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，若有不当之处，请指正。真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。PAGE/NUMPAGES真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。2019-2020年高中数学第2章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修一、数形结合思想“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们的一种普遍思维习惯在数学上的具体
表
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现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”．解析几何研究问题的主要方法——坐标法，就是数形结合的典范．在本章的学习中主要体现在以下两个方面：(1)直线的方程中有很多概念，如距离、倾斜角、斜率等都很容易转化成“形”，因此题目中涉及这些问题时可以尝试用数形结合来解决．(2)与圆有关的最值问题、直线与圆的交点个数、圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想．[例1] 已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－8)2＝4，直线y＝eq\f(\r(5),2)x＋b在两圆之间(不与圆相交或相切)，求实数b的取值范围．解：画出示意图如图所示，直线y＝eq\f(\r(5),2)x＋b，即eq\r(5)x－2y＋2b＝0.当直线与圆C1相切时，eq\f(|2b|,\r(5＋4))＝2，解得b＝±3；当直线与圆C2相切时，eq\f(|－16＋2b|,\r(5＋4))＝2，解得b＝5或b＝11.结合图形可知3
答案
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：eq\r(26)＋22．已知点A(3，1)，在直线y＝x和y＝0上各找一点M和N，使△AMN的周长最短，并求出最短周长．解：由点A(3，1)及直线y＝x，可求得点A关于y＝x的对称点B(1，3)，同理可得点A关于y＝0的对称点C(3，－1)，如图所示．则AM＋AN＋MN＝BM＋CN＋MN≥BC，当且仅当B，M，N，C四点共线时，△AMN的周长最短，为BC＝2eq\r(5).由点B(1，3)，C(3，－1)可得直线BC的方程为2x＋y－5＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,y＝x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝\f(5,3).))故点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,3))).对于2x＋y－5＝0，令y＝0，得x＝eq\f(5,2)，故点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0)).故点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,3)))与点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))即所求，此时△AMN的周长最短，且最短周长为2eq\r(5).二、分类讨论思想分类讨论思想是数学的基本思想之一，其实质就是把整体问题化为部分问题，从而增加题设的条件来解决问题．[例2] 过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程．解：(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.令y＝0，分别得x＝－1，x＝－eq\f(2,k).由题意eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,k)))＝1，即k＝1.所以这两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.综上可知，所求的直线方程分别为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.规律总结研究直线要善于从斜率的角度去考虑问题，即从斜率存在和斜率不存在两个方面分类讨论．这是隐含在题中的一个分类因素，易被忽视，也是犯“对而不全”错误的根源之一．[变式训练]3．已知直线l：4x－ysinθ＋1＝0，求它的斜率及斜率的取值范围．解：直线l的方程中y的系数是－sinθ，而sinθ的值域是[－1，1]，sinθ的值可取零，但sinθ＝0的直线的斜率不存在，故视sinθ为研究对象，分类讨论．(1)当sinθ＝0，即θ＝kπ(k∈Z)时，直线l的斜率不存在，倾斜角α＝eq\f(π,2)；(2)当sinθ≠0，即θ≠kπ(k∈Z)时，直线l的斜率k＝eq\f(4,sinθ)⇒k的取值范围为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．三、函数与方程思想函数与方程思想在圆中应用较广泛，求圆的方程、直线与圆的交点及圆与圆的交点等都要用到函数与方程思想．[例3] 已知过点(3，0)的直线l与圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(其中O为坐标原点)，求直线l的方程．分析：已知OP⊥OQ，若设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0，由点P，Q在圆及直线l上，可联立方程，借助根与系数的关系求解．解：设直线l的方程为x＋ay－3＝0，由题意知a≠0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋x－6y＋3＝0，,x＋ay－3＝0，))(*)消去y，得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－x,a)))eq\s\up12(2)＋x－6×eq\f(3－x,a)＋3＝0，即(a2＋1)x2＋(a2＋6a－6)x＋3a2－18a＋9＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2＝eq\f(3a2－18a＋9,a2＋1).①由方程组(*)消去x，得(3－ay)2＋y2＋3－ay－6y＋3＝0，即(a2＋1)y2－(7a＋6)y＋15＝0，所以y1y2＝eq\f(15,a2＋1).②依题意知OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0.将①②代入，得eq\f(3a2－18a＋9,a2＋1)＋eq\f(15,a2＋1)＝0.整理，得a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4，经检验知a＝2和a＝4都满足题意，所以直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0.规律总结函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征，建立各变量间的函数关系．通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决．方程的思想多用于曲线方程的求解和两直线位置关系的判定．[变式训练]4．已知直线l：y＝eq\f(1,2)x和两个定点A(1，1)，B(2，2)，问直线l上是否存在一点P，使得|PA|2＋|PB|2取得最小值，若存在，求出点P的坐标和|PA|2＋|PB|2的最小值；若不存在，说明理由．解：假设存在一点P，使得|PA|2＋|PB|2取得最小值，设此点为P(2x0，x0)，则|PA|2＋|PB|2＝(2x0－1)2＋(x0－1)2＋(2x0－2)2＋(x0－2)2＝10xeq\o\al(2,0)－18x0＋10.因为x0∈R，所以当x0＝eq\f(9,10)，即点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，\f(9,10)))时，PA2＋PB2可取得最小值，且最小值为eq\f(19,10).四、转化与化归思想把代数问题几何化、几何问题代数化，可使较复杂问题直观化、具体化、简单化，从而使问题快速得到解决．[例4] 已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求eq\f(y＋3,x＋2)的最大值和最小值．解：设y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)表示曲线段AB.由eq\f(y＋3,x＋2)的几何意义可知，它表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，如图所示，可知kPA≤k≤kPB.由已知可得A(1，1)，B(－1，5)，所以kPA＝eq\f(1－（－3）,1－（－2）)＝eq\f(4,3)，kPB＝eq\f(5－（－3）,－1－（－2）)＝8.所以eq\f(4,3)≤k≤8，故eq\f(y＋3,x＋2)的最大值是8，最小值是eq\f(4,3).规律总结对于形如k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)的分式函数y＝eq\f(c＋dx,a＋bx)的值域问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，利用数形结合进行求解．[变式训练]5．已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，求x2＋y2－2x－2y＋2的最小值．解：原式可化为(x－1)2＋(y－1)2，其几何意义为点P(x，y)和点Q(1，1)间距离的平方，而点P(x，y)在直线x＋y＋1＝0上．设d为点Q到直线x＋y＋1＝0的距离，由|PQ|≥d得eq\r(（x－1）2＋（y－1）2)≥eq\f(|1＋1＋1|,\r(2))，即x2＋y2－2x－2y＋2≥eq\f(9,2)，故所求最小值为eq\f(9,2).
浙公网安备 33021202002483