数学中不等式的证明方法

数学中不等式的证明方法 王贵保 　　一、利用拉格朗日中值定理 　　1．拉格朗日中值定理：设 满足：（1）在闭区间[a, b]上连续；（2）在开区间（a, b）内可导，则有一点 （a, b），使得 　　　　 　　2．从上式可以看出，如果能确定了 介于某两个数m与M之间，则有如下形式的不等式： 　　　　 ≤ ≤M 因此，欲证形如 或构造成为 形式的不等式，可用该方法。 例1：证明，当 ＞0时，有 ＞ . 证明：由原不等式，因为 ＞0，可改写为 ＞1的形式，或改写为 ＞1的形式，这里 ，区间为[0, ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。 令 ， [0, ]，则 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在 [0, ]有 　　　　 ＝ ＞1 　　所以，有不等式 ＞ . 　　例2：证明不等式 ＜ ＜ 　　（x＞0） 　　证明： ＝ 这里 ， ，于是可对 在［x, 1+x］上应用拉格朗日中值定理. 　　令 　 　（x＞0），则 在［x, 1+x］上满足中值定理的条件，于是有 ，即 ＜ ＜ ，使得 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1） 又因为 ＜ ＜ ，知有　 ＜ ＜ 　　　　　　　　　　　　　　　　　（2） 于是由（1）（2）可得 　　　　 ＜ ＜ 　　二、利用函数的单调性 1．定义：设 在（a, b）内有定义，任取 且 ＜ ，如有 ≤ 则称 在（a, b）单调增加，如有 ≥ 则称 在（a, b）内单调减少. 　　2．判定单调性的方法：如 在（a, b）内的导数 ＞0，则 在（a, b）内单调增加；如导数 ＜0，则 在（a, b）内单调减少. 　　3．从单调性的定义可以看出，若构造不成 的形式，则可利用函数的单调性进行判定证明. 　　例3：证明， ＞0时有 ＞1+ . 　　证明：令 ，则 ＞0所以 单调增加，于是当 ＞0时有 ＞ ＝0，即有 ＞0. 或　 ＞1+ 　　例4：证明 ＞1时，有 ＞ 　　证明：令 EMBED Equation.3 ，则 　　　　 　　　　　　　 　， 由 ＞1知　 ＞0，所以 单调增加，于是当 ＞1时有 ＞ ＝0，即得： 　　　　 ＞ 　. 　　三、利用闭区间上的连续函数可以取得最大值与最小值的方法 　　1．定理：若 在闭区间[a, b]上取得最大值M与最小值m，于是有 ≤ ≤M. 　　2．因此，若在不等式的证明中，如有某一个变量受到限制时，可用该方法。 　　3．最大值与最小值的求法为：先对 求导，得方程 ＝0，求出其解，比如为 ， ，…， ，然后计算 ， ，…， 及 与 ，从中取最大者为最大值，最小者为最小值. 　　例5：证明，当0≤ ≤1， ＞1时有不等式 　　　　 ≤ ≤1 　　证明：这里因 有限制， ，可见，应求函数 在 上的最大值及最小值. 　　　　 　，可得　　 EMBED Equation.3 　. 又　　　 　； 　　　　 　， 于是有　 ≤ ≤1　. 　　四、利用函数的凹凸性进行证明 　　1．定义：设函数 在（a, b）内有定义，如 有 ≤ 则称函数 在（a, b）内为凹函数，如有 ≥ ，则称函数 在（a, b）内为凸函数；更加一般地，如有 ≤ 则称 在（a, b）内为凹函数，如有 ≥ ，则称 在（a, b）内为凸函数. 其中 ， ，…， EMBED Equation.3 （a, b）. 　　2．因此，如在不等式的证明中出现了形如 或 的形式，可用函数凹凸性来证明. 　　3．函数凹凸性的判定：如 在（a, b）内的二阶导数 ＞0，则函数 为凹函数，如 ＜0，则函数 为凸函数. 　　例6：证明，当 时，有 ＜ 　. 证明：由于在所证明的不等式中有 的形式，因此可用函数的凹凸性证明，为此，令 ，则 ＞0，于是函数 为凹函数，从而对任何 有 　　　　 ＜ 　. 即　 ＜ 　. 　　注：本例可以推广到如下的不等式，即 　　　　 ＜ 　. 　　例7：证明，当 ， ，…， 均匀正数时有 　　　　 ≥ 　　证明：因为在不等式的左边出现了乘积 ， ，…， ，因此，我们两边取对数变成和的形式，即欲证 ≥ ，只须证明 　　　　 ≥ 　， 即证：　 ≥ 于是，可令 ＞0，则有 　　　　 ＜0　　（t＞0） 可见 为凸函数，由凸函数的定义可知有 　　　　 ≥ 即有　　 ≥ 　　或　 ≥ 　　同学们会在高等数学下册的学习中，学习条件极值，在那里也可以通过构造多元函数的条件极值来证明一些较为复杂的不等式. PAGE ·4· _1097567995.unknown _1097665291.unknown _1097666201.unknown _1097668157.unknown _1097668827.unknown _1097669118.unknown _1097669490.unknown _1097669629.unknown _1097670061.unknown _1097670346.unknown _1097670523.unknown _1097670586.unknown _1098880111.unknown _1097670624.unknown _1097670577.unknown _1097670426.unknown _1097670476.unknown _1097670366.unknown _1097670090.unknown _1097670174.unknown _1097670080.unknown _1097669804.unknown _1097669940.unknown _1097669974.unknown _1097669654.unknown _1097669539.unknown _1097669557.unknown _1097669511.unknown _1097669379.unknown _1097669410.unknown _1097669461.unknown _1097669390.unknown _1097669268.unknown _1097669294.unknown _1097669250.unknown _1097668886.unknown _1097668933.unknown _1097669058.unknown _1097668735.unknown _1097668807.unknown _1097668792.unknown _1097668771.unknown _1097668550.unknown _1097668624.unknown _1097668690.unknown _1097668706.unknown _1097668565.unknown _1097668461.unknown _1097668528.unknown _1097668421.unknown _1097666319.unknown _1097667484.unknown _1097667526.unknown _1097666326.unknown _1097666264.unknown _1097666282.unknown _1097666219.unknown _1097666072.unknown _1097666083.unknown _1097666112.unknown _1097666125.unknown _1097666098.unknown _1097665656.unknown _1097665683.unknown _1097665976.unknown _1097665987.unknown _1097666010.unknown _1097665815.unknown _1097665674.unknown _1097665609.unknown _1097665476.unknown _1097665591.unknown _1097570008.unknown _1097590464.unknown _1097652757.unknown _1097652767.unknown _1097653131.unknown _1097590602.unknown _1097590621.unknown _1097651285.unknown _1097590559.unknown _1097590445.unknown _1097582410.unknown _1097590397.unknown _1097590410.unknown _1097590425.unknown _1097582460.unknown _1097570036.unknown _1097569878.unknown _1097569945.unknown _1097570007.unknown _1097569891.unknown _1097569808.unknown _1097568022.unknown _1097569749.unknown _1097567229.unknown _1097567697.unknown _1097567918.unknown _1097567937.unknown _1097567732.unknown _1097567739.unknown _1097567903.unknown _1097567726.unknown _1097567341.unknown _1097567362.unknown _1097567452.unknown _1097567351.unknown _1097567299.unknown _1097567311.unknown _1097567245.unknown _1097565867.unknown _1097566872.unknown _1097567003.unknown _1097567209.unknown _1097566955.unknown _1097565903.unknown _1097565970.unknown _1097565768.unknown _1097565844.unknown _1097565798.unknown _1097565824.unknown _1097565780.unknown _1097565568.unknown _1097565636.unknown _1097565669.unknown _1097565629.unknown _1097564321.unknown _1097564473.unknown _1097564175.unknown