null第8章 最优
设计
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方法
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—状态空间法 第8章 最优设计方法—状态空间法 8.1 引 言8.1 引 言 前两章阐述的系统离散化设计方法，是用极点配置解决系统设计（综合）问题，主要设计参数是闭环极点。
本章研究系统最优设计方法。系统用线性离散状态空间描述，性能准则是状态与控制信号的二次型函数，设计问题就是寻求使性能准则为最小的允许控制信号序列，所设计的数字控制器是线性的，这类问题被称为线性二次型控制问题。继而研究在随机信号扰动下的线性二次型高斯（LQG）控制问题。
本章主要阐述如下两个问题：
1. 建立在二次型代价函数（性能指标）最小基础上的状态反馈控制系统设计；
2. 在随机扰动作用下，最优状态估计——卡尔曼滤波器的设计。8.2 最优调节系统设计 8.2 最优调节系统设计 8.2.1 设计准则 null 所设计的系统见图8-2-1。由J= Jmin准则设计的系统称线性二次型（LQ）控制系统，控制器称线性二次调节器。 null 由式（8-2-2）可见，LQ控制问题是一种N阶段问题，即为“有限时间” 问题。式中，第一项称终点代价，其余两项称运转代价：其中，第一项反映了由初始状态趋向于平衡位置响应的快慢，第二项反映了功耗的大小。“权”的选择可依据所着重的品质而定。
对于很多实际系统，N，即为“无限时间” 问题。在本节，有限与无限时间问题均予以讨论。 8.2.2 变分法
用变分法中的拉格朗日乘数法解LQ问题。求解步骤： 8.2.2 变分法
用变分法中的拉格朗日乘数法解LQ问题。求解步骤： 从数学角度可以说，最优控制要解决的问题是，求泛函J在式（8-2-1）条件下的极值问题，典型的求解方法：动态规划法和变分法。 于是，将原来求J的条件极值问题，变成求H的无条件极值问题。 2. 开环最优调节 2. 开环最优调节 3. 闭环最优调节 3. 闭环最优调节 null 可见，在已知Q、S、A、B情况下，由k=N开始，沿阶段数减小方向，根据上式一步步倒推，可求得P(k)各值。 null8.2.3 无限时间问题 8.2.3 无限时间问题 以上讨论的LQ控制是“有限时间”问题，下面讨论N的“无限时间”问题。
1. 确定稳态反馈增益矩阵L
由例8-2-1、8-2-2可知，对于A、B、Q、R为定常阵，且（A,B）具有能控性情况，N有限时，反推求得的P(k)、L(k)虽是时变的，但在前几个时间段，已基本上是常值。为此推断出，当N很大时，由最终段倒推， P(k)、 L(k)会随着k的减小很快趋于常值，称为稳态解，此时，式（8-2-21）成为代数方程： 确定L的递推法：取某一有限N值，与例8-2-1、8-2-2同样方法递推，当P(k)、L(k)变化很小时，定其为近似稳态解L。2. LQ调节闭环极点 2. LQ调节闭环极点 3. 闭环系统稳定性 3. 闭环系统稳定性 在A、B、Q、R为定常，Q0，R>0前提下，P(k)或S(k)存在正定的稳态解，可证明，构成的LQ调节系统是稳定的，即其特征根必位于Z平面单位圆内，求解的x(k)
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示由初始状态x(0)得到的自由运动必衰减到零，即达到平衡位置。且代价函数J为有限值。 4. 单输入单输出（SISO）系统
为便于说明，以SISO系统为例予以讨论。 null 为了说明权q对闭环极点的影响，画出q由0的极点轨迹，可见，上式具有“根轨迹”的形式，闭环极点是上式在单位圆内的根。 null8.3 有输入的系统设计8.3 有输入的系统设计null 以上讨论的是系统状态完全可观测情况下系统的设计问题。如果全部或部分状态是不可测的，就需按上章所述，进行状态观测器设计，以重构状态。8.4 最优随机控制8.4 最优随机控制 本节讨论被控对象受随机扰动作用下的最优控制。由于考虑的扰动是具有正态分布的白噪声，因此称为线性二次高斯(LQG)控制问题。
LQG问题的解，由如下两部分组成：
1. 设计最优状态估计器——卡尔曼滤波器。
2. 用估计状态，构成线性反馈控制，与系统中无扰动作用时所设计的相同。
根据分离定理，上述两部分可分别进行独立设计。
8.4.1 对象离散随机模型
设对象受白噪声w(k)干扰，且输出量测过程具有随机误差v(k)，见图8-4-1。设x(k)、w(k)、v(k)具有如下特性：
（1）三者之间不相关。
（2）对象初始状态x(0)的均值与协方差阵为
nullnullnull8.4.2 最优状态估计——卡尔曼滤波器设计8.4.2 最优状态估计——卡尔曼滤波器设计1. 设计准则
在系统状态不能直接观测时，可设计最优状态估计器，也称卡尔曼滤波器，它是一种全阶状态观测器，是以状态估计误差的方差最小为准则设计的。
卡尔曼滤波器之结构与式（7-4-11）相同，是向前一步预报器，但区别是：确定增益矩阵K的方法不同，它是时变的，记为K(k)，是作为参数最优化问题来解决的。
对于高斯扰动情况，最优状态估计器设计准则为：确定式（7-4-11）中增益矩阵K(k)，使状态估计误差的方差最小。2. 卡尔曼滤波器设计2. 卡尔曼滤波器设计nullnull三种滤波器比较可知：
小的常值增益K，使估计误差减小缓慢，但稳定性能好；大的常值增益在开始段使估计误差减小较快，但稳态特性较差；用卡尔曼滤波器，使误差之动态及稳态特性均较好，即达最优估计。null8.4.3 线性二次高斯控制8.4.3 线性二次高斯控制 LQG控制系统见图8-4-3，根据分离原理，首先解LQ问题，也可以说是解确定性问题，由二次型性能指标最优，求得L(k)；然后用卡尔曼滤波器估计状态。思考与练习 思考与练习 null
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