普通高中课程标准实验教科
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——数学 [人教版]（选修1-1、1-2）
新课标高二数学文同步测试（2）
（1-1第二章圆锥曲线方程与几何性质）
说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，共150分；答题时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是
（ ）
2．已知椭圆
和双曲线
＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方
程是
（ ）
A．x＝±
B．y＝±
C．x＝±
D．y＝±
3．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的
长分别是p、q，则
等于
（ ）
A．2a
B．
C．4a
D．
4．若椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点
分成5:3两段，则此椭圆的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．椭圆
=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么
点M的纵坐标是
（ ）
A．±
B．±
C．±
D．±
6．设F1和F2为双曲线
的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则
△F1PF2的面积是
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
7．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且
PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知方程
+
=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是
（ ）
A．m<2
B．1
0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、
m为边长的三角形是
（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角或钝角三角形
10．椭圆
上有n个不同的点: P1, P2, …, Pn, 椭圆的右焦点为F. 数列｛|PnF|｝是公差大于
的等差数列, 则n的最大值是
（ ）
A．198
B．199
C．200
D．201
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。
11．已知点（－2，3）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离是5，则p=___ __。
12．设圆过双曲线
=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 。
13．双曲线
＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为 。
14．若A点坐标为（1，1），F1是5x2＋9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|＋|P F1|的最小值是_______ ___。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)。
15．（12分）已知F1、F2为双曲线
（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程。
16．（12分）已知椭圆
的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点
，向量
与
是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2 的取值范围；
17．（12分）如图椭圆
(a>b>0)的上顶点 为A，左顶点为B, F为右焦点, 过F作平行与AB的直线交椭圆于C、D两点. 作平行四边形OCED, E恰在椭圆上。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若平行四边形OCED的面积为
, 求椭圆方程。
18．（12分）双曲线
(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥
c.求双曲线的离心率e的取值范围
19．（14分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=
，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程
20．（14分）已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=
，椭圆C2的方程为
+
=1（a>b>0），C2的离心率为
，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。
参考答案
一、1．D；解析一：将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为标准方程：
.因为a＞b＞0，因此，
＞0，所以有：椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，得D选项.
解析二：将方程ax+by2=0中的y换成－y，其结果不变，即说明：ax+by2=0的图形关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴.故选D.
评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.
2．D；解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点（
，0），双曲线焦点（
，0），∴3m2－5n2=2m2+3n2∴m2=8n2又∵双曲线渐近线为y=±
·x∴代入m2=8n2，|m|=2
|n|，得y=±
x。
3．C；解析：抛物线y=ax2的标准式为x2＝
y，∴焦点F（0，
）.
取特殊情况，即直线PQ平行x轴，则p=q.
如图，∵PF＝PM，∴p＝
，故
．
4．D；
5．A；解析：由条件可得F1（－3，0），PF1的中点在y轴上，∴P坐标（3，y0），又P在
=1的椭圆上得y0=±
，∴M的坐标（0，±
），故选A.
评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力.
6．A；解法一：由双曲线方程知|F1F2|＝2
，且双曲线是对称图形，假设P（x，
），由已知F1P⊥F2 P，有
，即
，因此选A.
评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力.
7．D；8．D；9．B；10．C；
二、
11．4；解析：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标是（
，0），由两点间距离公式，得
=5。解得p=4.
12．
；解析：如图8—15所示，设圆心P（x0，y0），则|x0|＝
＝4，
代入
＝1，得y02＝
，∴|OP|＝
．
评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想.
13．
；解析：设|PF1|＝M，|PF2|＝n（m＞n），a＝3、b＝4、c＝5，∴m－n＝6
m2＋n2＝4c2，m2＋n2－（m－n）2＝m2＋n2－（m2＋n2－2mn）＝2mn＝4×25－36＝64，mn＝32. 又利用等面积法可得：2c·y＝mn，∴y＝
。
14．
；
三、
15．解：（1）设F2（c，0）（c＞0），P（c，y0），则
=1。解得y0=±
，
∴|PF2|=
，在直角三角形PF2F1中，∠PF1F2=30°
解法一：|F1F2|=
|PF2|，即2c=
，将c2=a2+b2代入，解得b2=2a2
解法二：|PF1|=2|PF2|，由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|=2a，得|PF2|=2a.
∵|PF2|=
，∴2a=
，即b2=2a2，∴
故所求双曲线的渐近线方程为y=±
x。
16．解：（1）∵
，∴
。
∵
是共线向量，∴
，∴b=c,故
。
（2）设
当且仅当
时，cosθ=0，∴θ
。
说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。
17．解：(Ⅰ) ∵焦点为F(c, 0), AB斜率为
, 故CD方程为y=
(x－c). 于椭圆联立后消去y得2x2－2cx－b2=0. ∵CD的中点为G(
), 点E(c, －
)在椭圆上, ∴将E(c, －
)代入椭圆方程并整理得2c2=a2, ∴e =
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知CD的方程为y=
(x－c), b=c, a=
c.
与椭圆联立消去y得2x2－2cx－c2=0.
∵平行四边形OCED的面积为
S=c|yC－yD|=
c
=
c
,
∴c=
, a=2, b=
. 故椭圆方程为
18．解：直线l的方程为bx+ay－ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离d1 =
。
同理得到点(－1,0)到直线l的距离d2 =
.s= d1 +d2=
=
.
由s≥
c,得
≥
c,即5a
≥2c2.
于是得5
≥2e2.即4e2－25e+25≤0.解不等式,得
≤e2≤5.
由于e>1>0,所以e的取值范围是
.
19．解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点.
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点.
设曲线段C的方程为，y2=2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0）
其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p＝|MN|．所以M（
，0），N（
，0）
由|AM|＝
，|AN|＝3得：
（xA＋
）2＋2pxA＝17
①
（xA
）2＋2pxA＝9
②
由①②两式联立解得xA＝
，再将其代入①式并由p>0，解得
或
因为△AMN是锐角三角形，所以
＞xA，故舍去
所以p＝4，xA＝1．由点B在曲线段C上，得xB＝|BN|
＝4．
综上得曲线段C的方程为y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．
解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点.作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F.设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）
依题意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，yA＝|DM|＝
由于△AMN为锐角三角形，故有
xN＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋
＝4，xB＝|BF|＝|BN|＝6．
设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合
｛（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0｝
故曲线段C的方程为y2＝8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．
评述：本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想，考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力.
20．由e=
，得
=
，a2=2c2,b2=c2。
设椭圆方程为
+
=1。又设A(x1,y1),B(x2,y2)。由圆心为(2,1)，得x1+x2=4,y1+y2=2。
又
+
=1，
+
=1，两式相减，得
+
=0。
∴
∴直线AB的方程为y－1= －(x－2)，即y= －x+3。
将y= －x+3代入
+
=1，得3x2－12x+18－2b2=0
又直线AB与椭圆C2相交，∴Δ=24b2－72>0。
由|AB|=
|x1－x2|=
EMBED Equation.3 =
,得
·
=
。
解得 b2=8，故所求椭圆方程为
+
=1。
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
图
x
y
D
E
O
B
A
F
C
图
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
图
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
图
PAGE
1
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