[自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟13

[自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟13PAGE1/NUMPAGES1[自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟13高等数学(工本)自考题模拟13一、单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．)问题:1.微分方程(y″)4+2(y′)5=x2+x3的阶数是A.5B.4C.3D.2答案:D[解析]本题考查微分方程的阶．问题:2.y″=sin(-x)的通解为A.sin(-x)B.-sin(-x)+C1x+C2C.-sin(-x)D.sin(-x)+C1x+C2答案:B[解析]本题考查高阶微分方程的通解．[要点透析]对方程两边积分得y′=cos(-x)+C1，对方程两边积分得y=-sin(-x)+C1x+C2，即为原方程的通解．问题:3.微分方程x3y2dx-(2y+xysinx)dy=0是A.可分离变量微分方程B.一阶线性齐次微分方程C.一阶线性非齐次微分方程D.齐次微分方程答案:A[解析]本题考查区分一阶微分方程的不同形式．问题:4.下列命题中正确的是A．若收敛，则必收敛B．若与都发散，则必发散C．若，则必发散D．若收敛，则必有答案:C[解析]本题考查数项级数的审敛．[要点透析]可用排除法，A选项对于交错级数不成立；对于B选项，若，则与都发散，但收敛，故B选项错误；对于D选项，当收敛时，有可能为1，故D选项错误；则选C．问题:5.幂级数x+2x2+3x3+…+nxn+…的收敛区域为A.[-1，1]B.(-1，1)C.(-1，1]D.[-1，1)答案:B[解析]本题考查幂级数的收敛区间.[要点透析]收敛半径=1，又因为当x=1时，幂级数为1+2+3+…+n+…，此时幂级数发散．而当x=-1时，幂级数化为-1+2-3+…+(-1)nn+…：此时幂级数发散，故收敛区域为(-1，1).二、填空题问题:1.微分方程的通解为______．答案:[解析]本题考查齐次方程和分离变量．[要点透析]原方程可化为令，则y=ux，故分离变量积分得，arctanu=lnx+C.将代入处原方程的通解为问题:2.方程2y″+y′-y=2x的一个特解是______．答案:y′=-2x-2[解析]本题考查f(x)=eλxPm(x)型．[要点透析]方程2y″+y′-y=2x对应的齐次方程为2y″+y′-y=0．其特征方程为2λ2+λ-1=0，解之得λ1=-1，．原方程的非齐次项f(x)=eλxPm(x)(其中λ=0，m=1)，而λ=0不是其特征方程的解，故令其特解为y*=b0x+b1则y*′=b0，y*″=0．代入原方程得b0-(b0x+b1)=2x故得b0=-2，b1=-2，于是原微分方程的一个特解为y*=-2x-2．问题:3.幂级数的收敛半径为______．答案:1[解析]本题考查幂级数的收敛半径.[要点透析]设，则，故收敛半径为1．问题:4.幂级数e1+x在x=-1处展开式为______．答案:[解析]ex在x=0处的幂级数展开式为，故e1+x在x=-1处的幂级数展开式为e1+x=1+问题:5.设函数f(x)=x2(-π＜x＜π)的傅里叶级数展开式为，则其系数a2=______．答案:1[解析]本题考查傅里叶系数.[要点透析]三、 计算题 一年级下册数学竖式计算题下载二年级余数竖式计算题 下载乘法计算题下载化工原理计算题下载三年级竖式计算题下载 问题:1.求方程y″-y′-2y=0的通解．答案:[考点点击]本题考查二阶常系数线性微分方程(有两个不同的特征根).[要点透析]y″-y′-2y=0的特征方程为r2-r-2=0．故其特征根为r1=2，r2=-1．故所求通解为y=C1e2x+C2e-x(C1，C2为常数)．问题:2.求方程y″+(y′)2=0满足初始条件答案:[考点点击]本题考查y″=f(y，y′)型微分方程．[要点透析]令p=y′，则代入原方程得，当y≠0且p≠0时，分离变量得，两边积分得lnp=-y+C1，即p=C1e-y，将代入上式得，(1)分离变量得eydy=C1dx两边积分得ey=C1x+C2，(2)将初始条件代入(1)和(2)式中得。C1=2，C2=-1，故所求特解为ey=2x-1，即y=ln(2x-1).问题:3.求方程xy″=y′的通解．答案:[考点点击]本题考查y″=f(x，y′)型微分方程.[要点透析]令p=y′，代入原方程得xp′=p，分离变量两边积分得lnp=lnx+lnC1，即p=C1x，将p=y′代入上式得分离变量dy=C1xdx，两边积分得．问题:4.求方程y″-4y′+4y=0的通解．答案:[考点点击]本题考查二阶常系数线性齐次微分方程(一个二重根)．[要点透析]y″-4y′+4y=0的特征方程为r2-4r+4=0，其特征根为r1=r2=2，故所求通解为y=(C1+C2x)e2x．问题:5.求方程y″+2y′+2y=0的通解．答案:[考点点击]本题考查二阶常系数线性齐次微分方程(一对共轭复根)．[要点透析]y″+2y′+2y=0的特征方程为λ2+2λ+2=0，故其特征根为λ1=-1+i，λ2=-1-i，故所求通解为y=e-x(C1cos2x+C2sinx)．问题:6.判断级数的敛散性．答案:[考点点击]本题考查级数的敛散性(根值审敛法).[要点透析]级数，则，故级数收敛.问题:7.已知级数收敛，证明级数是绝对收敛．答案:[考点点击]本题考查级数的绝对收敛性．[要点透析]，由于级数均收敛，故原级数绝对收敛.问题:8.证明级数的收敛性，并求其和.答案:[考点点击]本题考查级数的收敛性及其和.[要点透析]，则Sn，所以原级数收敛，且和数S=1.问题:9.应用通项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)；(2)x2+2x3+3x4+…+nxn+1+…．答案:[考点点击]本题考查幂级数的和函数．[要点透析](1)设，故x2。则当|x2|＜1时原级数收敛，故原级数的收敛半径为R=1，当x=±1时，则原级数可化为，故其发散·故原级数的收敛域为(-1，1)设，在x∈(-1，1)内逐项求导得故x2)，x∈(-1，1)．(2)设an=n，，当x=±1时原级数均发散，故原级数的收敛域为(-1，1)设，设f(x)=I，逐项积分得故故和函数问题:10.求函数在x=0处的幂级数展开式．答案:[考点点击]本题考查幂级数的展开式[要点透析]所以当时，问题:11.求函数f(x)=x3-2x2+4x+1在x=1处的泰勒展开式．答案:[考点点击]本题考查勒展开式.[要点透析]f(1)=1-2+4+1=4，f′(1)=，f′″(1)=6，f(n)(1)=0(n≥4)，故f(x)在x=1处的勒展开式为=4+3(x-1)+(x-1)2+(x-1)3问题:12.判断级数的敛散性．答案:[考点点击]本题考查级数的敛散性(比较判别法).[要点透析]，而级数发散，由比较判别法得原级数发散.四、综合题问题:1.求y″-2y′-3y=xex的通解．答案:[考点点击]本题考查f(x)=eλxPm(x)型.[要点透析]原方程相应的齐次方程的特征方程为r2-2r-3=0，解得r1=3，r2=-1.故齐次方程的通解为y=C1e-x+C2e3x，f(x)=xex，λ=1不是特征根，因此设特解y*=ex(b0x+b1)，代入原微分方程得，b1=0，故原微分方程的通解为问题:2.将f(x)=ex2在x=0处展开为幂级数，并求级数答案:[考点点击]本题考查幂级数的展开式.[要点透析]由∞)，可知.级数就是将上式取x=±1可得到，故问题:3.将函数f(x)=2x(-π＜x＜π)展成傅里叶级数．答案:[考点点击]本题考查傅里叶级数.[要点透析]f(x)函数及其周期延拓图像，如下图所示.f(x)在(-π，π)内按段光滑，由收敛定理知其可展开成为傅里叶级数，又因为(分步积分)，所以f(x)在区间(-π，π)内的傅里叶级数展开式为