2009届高三数学二轮专题复习
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中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载
――三角函数
一、本章知识结构：
二、重点知识回顾
1、终边相同的角的
表
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示方法：凡是与终边α相同的角，都可以表示成k·3600+α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800，k∈Z}，终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800+900，k∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900，k∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。
理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；
⑴角度制与弧度制的互化：
弧度
，
弧度，
弧度
EMBED Equation.3
⑵弧长公式：
；扇形面积公式：
。
2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：
（1）三角函数定义：角
中边上任意一点
为
，设
则：
EMBED Equation.3
（2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
（3）特殊角的三角函数值
α
0
2
sinα
0
1
0
-1
0
cosα
1
0
-1
0
1
tanα
0
1
不存在
0
不存在
0
（3）同角三角函数的基本关系：
（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）:
sin(
)＝sinα,cos(
)＝－cosα,tan(
)＝－tanα
sin(
)＝－sinα,cos(
)＝－cosα,tan(
)＝tanα
sin(
)＝－sinα,cos(
)＝cosα,tan(
)＝－tanα
sin(
)＝－sinα,cos(
)＝cosα,tan(
)＝－tanα
sin(
)＝sinα,cos(
)＝cosα,tan(
)＝tanα，
sin(
)＝cosα,cos(
)＝sinα
sin(
)＝cosα,cos(
)＝-sinα
3、两角和与差的三角函数
（1）和（差）角公式
①
②
③
（2）二倍角公式
二倍角公式：①
；
②
；③
（3）经常使用的公式
①升（降）幂公式：
、
、
；
②辅助角公式：
（
由
具体的值确定）；
③正切公式的变形：
.
4、三角函数的图象与性质
（一）列表综合三个三角函数
，
，
的图象与性质，并挖掘：
⑴最值的情况；
⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求
的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；
⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
的对称轴是
EMBED Equation.DSMT4 ，对称中心是
EMBED Equation.DSMT4 ；
的对称轴是
EMBED Equation.DSMT4 ，对称中心是
EMBED Equation.DSMT4
的对称中心是
注意加了绝对值后的情况变化.
⑷写单调区间注意
.
（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数
的简图，并能由图象写出解析式．
⑴“五点法”作图的列表方式；
⑵求解析式
时处相
的确定方法：代（最高、低）点法、公式
.
（三）正弦型函数
的图象变换方法如下：
先平移后伸缩
的图象
得
的图象
得
的图象
得
的图象
得
的图象．
先伸缩后平移
的图象
得
的图象
得
的图象
得
的图象
得
的图象．
5、解三角形
Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理
（
是
外接圆直径）
注：①
；②
；③
。
⑵余弦定理：
等三个；注：
等三个。
Ⅱ。几个公式:
⑴三角形面积公式：
；
⑵内切圆半径r=
；外接圆直径2R=
⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC中，
Ⅲ．已知
时三角形解的个数的判定：
其中h=bsinA,
⑴A为锐角时：
①a
b时，一解（锐角）。
三、考点剖析
考点一：三角函数的概念
【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。
【命题规律】在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。
例1、（2008北京文）若角α的终边经过点P(1,-2),则tan 2α的值为 .
解：
点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。
考点二：同角三角函数的关系
【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意
，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。
【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。
例２、（２００８浙江理）若
则
=( )
（A）
（B）2 （C）
（D）
解：由
可得：由
，
又由
，可得：
＋（
）2＝1
可得
＝－
，
＝－
，
所以，
＝
＝2。
点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：
，与它联系成方程组，解方程组来求解。
例3、（2007全国卷1理1）
是第四象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由
，所以，有
，
是第四象限角，
解得：
EMBED Equation.DSMT4
点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式：
，同样要能想到隐含条件：
。
考点三： 诱导公式
【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sinα与cosα对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中
+α的整数k来讲的，象限指
+α中，将α看作锐角时，
+α所在象限，如将cos(
+α)写成cos（
+α），因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又
+α看作第四象限角，cos(
+α)为“+”，所以有cos(
+α)=sinα。
【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。
例4、(2008陕西文)
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
＝
点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：
例5、（2008浙江文）若
.
解：由
可知，
；而
。
点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌握公式就能求解。
考点四：三角函数的图象和性质
【内容解读】理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（-
，
）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数
的图象，并理解它的性质：
（１）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；
（２）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；
（３）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的
个周期。
注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。
【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等 ，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。
例6、(2008天津文)设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
，因为
，所以
，选D．
点评：掌握正弦函数与余弦函数在［0，
］，［
，
］的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：［0,1］，也要掌握。
例7、(2008山东文、理)函数
的图象是（ ）
SHAPE \* MERGEFORMAT
解：
是偶函数，可排除B、D，由
的值域可以确定.因此本题应选A.
点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。
例8、(2008天津文)把函数
的图象上所有的点向左平行移动
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
y=
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ，故选（C）。
点评：三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一，牢固变换的方法，按照变换的步骤来求解即可。
例9、（２００８浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数
的图象和直线
的交点个数是( )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
解：原函数可化为：
=
作出原函数图像，
截取
部分，其与直线的交点个数是2个.
点评：本小题主要考查三角函数图像的性质问题，学会五点法画图，取特殊角的三角函数值画图。
考点五：三角恒等变换
【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。
【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。
例10、（2008惠州三模）已知函数
（I）求函数
的最小正周期； （II）求函数
的值域.
解：
EMBED Equation.3
（I）
（II）∴
∴
∴
所以
的值域为：
点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。
例11、（2008广东六校联考）已知向量
＝(cos
x，sin
x)，
＝(
)，且x∈[0，
]．
（1）求
（2）设函数
+
，求函数
的最值及相应的
的值。
解：（I）由已知条件：
， 得：
（2）
EMBED Equation.3
，因为：
，所以：
所以，只有当：
时，
，
，或
时，
点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。
例12、（2008北京文、理）已知函数
的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，
]上的取值范围.
解：（Ⅰ）
=
=
因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，所以
解得ω=1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
因为0≤x≤
，
所以
≤
≤
所以
≤
≤1.
因此0≤
≤
，即f(x)的取值范围为[0，
]
点评：熟练掌握三角函数的降幂，由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。
考点六：解三角形
【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。
解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。
【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。
例13、（2008广东五校联考）在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且
（1）求tanC的值; （2）若⊿ABC最长的边为1，求b。
解：（1）
EMBED Equation.DSMT4 B锐角,
且
,
,
(2)由(1)知C为钝角, C是最大角,最大边为c=1,
,
由正弦定理:
得
。
点评：本题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。在做练习，训练时要注意加强知识间的联系。
例14、(2008海南、宁夏文)如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。
解：（Ⅰ）因为
，
，
所以
．
所以
．
（Ⅱ）在
中，
，
由正弦定理
．
故
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
点评：注意用三角恒等变换公式，由特殊角45度，30度，60度，推导15度，75度的三角函数值，在用正弦定理时，注意角与它所对边的关系。
例15、(2008湖南理)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东
且与点A相距40
海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
+
(其中sin
=
，
)且与点A相距10
海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解: （I）如图，AB=40
，AC=10
，
EMBED Equation.DSMT4
由于
,所以cos
=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为
（海里/小时）.
（II） 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1=
AB=40,
x2=ACcos
,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=
,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
点评：三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题的应用将分是一个热点。
四、方法总结与2009年高考预测
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）注意隐含条件的应用：1＝cos2x＋sin2x。
（2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝
－
等。
（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。
（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。
（5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝
sin(θ＋
)，这里辅助角
所在象限由a、b的符号确定，
角的值由tan
＝
确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
5．高考考点分析
近几年高考中，三角函数主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：
第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。
第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。
五、复习建议
1、本节公式较多，但都是有规律的，认真总结规律，记住公式是解答三角函数的关键。
2、注意知识之间的横向联系，三角函数知识之间的联系，三角函数与其它知识的联系，如三角函数与向量等。
3、注意解三角形中的应用题，应用题是数学的一个难点，平时应加强训练。
y
x
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
O
y
x
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
O
y
x
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
O
y
x
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
O
A．
B．
C．
D．
浙公网安备 33021202002483