函数
考试内容：
数学探索©版权所有www.delve.cn映射、函数、函数的单调性、奇偶性．数学探索©版权所有www.delve.cn反函数．互为反函数的函数图像间的关系．数学探索©版权所有www.delve.cn指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．数学探索©版权所有www.delve.cn对数．对数的运算性质．对数函数．数学探索©版权所有www.delve.cn函数的应用．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．
数学探索©版权所有www.delve.cn（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
数学探索©版权所有www.delve.cn（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
知识要点：
（1） 映射与函数
1.映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是
起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成
（二）函数的性质
1. 函数单调性:
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1
f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：
函数 单调
单调性
内层函数
↓
↑
↑
↓
外层函数
↓
↑
↓
↑
复合函数
↑
↑
↓
↓
等价关系：
(1)设
那么
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 上是增函数；
EMBED Equation.3 上是减函数.
(2)设函数
在某个区间内可导，如果
，则
为增函数；如果
，则
为减函数.
2. 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）
奇函数：
定义：在前提条件下，若有
，则f（x）就是奇函数。
性质:（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .
偶函数：
定义：在前提条件下，若有
，则f（x）就是偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：新 课标第 一网
(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）
(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
3. 函数的周期性：
定义：对函数f（x），若存在T
0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，
其中，T是f（x）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；
（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2
；
(3)、
，此时周期为2m 。
（三）指数函数与对数函数
1.指数函数的图象和性质
a>1
00时，y>1;x<0时，00时，01.
（5）在 R上是增函数
（5）在R上是减函数
2.对数函数y=logax的图象和性质:
a>1
00
时
时
（5）在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
3. 分数指数幂与根式的性质：
(1)
（
，且
）.
（2）
（
，且
）.
（3）
.
（4）当
为奇数时，
；当
为偶数时，
.
4. 指数式与对数式的互化式:
EMBED Equation.DSMT4 .
指数性质：
(1)1、
； （2）、
（
） ； (3)、
(4)、
； (5)、
；
指数函数：
(1)、
在定义域内是单调递增函数；
（2）、
在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）
对数性质：
(1)、
；（2）、
；
(3)、
；(4)、
； (5)、
(6)、
； (7)、
对数函数：
(1)、
在定义域内是单调递增函数；
（2）、
在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）
(3)、
(4)、
或
5. 对数的换底公式 :
(
,且
,
,且
,
).
对数恒等式：
(
,且
,
).
推论
(
,且
,
).
6.对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则Xkb1.com
(1)
; (2)
;
(3)
; (4)
。
（四）补充
1.二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式
;
(2) 顶点式
;（当已知抛物线的顶点坐标
时，设为此
式）
(3) 零点式
；（当已知抛物线与
轴的交点坐标为
时，设为此式）
2.常见函数的图像：
3.对于函数
(
),
恒成立,则函数
的对称轴是
;两个函数
与
的图象关于直线
对称.
4. 对称变换：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
（五）方法
总结
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⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x,x是所研究区间内任两个自变量，且x＜x；②判定f(x)与f(x)的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x) /f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
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浙公网安备 33021202002483