拉格朗日插值_逐次线性插值法

nullnull第二章 函数的插值学习目标：掌握多项式插值的Lagrange插值公式、牛顿插值公式等，等距节点插值、差分、差商、重节点差商与埃米特插值。重点是多项式插值 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。 2.1 多项式插值 2.1.5 Hermite插值多项式2.1.4 均差和Newton插值多项式2.1.3 逐次线性插值2.1.2 Lagrange插值多项式2.1.1 问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的提出2.1 多项式插值null 给定空间一组有序的控制点（control point），得到 一条光滑的分段 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 多项式曲线的方法: 曲线顺序经过所有的控制点，则称为对这些控制点 进行插值，得到的曲线称为插值曲线。 构造一条在某种意义下最靠近控制点的曲线，这称为对 这些控制点进行逼近，得到的曲线称为逼近(拟合)曲线。 (a) 5个控制点的插值曲线 (b) 5个控制点的逼近曲线null 本章先讨论插值问题，然后再讨论数据拟合的有关问题。 拟合法就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表达式 经过所有的点 ，而只要求在给定的 上误差 （i=0，1, … , n）按某种 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 最小。若记 δ=( δ1, δ2 ,…,δn )T ，就是要求向量δ的范数||δ|| 最小。 null问题１：基于未知函数或复杂函数的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式?情形１．函数f(x)在x０点的Taylor展开式－－称为函数f(x)的Taylor插值null解: 设例如：利用Taylor插值求利用Tylor插值，有nully=f(x)x0p(x)Tylor插值的缺陷：① Tylor插值中有导数运算，而计算机实现求导运算存在困难；②近似区间小,在大的区间上不可行．null情形２在区间［a,b］上考虑函数f(x)的近似．y=f(x)a　 　　　　　　　　 b 求解：y = f (x) 在[ a , b ]上的近似曲线？null　　利用函数f(x)在区间[a, b]上一系列点的值 yi= f(xi)（可通过观察、测量、试验等方法得到）y=f(x)插 值 法解决思路null 根据 f (x)在n+1个已知点的值，求一个足够光滑又比较简单的函数p(x)，作为 f (x)的近似表达式，f(x)p(x)曲线 P ( x) 近似 f ( x) null从代数上看，看p(x)满足以下代数条件p(xi) = yi i = 0, 1, 2, ⋯, n这就是所谓的插值．然后计算 p(x)在[a,b] 上其它点x 处的函数值作为原来函数 f (x)在此点函数值的近似值。代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数null (2.1)式称为插值条件，x2< ⋯ < xn ≤ b 点上的值 y0, y1, ⋯ , yn . 若存在一简单 函数 p(x), 使得 p(xi) = yi i = 0, 1, 2, ⋯, n (2.1) 定义2.1f ( x ) 称为被插函数，[a , b] 称为插值区间， 称为插值节点 ， 求 p ( x ) 的方法就是插值法。设函数 f (x) 在[a , b]上有定义，且已知在 a ≤ x0 < x1<成立,则称 p( x ) 为 f (x) 的插值函数。近似计算 f (x) 的值、零点、极值点、导数、积分，插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插. null最常用的插值函数是 …? 代数多项式用代数多项式作插值函数的插值称为多项式插值本章主要讨论的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 插值问题插值法插值函数分段函数…三角多项式nullf(x)p(x)曲线 P ( x) 近似 f ( x) 研究问题：（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？（2）若满足插值条件的P ( x) 存在，如何构造P ( x)？（3）如何估计用P ( x)近似替代 f ( x) 产生的误差？null问题2－插值多项式的构造② 可设　p ( x ) = a0 + a1 x + ⋯ + an x n① 确定多项式 p ( x )的次数方法１：待定系数法要求插值多项式 p(x)，可以通过求n+1个方程的解:得到。但这样做不但计算复杂，而且难于得到pn(x)的简单表达式。结论：n+1个插值节点产生的插值多项式至多是n次的．null问题１－插值多项式的存在唯一性 设 pn( x )是 f (x) 的插值多项式，Hn表示次数不超过n 的所有多项且 pn( x ) ∈Hn .称插值多项式存在且唯一，就是指在(2.2) 方程组(2.2)有唯一解插值多项式的唯一性≠0 (xi≠xj)定理2.1 满足条件 (2.1)的插值多项式存在且唯一。范德蒙行列式a0, a1, a2, ⋯ , an 存在唯一p(xi) = yi i = 0, 1, 2, ⋯, nHn 中有且仅有一个 pn( x ) 满足插值条件(2.1)式。式的集合。n+1个节点互异null　　为求得便于使用的简单插值多项式 p(x)，我们先讨论n=1的情形。 　　当n=1时，要构造通过两点 (x0 , y0 )和(x1, y1 )的不超过1次的多项式p1(x)(后面记作L1(x) )，使得2.1.2拉格朗日插值null－－－称为线性（一次）插值（两点式）（点斜式）null或L1(x)是两个线性函数的线性组合称为节点x0,x1上线性插值基函数------ 线性Lagrange插值多项式形式null 节点上的线性 插值基函数：满足 y 1 0 x0 x1 x(2.3)(2.4)nulllk , lk+1称为节点上线性插值基函数.满足(2.7)null　　(2.6)式　　　　　　　　　　也称为拉格朗日型插值多项式，其中基函数lk , lk+1与yk , yk+1无关，而由插值节点xk , xk+1决定． 　　 　　因此，一次拉格朗日插值多项式是插值基函数lk , lk+1的线性组合，相应的组合系数是该点的函数值 yk , yk+1．null例2.1 已知 , ,解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线性插值 利用线性插值求nullnull 先求 插值基函数 l 0(x), l1 (x), l 2(x) ,　它们满足 (1) 都是二次函数； (2) 在节点满足(2.8)null 先求 l0(x):由l0(x)满足的两个条件类似地,可得知l0(x)中含有两个因子(x-x1 )( x-x2)，且是二次的再由l0(x)满足的条件即得所以有 L2(x) = y0 l0(x) + y1 l1 (x) + y2 l2(x)nullL2( x j ) = y j , j = k-1, k, k+1 . L2(x) = yk -1 lk –1(x) + yk lk (x) + yk +1 lk +1(x)值件 插条再构造插值多项式L2(x)是三个二次插值多项式的线性组合，且也满足插值条件．(2.9)----- 过三点(xk-1, yk-1), (xk , yk) 与(xk+1, yk+1)的抛物线Y= L2(x)的几何意义null例2.1* 已知 , ,解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, x2=144，y2=12，利用抛物线插值公式 利用抛物线插值求null这种用插值基函数表示的方法容易推广到更一般的情形。n次Lagrange 插值多项式求通过n +1个节点的n 次插值多项式Ln(x)：先求插值基函数 然后构造插值多项式设Ln(x)= 满足插值条件：L n ( xj ) = y j , j = 0, 1, ⋯, n定义2.2 若n 次多项式 lk ( x ) (k = 0,1,⋯,n ) 在各节点j , k = 0, 1 ,⋯, n上满足条件 则称这n +1个n 次多项式为这n +1个节点上的n 次插值基函数。null先求 插值基函数， k = 0, 1 ,⋯, n .k = 0, 1 ,⋯, n .L2(x) = y0 l0(x) + y1 l1(x) + y2 l2(x)（类似于前面讨论n =1, 2 时的情形）(2.10)定理2.2（Lagrange）插值多项式再构造插值多项式（Ln(x)是n+1个插值基函数的线性组合）定理2.2（Lagrange）插值多项式通常次数=n , 但特殊情形次数可