立体几何复习课件

nullnull立体几何复习MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714932812843_1 江苏省宝应安宜高级中学 null平行问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 垂直问题角度问题距离问题柱锥问题体积面积问题多面体与球的问题生活问题和翻折问题综合问题立几概念和方法动态的立体几何正方体的截面问题三棱柱的体积分割null平行问题返回null直线和平面的位置关系直线和平面的平行关系平面和平面的平行关系返回null直线在平面内直线和平面相交直线和平面平行线面位置关系有无数个公共点有且仅有一个公共点没有公共点返回null平行于同一平面的二直线的位置关系是 ( ）（A） 一定平行（B） 平行或相交（C） 相交（D） 平行，相交，异面D返回null（1）点A是平面外的一点，过A和平面平行的直线有 条。α无数返回null（2）点A是直线l 外的一点，过A和直线l 平行的平面有 个。无数返回null（3）过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有 个。无数返回null（4）过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有 个。且仅有一返回null（5）如果l1 // l2 , l1 平行于平面,则l2 平面l1 或 //返回null（6）如果两直线a，b相交,a平行于平面，则b与平面的位置关系是 。a相交或平行返回null过直线L外两点,作与直线L平行的平面,这样的平面( )（A） 有无数个（C） 只能作出一个（B） 不能作出（D） 以上都有可能情况一返回null（A） 有无数个（C） 只能作出一个（B） 不能作出（D） 以上都有可能过直线L外两点,作与直线L平行的平面,这样的平面( )情况二返回null过直线L外两点,作与直线L平行的平面,这样的平面( )（A） 有无数个（C） 只能作出一个（B） 不能作出（D） 以上都有可能D情况三返回null例： 有以下四个命题： ① 若一条直线与另一条直线平行，则它就与经过另一条直线的平面平行； ② 若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面； ③ 若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则此直线必垂直于这个平面； ④ 平面内两条平行直线，若其中一条直线与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行． 其中正确命题的个数是（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3返回null解：① 不正确，若一条直线与另一条直线平行，则这条直线可能与经过另一条直线的平面平行，也可能在平面内； ② 不正确，与①相仿，若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线可能平行于这个平面，也可能在平面内；返回null ③ 不正确，若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，如果在平面内的两条直线平行，则无法判断直线是否垂直于这个平面； ④ 不正确，与①②相仿，该直线仍有可能在平面内。 所以四个命题都是错误的，选A。返回null(1)定义——直线与平面没有公共点(2)定理——如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。返回null线面平行判定定理——如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。已知：a b a//b求证：a//ab(1) a,b确定平面，=b(2) 假设a与不平行则a与有公共点P则P =b(3) 这与已知a//b矛盾(4) ∴a // 返回null 如图,空间四面体P-ABC,M,N分别是面PCA和面PBC的重心,求证:MN//面BCAP∵MN// EF∴ MN //面BCA线线平行线面平行返回null如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB,M.N分别是对角线上的点，AM=FN。求证:MN//面BCE。ABCDEFMN∵MN // GH∴ MN //面BCE线线平行线面平行返回nullABCDEFMN∵△AFN∽ △BNH∴ AN/NH=FN/BN∴ AN/NH=AM/MC∴ MN//CH∴ MN //面BCE如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB, M.N分别是对角线上的点，AM=FN，求证:MN//面BCE。返回null 在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1EE∵DB1 // EF∴ DB1 //面A1C1E线线平行线面平行返回null在正方体AC1中，O为平面ADD1A1的中心，求证：CO // 面A1C1BB1O返回null(1)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面无公共点(2)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线(3)如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。返回null已知：a//,a,   =b求证：a//b  =bb  a //a  b=a//b返回null如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行，则另一条直线与这个平面也平行abc返回null如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行al已知：a // ， a//  ，  =l求证：a // l返回nullabABOMNP如图，a,b是异面直线，O为AB的中点，过点O作平面与两异面直线a,b都平行MN交平面于点P，求证：MP=PN返回null一、两个平面平行的判定方法1、两个平面没有公共点2、一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面3、都垂直于同一条直线的两个平面两个平面平行返回null二、两个平面平行的性质4、一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面2、其中一个平面内的直线平行于另一个平面3、两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行两个平面平行5、夹在两个平行平面间的平行线段相等1、两个平面没有公共点返回null判断下列命题是否正确？1、平行于同一直线的两平面平行2、垂直于同一直线的两平面平行3、与同一直线成等角的两平面平行返回null4.垂直于同一平面的两平面平行5.若α∥β,则平面α内任一直线a ∥β返回null2. 如图,设AB、CD为夹在两个平行平面 、 之间 的线段，且直线AB、CD为异面直线，M、P 分别为AB、CD 的中点， 求证： 直线MP // 平面 .返回null例:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求证：面AB1D1∥面BDC1证明：B1D1∩AB1=B1面AB1D1∥ 面BDC1线∥线线∥面面∥面返回null证法2：A1C⊥BDBD∩BC1=BA1C⊥面BDC1面AB1D1 ∥面BDC1返回null变形1:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别为A1D1,A1B1,A1A的中点,求证：面EFG∥面BDC1变形2:若O为BD上的点 求证：OC1 ∥面EFG O面∥面 由上知面EFG∥面BDC1线∥面OC1 ∥面EFG证明：返回null变形3:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E,F,M,N分别为A1B1,A1D1, B1C1, C1D1 的中点求证：面AEF∥面BDMN返回null小结：线 平行 线 线 平行 面 面 平行 面线面平行判定线面平行性质面面平行判定面面平行性质三种平行关系的转化返回null 已知：四面体A-BCD，E,F,G分别为AB,AC,AD的中点.求证：面EFG∥面BCD练习返回null垂直问题null线面垂直的判定方法(1)定义——如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。(2)判定定理1——如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。(3)判定定理2——如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。返回null线面垂直的性质(1)定义——如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线(2)性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。返回null填空（1）l  , m  l____m（2） n, m , m与n_____, l m, l n,  l  （3）l  , m  ,  l____m（4）l //m , l  ,  m____ 相交//返回nullPABC如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面（1）BC⊥面PAC返回nullPABC2)若AH⊥PC,则AH⊥面PBC如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面返回nullO在正方体AC1中,O为下底面的中心,求证：AC⊥面D1B1BD返回nullOH在正方体AC1中，O为下底面的中心，B1H ⊥D1O,求证：B1H⊥面D1AC返回null已知: l //  ,m 求证: l  m m返回null返回null如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直返回null如图，C为以AB为直径的圆周上一点， PA⊥面ABC，找出图中互相垂直的平面。∵PA⊥面ABC∴面PAC⊥面ABC∴面PAB⊥面ABC∵BC⊥面PAC∴面PBC⊥面PAC返回null如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面返回null求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直返回null求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面l返回null求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面l返回null四面体ABCD中，面ADC⊥面BCD，面ABD ⊥面BCD，设DE是BC边上的高， 求证： 平面ADE ⊥面ABC 面ADC⊥面BCD面ABD ⊥面BCDAD ⊥面BCDAD ⊥BCDE ⊥BCBC ⊥面ADE面ABC ⊥面ADE①②③④返回null⊿ABC是直角三角形, ∠ACB=90°,P为平面外一点，且PA=PB=PC . 求证： 平面PAB ⊥面ABC 返回null课堂练习课堂练习空间四面体ABCD中，若AB=BC，AD=CD，E为AC的中点，则有( ）(A) 平面ABD ⊥面BCD(B) 平面BCD ⊥面ABC(C) 平面ACD ⊥面ABC(D) 平面ACD ⊥面BDE返回null如图，ABCD是正方形，PA ⊥面ABCD，连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对互相垂直的平面？面PAC⊥面ABCD面PAB⊥面ABCD面PAD⊥面ABCD面PAD⊥面PAB面PAD⊥面PCD面PBC⊥面PAB面PBD⊥面PAC返回null如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠ACB= 90°,PB=BC=CA,E为PC中点，返回null如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD= 120°,E为PC上任意一点，返回null例:如图，在四面体SABC中，∠ASC=90°，∠ASB=∠BSC=60°，SA=SB=SC， 求证：平面ASC⊥平面ABC。返回null返回null角度问题一、概念一、概念直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。返回null 点o常取在两条异面直线中的一条上aαbO是空间中的任意一点θooooo返回一、概念一、概念直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。返回nullθαBA返回一、概念一、概念直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。返回nullABO返回一、概念一、概念直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。AαβLBO返回二、数学思想、方法、步骤：二、数学思想、方法、步骤： 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.方法：3.步骤：b.求直线与平面所成的角：a.求异面直线所成的角：c.求二面角的大小：①作（找）② 证③ 点④ 算1.数学思想：返回null在正方体AC1中，求异面直线A1B和B1C所成的角？A1B和B1C所成的角为60°和A1B成角为60°的面对角线共有 条。返回null在正方体AC1中，求异面直线D1B和B1C所成的角？ABDCA1B1D1C1返回null在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线CM和D1N所成的角？MN返回nullPABCMN空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与BC所成的角？返回null1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和 CC1的中点， F在AB上，且C1E⊥EF， 则EF与GD所成的角的大小为（ ） (A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°DM EB1是EC1在平面AB1 内的射影EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG返回null已知：两异面直线a,b所成的角是50 °，P为 空间中一定点，则过点P且与a,b都成30°角的 直线有 条。abPO2返回nullA1ABB1CDC1D1FE解：如图，取AB的中点G ，O（证）（点）（算）（作）例1:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1 、CD中点。求AE与D1F所成的角。返回null例2、长方体ABCD-A' B'C' D'中, AB=BC=4, AA' =6, E、F分别为BB' 、CC'的中点, 求AE、BF所成角的余弦值.返回null例3：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。返回null取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1 交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1M解：为什么？返回null解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。 返回null解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。 在A1C1E中，由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，BC1的长方体B1F，返回null例： 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成角的大小是（ ）． A．30° B．45° C．60° D．90°返回null例： 如图，正三棱锥S－A BC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、 A B的中点，那么异面直线EF与SA所成角等于（ ） A．90° B．60° C．45° D．30°返回null解：取AC的中点G，连接EG、FG， ∵ EG//SA，∴ ∠GEF是异面直线EF与SA所成角，又FG//BC，SA⊥BC， ∴ ∠EGF=90°， △EGF是直角三角形，又EG=SA，FG=BC， ∴ EG=FG，△EGF是等腰直角三角形， ∴ ∠GEF=45°，选C.返回null 正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为练习1900返回null在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）CD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900练习2B返回null例:已知正方体的棱长为 a , M 为 AB 的中点, N 为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。解：EG如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M 取CC1的中点G,连BG. 有BG∥ C1N 则∠EBG即为所求角。BG=BE= a, F C1 = a由余弦定理，cos∠EBG=2/5F取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF则∠FNC为所求角。想一想：还有其它定角的方法吗？在△EBG中返回null定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围： （1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ（2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ（3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。90o（2）补形法化归的一般步骤是：定角求角返回null说明：异面直线所成角的范围是（0， ]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。 返回null斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角返回null若斜线段AB的长度是它在平面内的射影长的2倍，则AB与所成的角为 。60°返回null最小角原理C斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。返回null若直线 l1与平面所成的角为60 ° ，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角 ，最大的角为 。90°60°Ol1返回null若直线 l1与平面所成的角为30 ° ，直线 l2 与 l1 所成的角为60 °,求直线 l2与平面所成的角 的范围?l1返回null如图,直线OA与平面所成的角为,平面内一条直线OC与OA的射影OB所成的角为,设∠AOC为2求证:cos2= cos 1 ×cos 返回null求直线与平面所成的角时,应注意的问题:(1)先判断直线与平面的位置关系(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：①作出或找出斜线上的点到平面的垂线②作出或找出斜线在平面上的射影③求出斜线段，射影，垂线段的长度④解此直角三角形,求出所成角的相应函数值返回null例题:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角O返回nullSACBOFE如图，ACB=90，S为平面ABC外一点， SCA= SCB= 60，求SC与平面ACB所成的角.返回nullSACBOFE如图，SA,SB,SC是三条射线，BSC=60,SA上一点P到平面BSC的距离是3, P到SB,SC的距离是5,求SA与平面BSC所成的角P返回nullABCDFEADFD’A’CA1BE正方形ABCD边长为3，AE=2BE，CF=2DF，沿EF将直角梯形AEFD折起，使点A’的射影点G落在边BC上，求A’E与平面ABCD所成的角？返回null如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为下底面AC的中心，求A1O与平面BB1D1D所成的角.OO`返回null正四面体P—ABC中，求侧棱PA与 底面ABC所成的角PABCD返回null从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱返回null以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角返回null基础题例题1.下列命题中： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角； ②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角. 其中，正确命题的序号是______________.②、④返回null2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_____，二面角B-AA1-D的大小为______，二面角C1-BD-C的正切值是_______.45°90°基础题例题返回null3. 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它 与棱 l 所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则 这个二面角的大小是________________.45°或135°基础题例题返回nullB基础题例题返回null基础题例题5. PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角 都是60o，则二面角B –PA—C的余弦值是 ( ) A. B. C. D.AD返回nullABCA′M已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射影为点A′， ⊿ABC的面积是S， ⊿A′BC的面积是S′，设二面角A-BC-A′为.求证：COS  = S ′÷ S返回null在正方体AC1中，求二面角D1-AC-D的大小？返回null 过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度角，求二面角B-SC-D的大小.E返回null7.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC= BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1 与底面ABC所成的角为60°. (1)求证：BC⊥平面AA1C1C； (2)求二面角B-AA1-C的大小.能力·思维·方法返回null7.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证：BC⊥平面AA1C1C；(2)求二面角 B-AA1-C的大小.能力·思维·方法证明: (1)由题设知，A1M⊥平面ABC，又A1M 平面AA1C1C，∴(1)平面AA1C1C⊥底面ABC，又BC⊥AC，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，∴BC ⊥平面AA1C1C返回null7.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证：BC⊥平面AA1C1C；(2)求二面角 B-AA1-C的大小.能力·思维·方法证明: (2)由题设知，A1M⊥平面ABC，∴AA1与底面ABC所成角为∠A1AC,∴∠A1AC=60o,又M是AC中点，∴△AA1C是正三角形,作CN⊥AA1于N，∴点N是AA1的中点,连接BN，由BC ⊥平面AA1C1C，∴BC⊥AA1，∴作AA1 ⊥平面BNC，∴AA1 ⊥BN ，∴∠BNC是二面角B--AA1—C的平面角，返回null7.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证：BC⊥平面AA1C1C；(2)求二面角 B-AA1-C的大小.能力·思维·方法设AC=BC=a，正三角形AA1C的边长为a，∴在直角三角形BNC中，∴二面角B—AA1—C的大小是返回null能力·思维·方法返回null在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD的中点，求二面角C1-EF-C的大小？EFABDCA1B1D1C1H返回null⊿ABC中,AB⊥BC,SA ⊥平面ABC,DE垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小?SABCED返回null求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？E返回null三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC. （1）求二面角P-BC-A的大小34H返回null （2）求二面角A-PC-B的大小COS =三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC. （1）求二面角P-BC-A的大小返回null在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小.EF返回nullEF在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小.返回null例： 如图ABC-A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱, (1)求 AB1与A1C所成角?(2)求AB1与平面BB1C1C所成角?(3) 若点D是侧棱CC1的中点,求平面AB1D与平面ABC所成角? A1AB1C1BC返回null例： 如图ABC-A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱, (1)求 AB1与A1C所成角?返回null解: 分别取A1A,AC, A1B1的中点N,M, G,连接GN,NM.则∠GNM为所求角.并连接GM.GMGM=N返回null1. 如图ABC-A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱, (1)求 AB1与A1C所成角?(2)求AB1与平面BB1C1C所成角?E返回null例： 如图ABC-A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱,(3) 若点D是侧棱CC1的中点,求平面AB1D与平面ABC所成角?A1AB1C1BCD返回null则:AG返回nullA1AB1C1BCDM ∠B1AB为二面角B1－AM－B的平面角.返回null 解：延长B1D交BC延长线于M,连接AM返回nullCABDA1B1C1D1MN返回nullCABDA1B1C1D1MN返回nullCABDA1B1C1D1MN返回nullCABDA1B1C1D1MN返回nullCABDA1B1C1D1MN返回nullCABDA1B1C1D1MN返回null返回nullB1A1C1 ABC例： 在直三棱柱ABC－A1 B1 C1中， ∠ BAC=90º，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30º 的角， 求二面角B－B1C － A的余弦值。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：求二面角B－ B1C－A的度数，要作出平面角，显然二面 角的棱为B1C，故需在B1C上取一点，然后分别在两个面内作垂 直于棱的两条射线。返回nullC1 AA1B1BC返回null1.熟练掌握求二面角大小的基本方法：(1)先作平面角，再求其大小； (2)直接用 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 2.掌握下列两类题型的解法：(1)折叠问题——将平面图形翻折成空间图形.(2)“无棱”二面角——在已知图形中未给出二面角的棱.返回null基础题例题二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱 AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则( ) (A)∠CEB＞∠DEB (B)∠CEB=∠DEB (C)∠CEB＜∠DEB (D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定A返回nullD基础题例题返回null在长、宽、高分别为1、1、2的长方体ABCD－A1B1 C1D1中，截面BA1C1与底面ABCD所成角的余弦值是__ _____.arccos(1/3)基础题例题返回null5.已知正方形ABCD中，AC、BD相交于O点，若将正方 形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角后，给出下面4个 结论： ①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形； ④过B点作直线l⊥平面BCD，则直线l∥平面AOC, 其中正确命题的序号是________①③④基础题例题返回null6. 在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC， AB=BC=CA=PC，求二面角B—AP—C的大小． EF解：如图过B作BE⊥AC于E，过E作EF⊥PA于F，连结BF。 ∵PC⊥平面ABC，∴BE⊥平面PAC，∴BF⊥PA。 ∴∠BFE就是二面角B―PA―C的平面角。设PC=1 则AB=BC=CA=PC=1， ∴E为AC的中点，能力·思维·方法………………返回null能力·思维·方法7.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠DCB=135°，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB⊥面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.返回null能力·思维·方法7.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠DCB=135°，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB⊥面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.证明: (1)D-AC-B是直二面角,又∵DC⊥AC,∴DC⊥平面ABC,(面面垂直性质定理)又AB 平面ABC,∴DC⊥AB,又AB⊥BC,∴AB⊥平面BCDABCD返回null能力·思维·方法7.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠DCB=135°，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB⊥面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.证明: (2)过C作CH⊥DB于H,∴平面ABD⊥平面DCB,∴CH⊥平面ABD,∵AB⊥平面BCD又∵平面ABD ∩平面DCB=DB,BH过H作HE⊥AD于E,E连接CE,由三垂线定理知 CE⊥ADHE⊥ADCE⊥AD∴∠CEH是所求二面角 的平面角,∴∠CEH=60o,即所求二面角为 60o返回null【解题回顾】准确画出折叠后的图形，弄清有关点、 线之间的位置关系，便可知这是一个常见空间图形 (四个面都是直角三角形的四面体).能力·思维·方法返回null提示：分锐二面角和钝二面角两种情况讨论返回null返回null如图（2），若二面角α－l－β是钝二面角，自B作BD⊥β，D为垂足，作BC⊥l于C，C为垂足，连接CD，延长DC到E，则由三垂线定理得CE⊥l，∴ ∠BCE是二面角α－l－β的平面角，而∠BCD是二面角α－l－β的平面角的补角，由（1）解得∠BCD=45°， ∴ ∠BCE=135°， 即二面角的大小是45°或135°，选C. 返回null8.在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45°，设E、F分别为AB、PD的中点. (1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；能力·思维·方法EFP..证明:（1）取PC的中点G,.G连接FG、EG,则FG//CD,且FG= CD,∵AE//CD,且AE= CD∴AE//FG,AE=FG,从而四边形AEGF是平行四边形,∴AF//EG,EG 平面PEC,∴AF//平面PEC返回null8.在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45°，设E、F分别为AB、PD的中点. (1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；能力·思维·方法P证明:（2）∵CD⊥平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD∴∠PAB为二面角P-BC-A的平面角,在Rt△PAB中,PA=3,PB= ,∵PA=AD,且∠PDA=45o,∴PA⊥AD∴PA⊥平面ABCD,∴AB⊥BC由三垂线定理得 PB⊥BC∴sin∠PBA=得所求的二面角为60o返回null【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.能力·思维·方法返回null9.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.能力·思维·方法ADBCB1A1D1C1.E解题分析:所求二面角”无棱”,要么先找 “棱”,要么用面积投影.解法一:取B1C1的中点M,.M连接EM,∵E为BC的中点,∴EM⊥平面A1B1D1,∴△B1D1 M是△D1B1E的射影三角形,设平面B1D1E和平面A1B1C1D1所成的 二面角为α,∵平面ABCD//平面A1B1C1D1,∴平面B1D1E和平面ABCD所成的 二面角也为α,设正方体棱长为 a,∴所求二面角的正弦值为返回null9.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.能力·思维·方法ADBCB1A1D1C1.F解法二:取BC的中点F,.M连接BD、EF,∴所求二面角的正弦值为.E∵E为BC的中点,∴EF//BD,∵BD//B1D1,∴EF//B1D1,∴EF、B1D1共面，∴平面ABCD∩平面EB1D1F=EF，作BG⊥EF交FE的延长线于G,G连接B1G,则∠B1GB是平面B1D1E和平面ABCD所成二面角的平面角。设正方体棱长为 a,则BE= ，BG= ，在Rt△B1BG中,B1G= ，返回null能力·思维·方法返回null例：如图，已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长大于底面边长，M、N分别在侧棱AA1、BB1上，且B1N=A1B1=2A1M，求截面C1MN与底面A1B1C1所成的二面角的大小。返回null返回null例：S是正△ABC所在平面外一点，SA=SB=SC且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°，M，N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.Paaa返回null距离问题null一、知识概念1.距离定义 （1）点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这条直线的距离。 （2）点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这个平面的距离。 （3）两平行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的距离。返回null（4）两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两异面直线的距离。 （5）直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离。 （6）两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离。返回null2.求距离的步骤 （1）找出或作出有关距离的图形 （2）证明它们符合定义 （3）在平面图形内进行计算返回nullABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题(1)A到CD1的距离D点—线返回nullABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题(1)A到CD1的距离D(2)A到BD1的距离返回null点—线ABCDA1B1C1D1H已知：长方体AC1中，AB=a，AA1=AD=b求点C1到BD的距离？C1H=返回null线—线ABCDEF矩形CDFE和矩形ABFE所在的平面相交，EF=5,AD=13,求平行线AB和CD的距离？返回null点—面从平面外一点引这个平面的垂线垂足叫做点在这个平面内的射影这个点和垂足间的距离叫做点到平面的距离线面垂直点的射影点面距离返回null已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形ABC的外心返回null已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的垂心DO返回null已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的内心OEF返回null已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？外心已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？内心PABCO返回nullABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题D(1)A到面A1B1CD返回nullABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题D(1)A到面A1B1CD(2)A到平面BB1D1返回null棱长为1的正四面体P——ABC中，求点P到平面ABC的距离？ABCOP返回null4.如图，已知P为△ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，求P点到平面ABC的距离。返回null3.如图，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，若AB＝5，AC＝2，求B到平面PAC的距离。返回nullPABCEFO返回nullABEFDCPZ返回null线—面一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点 到这个平面的距离叫做直线到平面的距离返回null例：已知一条直线 l 和一个平面平行，求证：直线 l 上各点到平面的距离相等AA`BB`l返回nulllA`AB返回null如果一条直线上有两个点到平面的距离 相等，则这条直线和平面平行吗？判断题：返回null空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D 距离相等的平面有几个？ABCD4ABCD3返回null5.如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’中，棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到平面A’BCD’的距离。练 习返回nullABCDPFE已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是 AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2， 求点B到平面PEF的距离？GOH点—线点—面线—面综合练习：返回null例3：如图：已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，PC垂直平面ABCD，且PC=2，求点B到平面EFP的距离。解：连AC，BD，设交于O,设AC交EF于HOH连PH因为BD∥平面PEF，所以求B到平面的距离，可转化为求BD到平面的距离过O作OK⊥平面PEF，可证明OK就是所要求的距离K此时，得用△OKH∽△PCH，容易求得 OK的值。返回nullABA’B’ 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。 公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。直线AA’、BB’都是它们的公垂线段 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。返回null返回null题型讲练：思考:在边长为1的正方体 中,M,N,E,F分别放 飞 思 维 的 翅 膀 是棱 的中点.(1)求证:平面 面 ;(2)求:平面 与面 的距离.返回null思考题：（1999）如图：已知正四棱柱ABCD-A’B’C’D’中，点E在棱DD’上，截面EAC∥D’B，且面EAC与底面ABCD所成的角为450，AB=a （1）求截面EAC的面积 （2）求异面直线A’B’与AC的距离返回null二、例例1：在600二面角M-α-N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P到直线a距离。解：设PA，PB分别垂直平面M，平面N与A、B，PA，PB所确定的平面为α,且平面α交直线a与Q，设PQ=x在直角△PAQ中sin∠AQP=1/x 在RT △PBQ中sin ∠AQP=2/xcos600=cos(∠AQP +∠AQP)，由此可得关于x的方程返回null例2：菱形ABCD中，∠BAD=600，AB=10，PA⊥平面ABCD，且PA=5，求： （1）P到CD的距离 （2）P到BD的距离 （3）P到AD的距离 （4）求PC的中点到 平面PAD的距离(1)过P作CD的垂线，交CD的延长线于E，连AEE(2)连BD，交AC于O，连POO返回null1. α、β是两个平行平面，aÌα，bÌβ ，a与b之 间的距离为d1， α与β之间的距离为d2，则 ( ) (A)d１=d2 (B)d１＞d2 (C)d1＜d2 (D)d１≥d2基础题例题DC返回null3. △ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC 所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14， 那么点P到平面α的距离为 ( ) (A)7 (B)9 (C)11 (D)13A基础题例题返回null5.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内，斜边 AB∥α，AB=2√6，AC、BC分别和平面α成45°和 30°角，则AB到平面α的距离为______.2基础题例题6.在二面角α- l –β的半平面α内有一点 A 到棱 l 的距 离为 2 ,到半面β所在平面的距离等于 1 ,则这个二面角 的度数为__________________30o 或 150o返回null2.已知四面体ABCD，AB＝AC＝AD＝6，BC＝3，CD＝4，BD＝5，求点A到平面BCD的距离。练习：ABD返回null7.平面α内的∠MON=60°，PO是平面α的斜线段，PO=3，且PO与∠MON的两边都成45°的角，则点P到α的距离为 （ ） A. B. C. D.A基础题例题8.直线 EF 平行于平面α内的两条直线AB和CD，EF 与α的距离为15，与AB的距离为17，又AB与CD的距 离是28，则EF与CD的距离是 ．25或39返回null9. 已知平面α∥β, AB⊥α, AB⊥β, A α, B β ，直线 a α，b β, a∥b，A到 a 的距离为2，B 到 b 的距离为5，AB=4，则a，b间的距离为 ． 基础题例题ababαβαβABAB返回null能力·思维·方法ACDBA1B1D1C1O 解析： 连AC、BD交于O， AO⊥BD， 又AO⊥DD1， ∴AO⊥平面BD1， AO的长即为所求返回null能力·思维·方法ACDBA1B1D1C1O’E易知平面 A1ACC1⊥平面AB1D1 在矩形AA1CC1中， 易知A1 C⊥O1A 设A1E⊥AO1于E， ∴A1E⊥平面AB1 D1 ∴A1E为所求。返回null能力·思维·方法ACDBA1B1D1C1EF..易知A1C⊥平面AB1D1 A1C⊥平面BC1D 设直线A1C分别交平 面AB1D1、平面BC1D于 点E、F，则EF的长为 所求 返回null能力·思维·方法ACDBA1B1D1C1G.因为直线AB∥平面CDA1B1 ∴点B到平面CDA1B1 的距 离BG就是所求的距离， (G是BC1与B1C的交点， BG⊥B1C, BG⊥CD， ∴直线BG⊥平面A1B1CD） 此距离为: 返回null【解题回顾】(1)求距离的一般步骤是：一作，二证，三计算.即先作出表示距离的线段，再证明它就是要求的距离，然后再计算，其中第二步的证明易被忽视，应引起重视. (2)求距离问题体现了化归与转化的思想，一般情况下需要转化为解三角形.能力·思维·方法返回null12. 已知如图，边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求E到平面PBC的距离.能力·思维·方法解:∵E是PA的中点，∴E到平面PBC的距离等于A 到 平面PBC的距离的一半.由PC⊥平面ABCD,得到平面PBC⊥平面ABCD在平面ABCD内作AH⊥BC， 交BC于H,则AH= H所求距离为 返回null12. 已知如图，边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求E到平面PBC的距离.能力·思维·方法GO返回null 距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是 论证线面关系(平面与垂直)与解三角形的过程，值得注 意的是，“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少 的步骤，尤其是证明那一步.误解分析返回null能力·思维·方法解析：设P到α、β的射影分别是M、N，则 PM=3cm,PN=4cm,过P、M、N作平面γ交l于Q则 l⊥γ∴l⊥QM，l⊥QN ∴∠MQN为二面角α－l－β的平面角。 ∴∠MQN=120° ∴∠M+∠N=180° ∴P、M、Q、N四点共圆， ∴∠MPN=180°－120°=60°MN=返回null棱柱问题棱锥问题null复习：知识网络底面对角线高侧面侧棱顶点棱柱(概念)有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。体积V＝Sh返回null复习：知识网络棱柱(分类)斜棱柱 直棱柱正棱柱返回null复习：知识网络四棱柱四棱柱直四棱柱 侧棱垂直底面平行六面体 底面是平行四边形长方体正四棱柱正方体侧面垂直底面返回null要点·疑点·考点一、棱柱(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫棱柱 1.概念(2)侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 返回null(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；2.性质(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形；要点·疑点·考点3.长方体及其相关概念、性质(1)概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体. 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体. 底面是矩形的直平行六面体叫长方体. 棱长都相等的长方体叫正方体.(2)性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 对角线长为l ，则l2=a2+b2+c2返回null复习：知识网络棱锥棱锥正四棱锥正三棱锥正四面体体积V＝Sh/3顶点在底面