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矢量场散度和旋度的物理意义

矢量场散度和旋度的物理意义 ● i99§年第l期南安矿业牵院牵植 JOURNAL OF XII A N M INING INSTITUTE 矢量场散度和旋度的物理意义蛐／舒秦 z (基础部 ) 摘要拳文首先从流速场 ( ，， )出发，详细地说明了任一矢量场=i( ，， ) 散度和旋度的物理意义。以电学和力学中的简单例子，说明了散度和旋度的计算方法。．／／．．，关薯饲，塑矽}簿锄在一定的条件下，利用磁力仪能够发现埋簸在地下几百来深的磁性盲矿体。这是因...

● i99§年第l期南安矿业牵院牵植 JOURNAL OF XII A N M INING INSTITUTE 矢量场散度和旋度的物理意义蛐／舒秦 z (基础部 ) 摘要拳文首先从流速场 ( ，， )出发，详细地说明了任一矢量场=i( ，， ) 散度和旋度的物理意义。以电学和力学中的简单例子，说明了散度和旋度的计算方法。．／／．．，关薯饲，塑矽}簿锄在一定的条件下，利用磁力仪能够发现埋簸在地下几百来深的磁性盲矿体。这是因为在矿体周围存在着磁场．物探工作者经常要测定、分析各种场 (如电场、磁场等 )的分布，变化规律，从而找到场源(如带电体，磁性体等 )。矢量场的散度和旋度是研究各种场时必须的数学工具。本文着重说明它们的物理意义。 l 矢量场的散度矢量函数 A=A ( ，， ) 所确定的场称为矢量场。如电场 ( ，， )和流速场 0，， )都是矢量场。 1．1 通量以不可压缩流体的稳定流速场 V(x，， )为例，来说明任一矢量场通量的物理意义 ⋯ 。如图1所示。s为流速场 ( ，， )中的任意曲面，在面积元 dS内的流速场可以看成均匀流速场。因此，在1秒钟内通过ds的流体的流量，即体积流量 d0=V4．％os~=V ·d S 通过曲面s曲体积流量 r 一 — r 口 J s V。dS J s V4．％os~ 可见，通过任意曲面要的体积流量在数值上等于通过曲面s的流线酌数量。本文1991年月23日收到维普资讯 http://www.cqvip.com 2 西安矿业学院学报 1993年由特殊到一般，任一矢量场 ( ，，=)通过任意曲面 S 的场线的数量，称为该矢量场通过曲面 S的通量，用机表示，即． = j s A·d S J s AdScos 如图2所示。若s为封闭曲面，珂fJ矢量场 A通过封闭曲面的通量； ·a =f； ·a +』： ·a苫因为在。面上，日总是大于9O。，在面上，日总是小于9O。，所以通过Sl的通量为负，通过5：的通量为正。 1．2 通■是矢量场在空间AV内聚散性灼■度由上可知，流速场 ( ，，=)通过封闭曲面s的体积流量，有下列三种情况；图2 通过封闭曲面S曲通置 r 1) s V ‘d s> o 从s内有流量发数出来，如图3(a)所示。既然有流量流出，说明s内一定有涌出流体的发散源，如泉源。 (a) >0 (b) 西 o ● 维普资讯 http://www.cqvip.com ● 集l期黄圆良等戋量_l蠹散度和旋度的物理意叉则矢量场在空间 AV(A 是s包围的空间 )内是发教的I如果 s A · dS<0 贝Ⅱ矢量场在空间 A 内是汇聚的}如果 s ‘ S 0 则矢量场在空间 AV内既不发散，也不聚。因此通量是矢量场在空间AV内聚教性的量度。 1．3 做度量矢量场在空间某点聚做性的量度设P臼，， )为矢量场 ( ，，：)中任一点。作封闭曲面s包围P点，S包围的空间为AV。当 AV．--,-O，且空间收缩为P点时，极限 1 ，。 g)s ‘ds 称为矢量场在P点的散度，用diva,~．示，即 divA ：。 9) ．ds t ，可见，散瘦是通量对体积的变化率，且平均变化率在数值上等予单位体积中发出的场线数量。在直角坐标系中，矢量场 ( ，， )在P ，， )点的散度 m c = +等+ = ( 杀+ 击告)‘( x + 了+ ) = · ．例l 半径为置，带电量为g(q>o)的均匀带电球体的球心位于原点，谩球体的介电常数为8，求球内各点电场强度构教度．解；由电学知，球内任一点P臼，，：)．韵电场强度 = 寺 (r ) 式中 r是P点的位置矢量 r：石 i+ + z 七球内各点电场强度卫的散度维普资讯 http://www.cqvip.com 苒安矿业学院荦 j互 1993-~ · = · (去专 ) = · = 去 (蔷+ +害) ． = 景 ·s>o ． · 0，说明电旆在球内各点是发散的，且在球内各点均有发散源(正电荷)。 2 平面矢量场的旋度旋度最早是通过研究水流∞涡旋建立起来的概念。河水流动时，由于水有内摩擦力，因而靠两岸速度较小，河中间速度较大。故漂在水面上的救生圈一边顺流而下，一边还会旋转，这说明水中有涡旋，如图4所示。 2．1 ．环澹墨区域AS内有无嗣麓的量度在平面流速场 V(x， )中，作有向封闭曲线， V·d了=J 。d7+J 争 ’ z=J 。 +j = ± ． i dl+0一 l =V2·ab—V L·c —一 V — n — V L 图4 河水中的涡旋则流速场沿的环流 (图4) ． d +f ．d了+f ．d c J c d J d‘ J dl+O ± 0 在均匀流速场 ( ， )中，由于：：，所以沿二的环流 L V ‘ d z =0 环流不等于零，说明在区域 AS(△s为L所包围的区域 )内有涡旋J．流等于零，说明 ’ 在区域 AS内无涡旋。由特殊到一般，对于任一平面矢量场， )，如果 L ‘ d z≠ 0 说明在区域 △s内有涡旋J如果 L A ’ d f'0 目维普资讯 http://www.cqvip.com 第l期黄国良等矢量场散度和旋度的物理意叉 7B 说明在区域 △s内无涡旋。因此环流是平面矢量场在区域内有无涡旋的量度。 2．2 旋度是矢量场在某点滑旋强度的量度环流的大小与封闭曲线所包围的面积 △S有关，所以不能用坏流的大小采量度涡旋的强弱。而用环流与面积 △S之比，即平均涡旋强度击 ·d7 ● 来量度 △s区域内的涡旋强度。当△S-,-O，且收缩到P点时，用极限一 lira 。古 ·d—l 来量度P点处的涡旋强度。此极限称为平面流速场在P点的旋度，用 × 丧示，即、 × ：li (6 ．、。云 9) ．d 可见，旋度强环流对面积的变化率。由特殊到一般，任一平面矢量场在P点的旋霞 -4 , = 一 lira 。打在直角坐标系中，平面矢量场 (如 )在P( ， )点的旋度 x c =(警一等) 倒2 某河水的速度场 ( ， )= (0．1 —0．001 。)im ·8—1 速度分布见图 5，试研究此速度场的涡旋特征。解：的旋度 V x ；(警一茜) =(0．0021／一0．I) 分别以 =0，10，⋯，100柚代入上式，可求出场内各点的旋度值。目5 速度分布和涡旋持征维普资讯 http://www.cqvip.com f6 西安矿业学院学报 1993-~ 3 空间矢量场的旋度水池中的水漏掉耐，会形成涡旋，如图6所示。以P点为圆心，作两个圆周工-和工z，两圆周的面积相等，均为△s，它们的法线" ，“z的方向与工j，工的绕向符合右手螺旋法则。显然 r 4 r 4 9) Iy’d f> L 2 d 除以 AS，得去 ·d 古。 ·d 素9) ‘z>古g) 。y z 图6，畋池中的谒旋可见。同一点P绕 n 方向的平均涡旋强度大于绕：^方向韵平均涡旋强度。为了量度场中任意一点的涡旋强度，必须把△s取得很小，同时为了能比较不同点的浦旋强度，应随工的空间取向能得到最大的环流。在图 6中，流速场治工莳环流最大。现在，可以得到任一空间矢量场旋度的定义：矢量场在P点的旋度 ×A是一个矢量，其大小为当面积 AS趋于零时单位面积上的最大环流，其方向为当面积△S韵取向使得环流为最大时该面积△S的法线方向 (法线方向的单位矢最 ∞方向与工的绕向符合右手螺旋法则 )，即州： L 9) A·d j⋯ 在直角坐标系中，矢量场 A(x，， )在P(x，，z)点的旋度 xA ( ，，z)： ⋯ ax a a a l 0 I ， J = ( 一 ) +(訾一 ) +(訾一昔) ● 维普资讯 http://www.cqvip.com ● 第t期黄国良等矢量场散度和旋度的物理意艾 77 倒a绕定轴z转动的刚体的角速度痴 (图7)。求刚体上任一点P的线速度的旋 - 、解：点 P的位置用位置矢量 r来确定 ⋯ r= i + = t 一角速度 ∞=∞ 由力学知，点P的线速度的旋度 x r=l 0 j 七。。{：一m + = l f 了誊 =2∞k=2 图7 绕定轴Z转动的刚体可见，速度场韵旋度 × 与刚体的旋转角速度之间有营密切的联系。参考文献 1 张秋光．场论．北京地质出版社，1983。19~96 2 同济大学．高等数学．北京t人民教育出版社，1979；167 PHYSICAL MEANING 0F DIVERGENCE AND CURL IN VECT0R FIELD Huang Ouoltang W ang Ru ing Shu qin — ABSTRACT Starting from field of fluid velocity ( ，，=)，the meaning of — divergence and curl of any vector field A( ，，=)as it related to physics is explained in detail ． Then some simple examples in electricity and mechanics are given to show the method for calculating the both of them ． KEY W ORDS vector field，divergence，curl 维普资讯 http://www.cqvip.com

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