图形的变换

图形的变换 1. （2009年贵州省黔东南州）如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25。 （1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等。 （2）求h的值。 2. （2009年嘉兴市）如图，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设． （1）求x的取值范围； （2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？ SHAPE \* MERGEFORMAT 3. （2009年漳州）几何模型： 条件：如下左图， 、 是直线 同旁的两个定点． 问题：在直线 上确定一点 ，使 的值最小． 方法：作点 关于直线 的对称点 ，连结 交 于点 ，则 的值最小（不必证明）． 模型应用： （1）如图1，正方形 的边长为2， 为 的中点， 是 上一动点．连结 ，由正方形对称性可知， 与 关于直线 对称．连结 交 于 ，则 的最小值是___________； （2）如图2， 的半径为2，点 在 上， ， ， 是 上一动点，求 的最小值； （3）如图3， ， 是 内一点， ， 分别是 上的动点，求 周长的最小值． 4. (2009年营口市)如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC＝PA，PD＝PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H． (1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由； (2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由； (3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90º，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由． SHAPE \* MERGEFORMAT 5. （2009山西省太原市） 问题解决 如图（1），将正方形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 ， 重合），压平后 SHAPE \* MERGEFORMAT 得到折痕 ．当 时，求 的值． 类比归纳 在图（1）中，若 则 的值等于 ；若 则 的值等于 ；若 （ 为整数），则 的值等于 ．（用含 的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 重合），压平后得到折痕 设 则 的值等于 ．（用含 的式子表示） 6. (2009年陕西省) 问题探究 （1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由． （3）问题解决 如图③，现有一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P’，并求出△APB的面积（结果保留根号）． 7.（2009年山西省）在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点． （1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论； SHAPE \* MERGEFORMAT （2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求的长． 1.解：连结EF ∵l1∥l2∥l3∥l4，且四边形ABCD是正方形∴BE∥FD，BF∥ED ∴四边形EBFD为平行四边形∴BE=FD 又∵l1、l2、l3和l4之间的距离为h ∴S△ABE= BE·h，S△FBE= BE·h，S△EDF= FD·h，S△CDF= FD·h ∴S△ABE= S△FBE= S△EDF= S△CDF ……………（4分） （2）过A点作AH⊥BE于H点。 方法一：∵S△ABE= S△FBE= S△EDF= S△CDF又∵ 正方形ABCD的面积是25 ∴ ，且AB=AD=5又∵l1∥l2∥l3∥l4 ∴E、F分别是AD与BC的中点∴AE= AD= ∴在Rt△ABE中，BE= 又∵AB·AE=BE·AH ∴ 方法二：不妨设BE=FD=x (x>0)则S△ABE= S△FBE= S△EDF= S△CDF= 又∵正方形ABCD的面积是25，∴S△ABE= ，且AB=5则 ① 又∵在Rt△ABE中：AE= 又∵∠BAE=90o，AH⊥BE ∴Rt△ABE∽Rt△HAE∴ ，即 变形得： ② 把①两边平方后代入②得： ③ 解方程③得 （ 舍去）把 代入①得： 2. （1）在△ABC中，∵ ， ， ． ∴ ，解得 ．　 （2）①若AC为斜边，则 ，即 ，无解． ②若AB为斜边，则 ，解得 ，满足 ． ③若BC为斜边，则 ，解得 ，满足 ． ∴ 或 ．　 （3）在△ABC中，作 于D， 设 ，△ABC的面积为S，则 ． ①若点D在线段AB上， 则 ． ∴ ，即 ． ∴ ，即 ． ∴ EMBED Equation.3 （ ）．　 当 时（满足 ）， 取最大值 ，从而S取最大值 ． ②若点D在线段MA上， 则 ． 同理可得， （ ）， 易知此时 ． 综合①②得，△ABC的最大面积为 ． 3.（1） ，（2） ，（3） 4. （1）四边形 是菱形． 2分 （2）成立． 3分 理由：连接 ． 4分 ， ． 即 ． 又 ， ， （SAS） ． 6分 分别是 的中点， 分别是 ， ， ， 的中位线． ， ， ， ． ． 四边形 是菱形． 7分 （3）补全图形，如答图． 8分 判断四边形 是正方形． 9分 理由：连接 ． （2）中已证 ． ． ， ． 又 ． ． ． 11分 （2）中已证 分别是 的中位线， ， ． ． 又 （2）中已证四边形 是菱形， 菱形 是正方形． 5. 问题解决 解：方法一：如图（1-1），连接 ． 由题设，得四边形 和四边形 关于直线 对称． ∴ 垂直平分 ．∴ ∵四边形 是正方形，∴ ∵ 设 则 EMBED Equation.DSMT4 在 中， ．∴ 解得 ，即 在 和在 中， ， ， EMBED Equation.DSMT4 设 则 ∴ 解得 即 ∴ 方法二：同方法一， 如图（1－2），过点 做 交 于点 ，连接 ∵ ∴四边形 是平行四边形． ∴ 同理，四边形 也是平行四边形．∴ 　　　∵ 　　　 　　　在 与 中 　　　 ∴ ∵ ∴ 类比归纳 （或 ）； ； 联系拓广 6. 解：（1）如图①， 连接AC、BD交于点P，则∠APB＝90°， ∴点P为所求， （2）如图②，画法如下： 1）以AB为边在正方形内作等边△ABP； 2）作△ABP的外接圆⊙O，分别与AD、BC交于点E、F． ∵在⊙O中，弦AB所对的弧APB上的圆周角均为60°， ∴弧EF上的所有点均为所求的点P， （3）如图③，画法如下： 1）连接AC； 2）以AB为边作等边△ABE； 3）作等边△ABE的外接圆⊙O，交AC于点P； 4）在AC上截取AP’＝CP． 则点P、P’为所求． （评卷时，作图准确，无画法的不扣分） 过点B作BG⊥AC，交AC于点G．∵在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝ ．∴BG＝ ． 在Rt△ABG中，AB＝4，∴AG＝ ． 在Rt△BPG中，∠BPA＝60°，∴PG＝ ， ∴AP＝AG+PG＝ ．∴S△APB＝ 7. 解：（1） 证明：（证法一） 由旋转可知，∴ ∴又∴即 （证法二） 由旋转可知，而∴ ∴∴即 （2）四边形是菱形. 证明：同理 ∴四边形是平行四边形. 又∴四边形是菱形. （3）（解法一）过点作于点，则 在中， ……（10分） 由（2）知四边形是菱形， ∴∴ （解法二）∴ 在中， ∴ C A B N M D M N B A C C B A D M N A A A B B B P P P D C C D F F E E G G H H 图1 图2 图3 3 2 1 C H D G E A P F B 第25题（3）答图 M F E D C B A N 图（2） 方法指导： 为了求得� EMBED Equation.DSMT4 ���的值，可先求� EMBED Equation.DSMT4 ���、� EMBED Equation.DSMT4 ���的长，不妨设：� EMBED Equation.DSMT4 ���=2 N M F E D C B A 图（1） N 图（1-1） A B C D E F M N 图（1-2） A B C D E F M G A D B E C F � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� A D B E C F � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� A D B E C F � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� G _1312027069.unknown _1312027106.unknown _1312027182.unknown _1312027198.unknown _1312027206.unknown _1312027210.unknown _1312027810.unknown _1312027812.unknown _1312027813.unknown _1312027814.unknown _1312027811.unknown _1312027809.unknown _1312027208.unknown _1312027209.unknown _1312027207.unknown _1312027202.unknown _1312027204.unknown _1312027205.unknown _1312027203.unknown _1312027200.unknown _1312027201.unknown _1312027199.unknown _1312027190.unknown _1312027194.unknown _1312027196.unknown _1312027197.unknown _1312027195.unknown _1312027192.unknown _1312027193.unknown _1312027191.unknown _1312027186.unknown _1312027188.unknown _1312027189.unknown _1312027187.unknown _1312027184.unknown _1312027185.unknown _1312027183.unknown _1312027122.unknown _1312027174.unknown _1312027178.unknown _1312027180.unknown _1312027181.unknown _1312027179.unknown _1312027176.unknown _1312027177.unknown _1312027175.unknown _1312027170.unknown _1312027172.unknown _1312027173.unknown _1312027171.unknown _1312027168.unknown _1312027169.unknown _1312027124.unknown _1312027126.unknown _1312027167.unknown _1312027125.unknown _1312027123.unknown _1312027114.unknown _1312027118.unknown _1312027120.unknown _1312027121.unknown _1312027119.unknown _1312027116.unknown _1312027117.unknown _1312027115.unknown _1312027110.unknown _1312027112.unknown _1312027113.unknown _1312027111.unknown _1312027108.unknown _1312027109.unknown _1312027107.unknown _1312027090.unknown _1312027098.unknown _1312027102.unknown _1312027104.unknown _1312027105.unknown _1312027103.unknown _1312027100.unknown _1312027101.unknown _1312027099.unknown _1312027094.unknown _1312027096.unknown _1312027097.unknown _1312027095.unknown _1312027092.unknown _1312027093.unknown _1312027091.unknown _1312027077.unknown _1312027081.unknown _1312027083.unknown _1312027084.unknown _1312027082.unknown _1312027079.unknown _1312027080.unknown _1312027078.unknown _1312027073.unknown _1312027075.unknown _1312027076.unknown _1312027074.unknown _1312027071.unknown _1312027072.unknown _1312027070.unknown _1312026582.unknown _1312026842.unknown _1312026858.unknown _1312026874.unknown _1312026882.unknown _1312026890.unknown _1312027065.unknown _1312027067.unknown _1312027068.unknown _1312027066.unknown _1312027006.unknown _1312027008.unknown _1312027010.unknown _1312027064.unknown _1312027009.unknown _1312027007.unknown _1312027005.unknown _1312026886.unknown _1312026888.unknown _1312026889.unknown _1312026887.unknown _1312026884.unknown _1312026885.unknown _1312026883.unknown _1312026878.unknown _1312026880.unknown _1312026881.unknown _1312026879.unknown _1312026876.unknown _1312026877.unknown _1312026875.unknown _1312026866.unknown _1312026870.unknown _1312026872.unknown _1312026873.unknown _1312026871.unknown _1312026868.unknown _1312026869.unknown _1312026867.unknown _1312026862.unknown _1312026864.unknown _1312026865.unknown _1312026863.unknown _1312026860.unknown _1312026861.unknown _1312026859.unknown _1312026850.unknown _1312026854.unknown _1312026856.unknown _1312026857.unknown _1312026855.unknown _1312026852.unknown _1312026853.unknown _1312026851.unknown _1312026846.unknown _1312026848.unknown _1312026849.unknown _1312026847.unknown _1312026844.unknown _1312026845.unknown _1312026843.unknown _1312026826.unknown _1312026834.unknown _1312026838.unknown _1312026840.unknown _1312026841.unknown _1312026839.unknown _1312026836.unknown _1312026837.unknown _1312026835.unknown _1312026830.unknown _1312026832.unknown _1312026833.unknown _1312026831.unknown _1312026828.unknown _1312026829.unknown _1312026827.unknown _1312026814.unknown _1312026822.unknown _1312026824.unknown _1312026825.unknown _1312026823.unknown _1312026820.unknown _1312026821.unknown _1312026816.unknown _1312026818.unknown _1312026819.unknown _1312026817.unknown _1312026815.unknown _1312026590.unknown _1312026810.unknown _1312026812.unknown _1312026813.unknown _1312026811.unknown _1312026808.unknown _1312026809.unknown _1312026592.unknown _1312026594.unknown _1312026807.unknown _1312026593.unknown _1312026591.unknown _1312026586.unknown _1312026588.unknown _1312026589.unknown _1312026587.unknown _1312026584.unknown _1312026585.unknown _1312026583.unknown _1312026566.unknown _1312026574.unknown _1312026578.unknown _1312026580.unknown _1312026581.unknown _1312026579.unknown _1312026576.unknown _1312026577.unknown _1312026575.unknown _1312026570.unknown _1312026572.unknown _1312026573.unknown _1312026571.unknown _1312026568.unknown _1312026569.unknown _1312026567.unknown _1312026558.unknown _1312026562.unknown _1312026564.unknown _1312026565.unknown _1312026563.unknown _1312026560.unknown _1312026561.unknown _1312026559.unknown _1312026554.unknown _1312026556.unknown _1312026557.unknown _1312026555.unknown _1312026552.unknown _1312026553.unknown _1312026551.unknown