PAGE正切函数的图象和性质教材分析:学习正切函数的图象和性质,主要包括:定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,以及具体的应用。素质教育目标:知识目标:(1)用单位圆中的正切线作正切函数的图象;(2)用正切函数图象解决函数有关的性质;能力目标:(1)理解并掌握作正切函数图象的方法;(2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法;德育目标:培养研究探索问题的能力;教学三点解析:教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象;教学难点:性质的研究;教学疑点:正切函数在每个单调区间是增函数,并非整个定义域内的增函数;教学过程设计1.设置情境前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,但常见的三角函数还有正切函数,今天我们来探讨一下正切函数的图象,以及它具有哪些性质。2.探索研究由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制图象. (1)用正切线作正切函数图象 eq\o\ac(○,1)分析一下正切函数是否为周期函数? ∴是周期函数,是它的一个周期. 我们还可以证明,是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法,我们先作正切函数在一个周期上的图象,下面我们利用正切线画出函数,的图象.作法如下:①作直角坐标系,并在直角坐标系轴左侧作单位圆. ②把单位圆右半圆分成8等份,分别在单位圆中作出正切线. ③描点。(横坐标是一个周期的8等分点,纵坐标是相应的正切线). ④连线. 图1 根据正切函数的周期性,我们可以把上述图象向左、右扩展,得到正切函数,的图象,并把它叫做正切曲线(如图1).图2 (2)正切函数的性质 请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质:定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性. ①定义域: ②值域: ③周期性:正切函数是周期函数,周期是. ④奇偶性:,∴正切函数是奇函数,正切曲线关于原点对称. ⑤单调性:由正切曲线图象可知:正切函数在开区间内都是增函数.强调:a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数 c.每个单调区间都包括两个象限:四、一或二、三3.例题分析 【例1】求函数的定义域. 分析:我们已经知道了的定义域,那么与有什么关系呢?令,我们把说成由和复合而成。此时我们称为复合函数,而把和为简单函数解:令,那么函数的定义域是 由 ,可得 所以函数的定义域是解题回顾:这种解法可称为换元法,因此复合函数可通过换元法来求得。练习1:求函数的定义域。(学生板演。) 【例2】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:(1)与;(2)与.分析:比较两个正切函数值的大小可联想到比较两个正、余弦函数值的大小。比较两个正、余弦函数值的大小是利用函数的单调性来比较。注意点是应把相应的角化到正或余弦函数的同一单调区间内来解决.类比得到比较两个正切函数值的大小的解法 解:(1) 又 ∵,在上是增函数 ∴ (2)∵= 又 ∵0<<<,函数,是增函数, ∴ <即.解题回顾:比较两个正切型实数的大小,关键是把相应的角诱导到的同一单调区间内,利用的单调递增性来解决.练习2:比较大小: (学生口答)(<)(学生板演)(>)【例3】求的周期3.总结提炼(1)这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质 (2)正切函数的作图是利用平移正切线得到的,当我们获得一个周期上图象后,再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。(3)正切函数的性质.4.布置作业:作业:苏大资料“12.正切函数的图象与性质”.
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