界和科学技术中的规律。应用微分方程解决具体问题
的主要步骤:
( 1)分析问题, 将实际问题抽象,建立微分方程, 并给出合理的
定解条件;
( 2)求解微分方程的通解及满足定解条件的特解, 或由方程讨
论解的性质;
( 3)由所求得的解或解的性质,回到实际问题, 解释该实际问
题,得出客观规律。
对于初学者来说,要顺利准确的将实际问题抽象,建立微分方
程,并不是一件容易的事情, 在教学中就需要教师积极引导, 从易
到难,使学生体会到探索的乐趣, 掌握这种分析问题解决问题的方
法。
三、应用举例
例 1: 医疗问题。
有一种医疗手段,是把示踪染色体注射到胰脏里去检查其功
能。正常胰脏每分钟吸收染色的 40%。现有一内科医生给某人
胰脏注射了 0. 3 克染色, 30 分钟后还剩下 0. 1 克, 试问此人的胰
脏是否正常。
解:正常情况下, 设 S( t)表示注射染色体后 t 分钟时人胰脏中
的染色量,则每分钟吸收的染色为dS( t)
dt
= - 0� 4S, 本题可知 S( 0)
= 0� 3,故得到定解问题
dS( t)
dt
= - 0� 4S
S( 0) = 0� 3
通过分离变量法,解得 S( t ) = 0� 3e- 0� 4t , 则 30 分钟后剩余的
染色量为 S( 30) = 0� 3e- 0� 4� 30 � 0, 而实际此人剩余 0. 1 克, 由此可
知,此人的胰脏不正常, 应该接受治疗。
例 2:物体冷却模型- - 案件的侦破
某小镇发生一起凶杀案, 法医于下午 赶到凶案现场, 测得了
尸体温度为 34度, 1h 后又测得尸体温度为 32 度, 室温为常温 21
度。警方经过反复排查, 圈定主要嫌犯 2 人, 张姓和李姓, 但 2 人
均辩称无罪,并陈述了各自当日下午的活动情况。张称: "我下午
一直在办公室, 后才离开。"李称: "我下午一直在上班, 接到一电
话后离开。"2 人所说均被证实,从 2 人上班地点到案发现场需要
10 分钟。问两人能否排除嫌疑?
解:首先建立物体冷却模型
牛顿冷却定律:物体冷却率正比于物体温度与周围介质温度
之差,这里我们总假设周围介质温度为常数 T 0。设物体在 t 时刻
温度为 Y( t) ,且 Y( 0) = Y0 , 由牛顿冷却定律,可建立如下冷却模
型:
dY
dt
= - K ( Y- T 0 )
Y ( 0) = Y 0
,此案情符合此模型,依据具体情况, 建立
模型如下:
设 Y( t)表示尸体在 时刻的温度,则可得定解问题:
dY
dt
= - K ( Y- 21)
Y ( 0) = 34
Y ( 1) = 32
可解出 Y( t) = 21 + Ce- Kt。由 Y( 0) = 34, 知 C= 13, 再有 Y
( 1) = 32, 解得 K= ln 13
11
�0� 167,故 Y( t) = 21+ 13e- 0�167t。
假设死者死亡时体温正常为 37度,即 Y= 37,现求出死亡时间 t
=
1
0� 167ln 1316� - 1� 25h。由此推知死者死亡时间为 6: 00- 1: 15= 4:
45,即下午4:45 左右,因此李姓不能排除嫌疑,张姓无作案时间。
四、小结
以上介绍了关于微分方程应用的两个实例, 这些在生活中很
神秘的问题,把它抽象成微分方程模型, 就会发现原理其实很简
单。除此以外,微分方程在天文、物理、经济等方面都有很广泛的
应用,虽然很多问题推导过程教繁琐, 但得到的结果却很明了, 这
对各学科的研究是很有帮助的。
�参考文献�
[ 1]欧阳瑞,孙要伟.常微分方程在数学建模中的应用[ J] . 宿州教育学
院学报, 2008, 11( 2)
[ 2]丁同仁,李承治.常微分方程教程[ M] . 高等教育出版社, 1990.
[ 3]姜启源,谢金星,叶俊.数学建模[ M ] .高等教育出版社, 2003.
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