品出函数、方程与不等式中求参数范围的四种_通性通法

品出函数、方程与不等式中求参数范围的四种_通性通法 ·30· 中学数学研究 2011年第1期品出函数、方程与不等式中求参数范围的四种“通，}生通法’’ 广东省中山市三乡理工学校 (528463)莫燕芳求参数的取值范围是一种重要的题型，特别是求与函数、方程或不等式有关的参数范围．细细品味求函数、方程或不等式有关的参数范围的解题思路，发现蕴含其中有四种主流规律性的“通性通法”．即函数零点分布法，(二次)函数的单调性或最值法，函数图像交点法，参数分离法．其中参数分离法又分为：参数分离后的均值不等式法，参数分离后的“双勾图”法，以及参数...

·30· 中学数学研究 2011年第1期品出函数、方程与不等式中求参数范围的四种“通，}生通法’’ 广东省中山市三乡理工学校 (528463)莫燕芳求参数的取值范围是一种重要的题型，特别是求与函数、方程或不等式有关的参数范围．细细品味求函数、方程或不等式有关的参数范围的解题思路，发现蕴含其中有四种主流规律性的“通性通法”．即函数零点分布法，(二次)函数的单调性或最值法，函数图像交点法，参数分离法．其中参数分离法又分为：参数分离后的均值不等式法，参数分离后的“双勾图”法，以及参数分离后的函数最值法等．一、函数零点分布法适合题型：所考查的函数包含参数且蕴含根的个数问题常转化为函数零点问题去解决．侈0 1 已知函数f(z)=z2—81nz，g(．72)= 一z2+14x．(1)(2)略，(3)方程厂(z)=g(z)+"z 有两个解，试求实数”。的取值范围．解：(3)令fz(z)=厂(z)一g(z)～”z=222— 81nx一14．22一Ⅳz，因为当z>0时，原方程有两个解，所以亦即函数h(z)图像与z轴正半轴有两个交业啦业避逝业业逝靶业业业业誊业堂业誊避业逝姑逝业鼗业业业坐业业靶业业业避逝坐业业业啦业啦啦逝例8 已知E，F，G是棱长为以的正方体 ABCD—AlBlCIDl的棱AAl，A181，B1Cl的中点，(1)求EF与FG所成角；(2)求沿正方体表面从 A到C。的最短距离． A B 分析：(1)分别取CCl，DC，AD的中点H，K， L，得平面正六边形EFGHKL，．‘．么EFG=120。．所以EF与FG所成角为60。． (2)把正方体展成平面，如图立得所求的最短距离为佰n．本题通过截面法与展面法来降维，使立体问题向平面问题转化，这是解立体几何问题的常用方法．五、从整体退到局部有些数学问题，如果从整体上不便解决，可先研究其局部．如果局部问题得以解决，常常能使问题整体得以解决． 1歹09 已知,72>0，Y>0，2>0，且(z2+1)(y2+ 4)(z2+16)=64xyz，求z，Y，z的值．分析：题设中的等式可变换为(z+{)(y+{)～／ ·(z+訾)=2×4×8，从整体上解答很难入手，但联想到基本不等式，可退到局部着手处理．解：‘．’32>0，y>0，2_>0，．。．z+』≥2，当且仅当z=1时等号成立；Y+÷≥4，当且仅当y=2时等号成立；。+些≥8，当且仅当z=4时等号成立．由此可知(．r+一熹)(y+号)(z—L，6)≥2×4×8，当且仅当z=1，Y=2，z=4时等号成立．即所求z，∥， z的值为z=1，v=2，z=4．例10在锐角AABC中，求证：sinA+sinB+ sinC>cosA+cosB+COSC．分析：本题看起来似乎很简单，但从整体上解答较难入手，由于三个角的和为丌，以及三角函数问的转换关系，我们可从局部(从一个角的三角函数式或两个角的三角函数式)着手处理．证明：由 ABC是锐角三角形知，A+B=7『一 c>詈，A>罟一B，即o<詈一Bsin(罢一B)= cosB，同理，sinB>cosC，sinC>cosA．三式相加即得sinA+sinB+sinCCOSa+∞sB+cOs(7．从以上几个方面可看出，当遇到较复杂的问题感到“山重水复疑无路”时，不妨退一步，往往会出现 “柳暗花明又一村”的奇迹．“退中求进”的思想有利于克服思维定势，同时也有利于培养学生分析问题和解决问题的能力．万方数据 2011年第1期中学数学研究 · 31· 点，即函数厶(z)有两个正零点．由^，(z)：4z一量 Z 一14=0，得z=一i1(舍)或z=4；令^7(z)>0，得 x<一i1(舍)或z>4；令^7(z)< 1 0，得一i10，所以0 一161n2—24． 1歹02 设A={zz2+打zz+1<0}，B={zz2 +6x+8<0}，若AnB=0，求m的取值范围．解：B={zi一4o≥ ㈡图l，“ lg(一4)=16—4m十1≥幻优∈0． ②当函数g(z)=z2+mz+1 的两个零点都不小于一2时，如图 3，则有解：(1)略；(2)依题设有厂(32)=专嚣犰即-2x2+2ax+4≥。在㈠， 1]上恒成立．令g(z)=一2x2+2az+4，如图4分 3类：要≤ g(1) ② < g Lg 一1≤a≤1； _。净岔∈D： =2+2a≥0 1<昙<1 (1)：2+2a≥0 ≥ (一1)=2—2以≥0 卜y 长bi一彳r；、 ’y＼一》， ≥a60； lg(一1)=2—2a≥0 综合①②③得一1≤口≤1．图4 三、两函数图像交点法适合题型：所要考查的两个函数图像容易作出，且其中一个是定形图像，另一个是动态图像．动态图像常常是动直线．则可依据两个图像交点情况确定参数的边界值．例4 巳知函数厂(32)=jz2—4x+3f，求使集合M={／71l使方程厂(z)=研,72有四个不相等实根}．解：设f(z)=l(z一2)2—1l， g(z)=mz，如图5，使y=厂(z)与 y=g(z)有四个不同的交点，直线 y=棚z应介于z轴与切线z1之间．由{；三：{z一2，：+，≥z2。+一cm一图5 4)z+3=0，由△=("z一4)2—4×1×3=0，得打z= 4—2怕或Ⅲ=4+2朽(舍)，结合图形知所求的是 0<打z<4—2压．侈45函数厂(z)=SC3一百1z2 —2x十5一A在区间[一l，2]上有三个零点，求A的范围．解：设g(z)：3一百1z2—2z i≯ ⋯j一／影． J129l：2；图6 +5，，2(z)=A，得g7(z)=3x2一z一2，令g7(z)= o，得矿一号或观_1，即(1，丢)和(一了2，等)．令g7(z)>o，得z>1或z<一号，在(1，+。。)和 (一∞，一鲁)上-g调递增，在(一鲁，1)上单调递减．万方数据 · 32· 中学数学研究 2011年第l期浅谈“算法初步"高考命题现状暨高三备考方向江西省南昌外国语学校 (330025)梁懿涛 “算法初步”是新课标教材中的新增内容，其着内容之外，缺乏与其它知识版块的有机联系．重介绍算法的基本思想、基本结构(框图)和描述算在新课标地区的高考题与模拟题中，涉及到“算法的基本语句(程序)．例题与练习的选择偏重于生法初步”内容的，仅限于“框图阅读题”，考察对框图活中问-N解决的优化(算法)，游离于高中数学其它的理解能力．因此依图6得弓≤A<万157． 3)，得g(￡)=￡+4￡一2，依图7得g(￡)。1h1=g(3)= 罢震黧嚣霉垧矣瓣舞翳铃宙出卖日分直集吾，因此n≤吾．适合题型：所求的参数容易分离出来，且分离参 o j 数时最好能避开对参数的分类讨论． 3．参数分离后的构造函数最值法：适合的题型 1．参数分离后的均值不等式法：适合的题型是是若所考查的函数是基本的初等函数，则画出简图所考查的函数或经过构造的函数形如y2＆z+詈，通过导数法作图确定最值．且满足“一正二定三相等”条件- 例8 已知2：>扩对任意z∈(o，1)都成立，例6 已知函数厂(z)=|094(4。+1)+kz(k∈求实数＆的取值范围．有解，求打：的取值范围．。解：由条件得{>nl092x，又z∈(o，1)，所以解：(1)略，是=一专·(2)"z=：=l094(4。+1)一虿1z l092x<0，得口>i面1，设f(z)2五壶聂2 =loga(2。十恚)≥l0942=了1．二厶 2．参数分离后的“双勾图”法：适合的题型是所考查的函数或经过构造的函数形如Y=口z+旦·，且 Z 最值不是在极大(小)值点取得，此时需画出函数或换元后函数的“双勾图”，确定拐点的横坐标z值作参照，再找出给定区间的那一段图像．例7 已知函数l厂(32)对任意z，Y都有厂(z+y)=厂(z)+f(Y)+2(J2+∥)+1，且／’(1)= 1，(1)若,22∈N+，试求f(z)的表达式；(2)若z∈ N+且z≥4时，不等式厂(z)≥(a+7)z一(a+10) 恒成立，求实数口的取值范围．解：(1)略，厂(z)=z2+3z一3． (2)由f(x)≥(口+7)32一(a+10)得盘≤普，设出)= I ＼彩／ o／j 弘 2 3 图7 羔睾半乩_1)+再4-2，令z一1叫r≥ 罴删八小一学，令厂7(z)>o，得o厂(z)。。。=厂(号)=一PIn2．图8 上面所举例题的解法可能不唯一，在已有解法的基础上不排斥用其它方法也可解决．比如例1也可用“两函数图像交点法”．另外，由于求参数范围时所选的角度、切入点，以及手段的不同，会有形形式式的不同方法(如判别式法)．所以上面所归纳出的四种主流的“通性通法”显然不能囊括所有的解法．但只要熟练并通透这四种“通性通法”，在陌生的题境中再加以灵活的变用，就可以解决中学数学中有关求函数、方程及不等式参数范围的众多题目．万方数据品出函数、方程与不等式中求参数范围的四种"通性通法" 作者：莫燕芳作者单位：广东省中山市三乡理工学校,528463 刊名：中学数学研究英文刊名： STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG 年，卷(期)： 2011(1) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj201101015.aspx

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