第十六章 多元函数的极限与连续

nullnull第十六章 多元函数的极限与连续第十六章 多元函数的极限与连续§2二元函数的极限§3二元函数的连续性§1 平面点集与多元函数第十六章 多元函数的极限与连续第十六章 多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数null 一、平面点集1. 邻域: 以点 X0 = (x0, y0)为中心, 以  为半径的圆内部点的全体称为 X0 的 邻域.即记 Û (X0,  ) = U (X0,  )  { X0 }, 称为 X0 的去心  邻域.如图nullU (X0,  )Û (X0,  ) 当不关心邻域半径时, 简记为U (X0 )和 Û (X0).null2. 内点:设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)E, 若存在邻域 U(X0 ,  )  E , 则称 X0 为 E 的内点.E 的全体内点所成集合称为 E 的内部, 记为E0.D = {(x, y)| x2 + y2 1 }如图null易知, 圆内部的每一点都是 D 的内点. 但圆周上的点不是 D 的内点.null又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x, y)| x+y > 0}易见, 直线上方每一点都是D的内点. 即 D=D,但直线上的点不是D的内点.null3. 边界点:设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)是平面上一个点. 若 X0的任何邻域 U(X0 ,  )内既有属于 E 的点, 又有不属于 E的点, 则称 X0 为 E 的边界点.E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界. 记作 E.如, 例1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 D 的边界是单位圆周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图nullE 的边界点可以是 E 中的点, 也可以不是 E 中的点.Dnull4. 开集 设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点.即 E  E0, 则称 E 是一个开集. 由于总有 E0  E, 因此, E  E0  E = E0故也可说, 比如, 例1中 D 是开集, (D = D0 ), 而例2中 D 不是开集.若E = E0 , 则称 E 是一个开集. 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 , , R2为开集.null又比如, E 如图若 E 不包含边界, 则 E 为开集. 若 E 包含边界, 则 E 不是开集. null结论: 非空平面点集 E 为开集的充要条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点. 即 E 不含有 E 的边界点.证:必要性. 设 E 为开集, X E,由开集定义知 X 为 E 的内点. 故 X 不是 E 的边界点.null充分性. 若 E 中每一点都不是 E 的边界点. 要证 E 为开集.X E,由于 X 不是 E 的边界点. 故必存在X的一个邻域U(X, ),在这个邻域 U(X,  )内或者全是 E 中的点. 或者全都不是 E 中的点, 两者必居其一.由于X E, 故后一情形不会发生.因此, U(X,  )内必全是 E 中的点. 故 X E0, 即, E  E0 , 所以 E 是开集.null5. 连通集 设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集.如图XYE 连通null从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是连成一片的. E 中的点都可用折线连接.例1, 2中的 D 都是连通集. 如图null6. 开区域(开域)设 E 是一平面点集. 比如, 例1中 D 是开区域. 如图.从几何上看, 开区域是连成一片的, 不包括边界的平面点集.若 E 是连通的非空开集, 则称 E 是开区域.null7. 闭区域 (闭域)若 E 是开域, 记称为闭区域.如图.易见, 例2中的 D 是闭区域. 从几何上看, 闭区域是连成一片的. 包括边界的平面点集.(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.null8. 设 E  R2, 若存在 r > 0, 使 E  U(O, r), 则称 E 为有界集. 否则称 E 为无界集.易见, 例1中 D 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界闭区域.null9. 聚点.设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点. 若X0的任一邻域内总有无限多个点属于 E . 则称 X0 是E 的一个聚点.从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点. 即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.null如图null1. 聚点定义也可叙述为: 若 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个异于 X0 的点. 则称 X0 为 E 的 一个聚点. (自证).2. E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E .3. E 的内点一定是 E 的聚点.null4. 若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点.即, 区域中的任一点都是该区域的聚点.null邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义.null（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0, 0) 是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．null（4）n 维空间实数 x数轴点. 数组 (x, y)实数全体 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示直线(一维空间)平面点(x, y) 全体表示平面(二维空间)数组 (x, y, z)空间点(x, y, z) 全体表示空间(三维空间)推广：n 维数组 (x1, x2, … , xn)全体称为 n 维空间，记为nulln 维空间中两点间距离公式 设两点为特殊地，当 n =1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间两 点间的距离．n 维空间中邻域概念：区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．null（5）二元函数的定义回忆点集 D ---定义域，--- 值域.x、y ---自变量，z ---因变量.null类似地可定义三元及三元以上函数．函数的两个要素:定义域、对应法则.null与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.解所求定义域为null（如下页图）null二元函数的图形通常是一张曲面.null例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:第十六章 多元函数的极限与连续第十六章 多元函数的极限与连续§2 二元函数的极限null回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),当 x 不论是从 x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.表示如图就是 >0, >0.当0<|x – x0|<  时, 有|f (x) – A |< .null设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.如图Dz = f (x, y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限.f (X)null类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X)– A | <  刻划. 而平面上的点 X = (x, y) 无限接近于点 X0 = (x0, y0) 则可用它们之间的距离null设二元函数 z = f (X) = f (x, y). 定义域为D. X0= (x0, y0)是 D 的一个聚点. A 为常数. 若  > 0,  > 0, 当对应的函数值满足| f (X)– A | < 则称 A 为z = f (X)的, 当 X 趋近于X0时(二重)极限.记作或也可记作 f (X)  A(X  X0), 或, f (x, y)  A (x  x0, y  y0 ) 定义1null利用点函数的形式有null说明：（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（4）二重极限的几何意义： > 0，P0 的去心 邻域 在内，函数的图形总在平面及之间。null例2 求证 证当 时，原结论成立．null一元中多元中null确定极限不存在的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：null例3 设解但取其值随 k 的不同而变化。不存在．故null例4 求解null例5 求极限 解其中null注1. 定义1中要求X0是定义域D的聚点, 这是为了保证 X0的任意近傍总有点X使得f (X)存在, 进而才有可能判断 | f (X)– A | 是否小于  的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 .若D是一区域. 则只须要求就可保证 X0 是D的一个聚点.另外, " 0 < ||X  X0 || <  "表示 X 不等于X0.null2. 如图null对二元函数 f (X), 如图有 点X以任何方式趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A.null因此, 如果当X以某几种特殊方式趋于X0时, f (X)的极限为A. 不能断定二重极限若X以不同方式趋于X0时, f (X)的极限不同, 则可肯定二重极限3. 极限定义可推广到三元以上函数中去, 且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同.null例6.用定义证明:证: >0, < 时, 有 | f (x, y) – 0 | <  ).考虑 | f (x, y) – 0 | (要证 >0, 使得当null要使 | f (x, y) – 0 | <  , 只须即| f (x, y) – 0 | < 故null例7. 设f (x, y) = 证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.证: 由注2知, 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.null考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.如图对应函数值null从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.null沿 x 轴, y = 0. 函数极限= 0沿 y 轴, x = 0. 函数极限= 0但不能由此断定该二重极限为0 (注2).第十六章 多元函数的极限与连续第十六章 多元函数的极限与连续§3 二元函数的连续性null定义2 多元函数的连续性设 z = f (X) = f (x, y), 在区域D上有定义.则称 f (X) 在 X0 连续, X0 称为 f (X) 的连续点. 否则称 f (X) 在 X0 间断, X0 称为 f (X) 的间断点. X = (x, y) D, X0 = (x0, y0) D, null若 f (X) 在 D 上每一点都连续, 则称 f (X) 在 D 上连续, 记为 f (X)  C (D). 易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)间断(极限不存在), 每一点都间断.null注1. 二元函数 f (X)在 X0 连续必须满足三个条件. 在 X0 有定义, 在 X0 的极限存在, 两者相等, 2. 多元连续函数的和, 差, 积, 商(分母不为0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数. 定义可推广到三元以上函数中去.null多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：null例1 求极限 解是多元初等函数。定义域：于是，（不连通）null例2解null3. 多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.所谓多元初等函数是指以 x, y, z, …为自变量的基本初等函数 f (x), (y), g(z), …以及常函数, 经有限次四则运算和复合所构成的函数.如 f (x) = exy ·sin(x2+y), = e0 ·sin0 = 0. null4. 二元连续函数的几何意义:定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 "空洞", 没有 "裂缝" 的连续曲面.这里条件 "D 是一区域" 是必要的. 若D不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.null例. 设 D = {(x, y) | x, y 均为有理数} R2. z =f (x, y)是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上无定义的函数,即f (x, y) = 1, 当(x, y)  D时,无定义, 当(x, y)  D时. 如图可知,  (x0, y0)  D,但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.null 有界闭区域上二元连续函数的性质性质1. 性质2. 小结小结多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）多元函数的定义作业：P 105 1, 2，3, 4 , 5 , 6 , 7 .