Abaqus单元的数学描述和积分——完全积分通过考虑一个静态
分析
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的悬臂梁，如图4-1所示，将演示单元阶数（线性或二次）、单元数学描述和积分水平对结构模拟的精度的影响。这是一个用来评估给定的有限元性能的典型测试。由于梁是相当的细长，通常采用梁单元来建立模型。但是，在这里我们将利用此模型帮助评估各种实体单元的效果。梁为150mm长，2.5mm宽，5mm高；一端固定；在自由端施加5N的集中荷载。材料的杨氏模量E为70GPa，泊松比为0.0。采用梁的理论，在载荷P作用下，梁自由端的静挠度给出为其中，，l是长度，b是宽度，d是梁的高度。当P=5N时，自由端挠度是3.09mm。图4-1 自由端受集中载荷P的悬臂梁4.1.1完全积分所谓“完全积分”是指当单元具有规则形状时，所用的Gauss积分点的数目足以对单元刚度矩阵中的多项式进行精确积分。对六面体和四边形单元而言，所谓“规则形状”是指单元的边是直线并且边与边相交成直角，在任何边中的节点都位于边的中点上。完全积分的线性单元在每一个方向上采用两个积分点。因此，三维单元C3D8在单元中采用了222个积分点。完全积分的二次单元（仅存在于ABAQUS/Standard）在每一个方向上采用3个积分点。对于二维四边形单元，完全积分的积分点位置如图4-2所示。图4-2 完全积分时，二维四边形单元中的积分点应用ABAQUS/Standard模拟悬臂梁问题，采用了几种不同的有限元网格，如图4-3所示。采用了或者线性或者二次的完全积分单元进行模拟，以此说明两种单元的阶数（一阶与二阶）和网格密度对结果精度的影响。关于各种模拟情况下的自由端位移与梁理论解3.09mm的比值，如表4-1所示。应用线性单元CPS4和C3D8所得到的挠度值相当差，以至于其结果不可用。随着网格的粗糙，结果的精度越差，但是即使网格划分得相当细（824），得到的自由端位移仍只有理论值的56%。注意到，对于线性完全积分单元，在梁厚度方向的单元数目并不影响计算结果。自由端挠度的误差是由于剪力自锁（shearlocking）引起的，这是存在于所有完全积分、一阶和实体单元中的问题。图4-3 悬臂梁模拟所采用的网格表4-1 采用积分单元的梁挠度比值单元网格尺寸（高度长度）16212412824CPS40.0740.2420.2420.561CPS80.9941.0001.0001.000C3D80.0770.2480.2430.563C3D200.9941.0001.0001.000像我们所看到的，剪力自锁引起单元在弯曲时过于刚硬，对此解释如下。考虑受纯弯曲结构中的一小块材料，如图4-4所示，材料产生弯曲，变形前平行于水平轴的直线成为常曲率的曲线，而沿厚度方向的直线仍保持为直线，水平线与竖直线之间的夹角保持为。图4-4 受弯矩M作用下材料的变形线性单元的边不能弯曲；所以，如果应用单一单元来模拟这一小块材料，其变形后的形状如图4-5所示。图4-5受弯矩M作用下完全积分、线性单元的变形为清楚起见，画出了通过积分点的虚线。显然，上部虚线的长度增加，说明1方向的应力（）是拉伸的。类似地，下部虚线的长度缩短，说明是压缩的。竖直方向虚线的长度没有改变（假设位移是很小的）；因此，所有积分点上的为零。所有这些都与受纯弯曲的小块材料应力的预期状态是一致的。但是，在每一个积分点处，竖直线与水平线之间夹角开始时为，变形后却改变了，说明这些点上的剪应力不为零。显然，这是不正确的：在纯弯曲时，这一小块材料中的剪应力应该为零。产生这种伪剪应力的原因是因为单元的边不能弯曲，它的出现意味着应变能正在产生剪切变形，而不是产生所希望的弯曲变形，因此总的挠度变小：即单元是过于的刚硬。剪力自锁仅影响受弯曲载荷的完全积分的线性单元的行为。在受沿坐标方向或剪切载荷时，这些单元的功能表现完好。而二次单元的边界可以弯曲（见图4-6），故它没有剪力自锁的问题。从表4-1可见，二次单元预期的自由端位移接近于理论解答。但是，如果二次单元发生扭曲或弯曲应力有梯度，将有可能展示某种程度的自锁，这两种情况在实际问题中是可能发生的。图4-6 受弯矩M作用下完全积分、二次单元的变形只有当确信载荷只会在模型中产生很小的弯曲时，才可以采用完全积分的线性单元。如果对载荷产生的变形类型有所怀疑，则应采用不同类型的单元。在复杂应力状态下，完全积分的二次单元也有可能发生自锁；因此，如果在模型中应用这类单元，应细心地检查计算结果。然而，对于模拟局部应力集中的区域，应用这类单元是非常有用的。
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