第4章 平面的投影

null第4章 平面的投影第4章 平面的投影4. 1 平面的表示法 4. 2 平面对投影面的相对位置 4. 3 属于平面上的点和直线null4.1 平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点两平行直线两相交直线平面图形XXXXX4.1.1 平面的几何元素表示法4.1.2 平面的迹线表示法4.1.2 平面的迹线表示法null实形性类似性积聚性1. 平面对一个投影面的投影特性4. 2 平面对投影面的相对位置null⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面 投影面平行面一般位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜null侧垂面①投影面垂直面VWHYXZ正垂面铅垂面null铅垂面nullcc铅垂面abcabba积聚性铅垂面γβ投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。 及：水平投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。Z类似性类似性XOYHYWnull铅垂面的迹线表示null正垂面nullcc正垂面abcabba积聚性正垂面γ投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。 及：正面投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。Z类似性XOYHYW类似性null正垂面的迹线表示null侧垂面nullcc侧垂面abcabba积聚性侧垂面β投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。 及：侧面投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。Z类似性类似性XOYHYWnull侧垂面的迹线表示null侧平面正平面水平面②投影面平行面null水平面null积聚性积聚性实形性水平面投影特性：它在水平投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。null正平面null积聚性积聚性实形性正平面投影特性：它在正面投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。null侧平面null积聚性积聚性侧平面投影特性：它在侧面投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。实形性null③一般位置平面null 一般位置平面三个投影都为类似形。投影特性：平面与三个投影面都倾斜。nullacbca●abcb例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。思考：此 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 有几个解？ZXOYHYW4.3 属于平面的点和直线4.3 属于平面的点和直线4.3.1 属于一般位置平面的点和直线 4.3.2 属于特殊位置平面的点和直线 4.3.3 属于平面的投影面平行线 4.3.4 属于平面的最大斜度线*4.3.1 属于一般位置平面的点和直线4.3.1 属于一般位置平面的点和直线1．平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 2．平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。 例题1 例题2 例题3 null位于平面上的直线应满足的条件：平面上取任意直线若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。1．取属于平面的直线 1．取属于平面的直线 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。null d例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平面内任作一条直线。解法一：解法二：有无数解！XX2．取属于平面的点 2．取属于平面的点 取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线null平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。 面上取点的方法：dd通过在面内作辅助线求解首先面上取线利用平面的积聚性求解[例题1] 已知 ABC给定一平面，试判断点D是 否属于该平面。[例题1] 已知 ABC给定一平面，试判断点D是 否属于该平面。ee'[例题2] 已知点D在 ABC上,试求点D的水平投影 。[例题2] 已知点D在 ABC上,试求点D的水平投影 。d'ee'[例题3]已知点E在 ABC上,试求点E的正面投影 。[例题3]已知点E在 ABC上,试求点E的正面投影 。null4.3.2 属于特殊位置平面的点和直线 1．取属于投影面垂直面的点和直线 2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3．过特殊位置直线作平面 (1) 过正垂线作平面 (2) 过正平线作平面 null1． 取属于投影面垂直面的点和直线null2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作铅垂面PH过一般位置直线AB作正垂面SV(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法)(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法)m'n(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (迹线表示法)(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (迹线表示法)b"a"SVQWPHnull① 过正垂线作平面 (迹线表示法)PVSVQVRV（a ）给题（c）作侧平面（ b）作水平面（d）作正垂面（有无穷多个）null② 过正平线作平面PHSHgg（a ） 给题（c） 作正垂面（ b） 作正平面（d） 作一般位置平面 （有无穷多个）null4.3.3 属于平面的投影面平行线 属于平面的水平线和正平线 例题4 例题5 例题6null属于平面的水平线和正平线PVPHnull例： 在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。nmnmcabcab 唯一解！[例题4] 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平 面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。[例题4] 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平 面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。mn'nm[例题5] 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15， 距离V 面10，试求点E的投影。[例题5] 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15， 距离V 面10，试求点E的投影。nullbckadad bckb[例题6] 已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。解法一：解法二：XXnull4.3.4 属于平面的最大斜度线*1．平面上的投影面最大斜度线—平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。 2．平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。 3．平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。 （1）平面上对水平投影面的最大斜度线 （2）平面上对正面投影面的最大斜度线 （3）平面上对侧面投影面的最大斜度线 例题8 例题9 例题10 例题11nullnull1. 平面上对水平投影面H的最大斜度线 EF AB平行于 H， EF垂直于 ABnull2. 平面上对正面投影面V的最大斜度线 CD AB平行于V， CD垂直于 ABnull3. 平面上对侧面投影面W的最大斜度线 MN AB 平行于W， MN垂直于AB[例题8] 求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线BE 。[例题8] 求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线BE 。b[例题9] 求 ABC平面与水平投影面的夹角 。[例题9] 求 ABC平面与水平投影面的夹角 。beBEnull[例题10] 过正平线作平面与水平投影面成 60°。abABnull[例题11] 已知直线EF为平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。给题null本 章 结 束