小波分析的基本原理及其应用

nullnull第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.1 引言 6.2 连续小波变换 6.3 离散小波变换 6.4 小波分析的应用 null6.1 引 言 小波分析是当前数学分析和信号处理领域中迅速发展起来的一套新理论、新方法，至今才仅有十余年的历史。 与传统的傅里叶(Fourier)变换、加窗傅里叶变换相比，小波变换是一个时间和尺度上的局域变换， 因而能有效地从信号中提取信息， 通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度分析（Multiscale Analysis），从而解决傅里叶变换不能解决的许多问题。 因此小波变换被誉为“数学显微镜”。 null 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，并且通过物理的直观和信号处理的实际需要经验地建立了反演公式。早在20世纪70年代， A.Calderon 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 的发现、 Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究都为小波变换的诞生做了理论上的准备， 而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基； 1986年，著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基， 并与S. Mallat合作建立了构造小波基与多尺度分析。 之后， 小波分析才蓬勃发展起来，其中，比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲》(Ten Lectures on Wavelets)对小波的普及起了重要的推动作用。 null 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。在许多学科领域，如：信号分析、图像处理、 量子力学、 军事电子对抗与武器的智能化， 计算机分类与识别、 数据压缩、医学成像与诊断，地震勘探数据处理、边缘检测、 音乐与语音人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等方面， 都已获得了广泛的应用。其具体的应用实例包括：数学方面的数值分析、 构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等，信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等，图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等，医学成像方面的缩短B超、CT、核磁共振成像的时间以及提高分辨率， 等等。 null 现如今，信号处理已经成为当代科学技术的重要组成部分。众所周知，信号处理的目的是准确的分析、正确的诊断、 编码压缩和量化、快速传递或存储、 精确的重构或恢复。 而小波分析的许多应用都可以归结为信号处理的问题。目前， 对于平稳的时不变信号，处理的理想工具仍然是傅里叶分析。 但是在实际应用中所遇到的信号绝大多数是非平稳的，小波分析为分析这种非平稳信号提供了有效的处理工具。 null6.2 连续小波变换 6.2.1 从短时傅里叶变换到小波变换 由第五章时频分析部分的介绍可知，短时傅里叶变换通过引入一个滑动的窗函数w(t)，然后对窗函数内的信号与窗函数的乘积进行傅里叶变换，再让窗函数沿时间轴移动， 就可得到信号频谱随时间变化的规律。  这样， 信号x(t)对于给定的窗口函数w(t)的短时傅里叶变换: （6.2.2） 给出了信号x(t)的时间和频率的二维分布。 null 对于（6.2.2）式定义的短时傅里叶变换， 如果取高斯(Gauss)函数作为窗函数，即 α>0 （6.2.3） 则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯(Gabor)变换: （6.2.4） null 不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换，由于使用了一个可移动的时间窗函数，使其具有了一定的时间分辨率。但是，它们还存在一些自身的问题，其中最主要的就是时间分辨率与频率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理, 我们不可能知道在任何一个时刻存在何种频率分量，最多我们可以了解在某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间，我们可以准确地确定某一个时间点，但是频率则是另外的一个概念，它指的是在一个时间段内，某一个量的变化次数，这从频率的定义中就可以看得到。 null图 6.2.1 不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里叶变换结果 null (6.2.5) 称之为x(t)的连续小波变换。显然，该变换与两个参数a和τ有关，其中a>0 被称为尺度因子，而τ则反映小波函数在变换中的位移。 null 之所以命名为小波变换, 主要是基于以下两方面的原因： 其一，小波的“小”是指它的基函数的支撑区域是有限的，“波”是指基函数是振荡的; 母小波则是指所有在变换中用到的窗函数都是由它推导而来，或者说母小波是其它窗函数的原型；其二，变换的概念与短时傅里叶变换是一样的， 但是并不像在STFT中得到关于信号的频率参数，而是得到尺度参数， 它被定义为频率的倒数。 null 对这样的定义方式作如下说明：  （1） 基小波函数可能为复函数，例如Morlet小波的表达式为 (6.2.6) 它是在高斯包络下的负指数函数。  （2） 尺度因子的作用是将基小波作伸缩变换，在不同的尺度因子下，小波的持续时间随a的加大而增宽。 null(6.2.7)null 2. 小波变换与短时傅里叶变换的比较 将小波变换与短时傅里叶变换作比较，我们将会看到两者的联系。连续小波变换是短时傅里叶变换的一个发展，它的提出解决了分析的精度问题。两者具有类似的操作，都要与一个“窗函数”相乘，并且变换都是在时间域上分段进行的。小波变换与短时傅里叶变换的不同之处在于：  （1） 对于加窗后的信号并不是进行傅里叶变换，所以信号变换后的表现形式是不同的；  （2） 窗函数的宽度在对每一个单独的频谱计算时是变化的， 这也是小波变换的一个最显著的特征。 null 需要明确的是：在小波变换中的尺度类似于地图中的比例尺，大的比例对应的是一个对信号的全局的概略描述，而小的比例则相应地对应于细节性的描述。从信号频率的角度来看， 低的频率（大尺度）对应信号的整体信息，而高频率分量则对应于在信号内部隐藏的细节信息。在实际的应用当中， 高频分量（对应小波分析的小尺度）一般并不是持续于信号的始终,而是在某些时间段内出现，表现为信号上的尖峰； 低频分量通常则是有着长的持续时间。这些是多分辨分析方法的物理基础。在具体计算中，为方便起见，小波变换通常从尺度1开始，其后尺度不断增大，因此对于频率的分析也从高频分析向低频分析的方向进行。在短时傅里叶变换中， 不同的时刻和不同的频率上都采用相同的分辨率， 而小波变换则对不同的频率分量采取不同的分析精度。null 图6.2.2给出了小波变换的分辨率特性的图解。由图示可知，在分析低频成分时采用长的时间窗和短的频率窗，而分析高频成分时则采用短的时间窗和长的频率窗。值得注意的是,小波变换中的变换轴和尺度轴并不是对应于STFT中的时间轴和频率轴， 它们只是在变换运算中的计算的样本。 null图 6.2.2 小波变换的分辨率特性的图解 null3. 连续小波变换的频率域表达式 在定义了连续小波变换后， 对该表达式进行傅里叶变换, 可以得到 其中X(Ω)和Ψ(Ω)分别对应于信号x(t)与母小波函数ψ(t)的傅里叶变换。 (6.2.8)式可以由傅里叶分析理论简单得到证明： 所以有 null推出 从以上的表达式可以看到, 从频域上来看，对信号进行小波变换的傅里叶变换相当于信号的频谱与小波函数频谱共轭的乘积， 因此相应地有如下结论： nullnull （2） 对应于从母小波函数经过伸缩和平移后得到的小波基而言，膨胀系数a取得越大，则小波基的支撑区域越大， 而反映在频域上，则相应的小波基的傅里叶变换的宽度就越大。在后续的部分可以证明：在小波变换的结果中，大的尺度对应的是信号中的低频分量，而小的尺度则对应于信号的高频部分。 nullnull图 6.2.3 尺度伸缩时小波函数的恒Q性 null6.2.3 连续小波变换的性质 根据连续小波变换的定义, 可以得到如下的性质：  1. 叠加性 如果x(t)的连续小波变换是WTx(a,τ)，y(t)的连续小波变换是WTy(a,τ)，则z(t)=k1x(t)+k2y(t) 的连续小波变换是k1WTx(a,τ)+k2WTy(a,τ)。 nullnull 4. 交叉项的性质 由于连续小波变换是线性变换，满足叠加性，因此不存在交叉项，但是由它引申出的能量分布函数|WTx(a,τ)|2却有以下交叉项的表现：  设x(t)=x1(t)+x2(t)，则有 null 5. 小波变换的内积定理 以基小波ψ(t)分别对x1(t)和x2(t)作小波变换。设x1(t)的连续小波变换是  (6.2.10) x2(t)的连续小波变换是 (6.2.11) 其中 null则有 式中 (6.2.12) 该定理称之为小波变换的内积定理，也称为Moyal定理。  (6.2.12)式可以写为更加明确的形式， 左边的内积是对a和τ的双重积分，有 (6.2.13) null6.2.4 小波变换的反演以及对基小波的要求 1. 容许条件 当 时才能够由函数的小波变换WTx(a,τ)反演出原函数x(t)。这时有 (6.2.14) null在上面的表达式中 就是对ψ(t)提出的容许性条件。 从上面的容许性条件我们也可以看到：能够用来作为基小波ψ(t)的函数，最起码要满足Ψ(Ω=0)=0。这说明Ψ(Ω)必须具有带通性质，而且ψ(t)必然是具有正负幅度交替的振荡波形，这也是“小波”之名的由来。 null证明 因为 所以 null 2. 能量的比例性 根据分析, 对连续小波变换能够得到类似于傅里叶分析中的巴塞瓦尔定理的结论，即小波变换的幅度平方的积分和信号的能量成正比, (6.2.15) null 3. 正规性条件 对于函数而言，当满足小波变换的容许性条件时，就可以作为基本的小波函数，但是在实际上的要求往往要更高一些， 对基小波函数还提出了“正规性条件”。 这是为了使Ψ(Ω)在频域上有更好的局部特性。而为了达到此目的，要求|WTx(a,τ)|随着a的减小而迅速减小。这就要求ψ(t)的前n阶原点矩等于0， 而且n值越高越好，即要求： p=1～n (6.2.16) null此要求的相应频域表示为：Ψ(Ω)在Ω=0 处有高阶零点， 且阶次越高越好（一阶零点为容许条件）, (6.2.17) 式中，n愈大愈好。 null 4. 小波变换的重建核（Reproducing Kernel）与重建核方程 重建核方程是小波变换的另一个重要性质，它说明小波变换的冗余性。即a-τ在半平面上的各个点的小波变换是相关的。 在(a0,τ0)处的小波变换WTx(a0,τ0)可以表示成半平面(a∈R+, τ∈R)上其它各处WT值的总贡献： null在上面的表达式中， (6.2.19)null6.2.5 几种常用的基本小波基 1. Morlet小波 Morlet小波是高斯包络下的单频率复正弦函数， 即 (6.2.20) (6.2.21) 图6.2.4是Morlet小波（ω0=6），其中，实线代表实部，虚线代表虚部。这是一个经常会用到的小波，从它的表达式以及傅里叶变换中我们可以看到， 该小波的时域和频域的局部特性都比较好。虽然从严格的意义上来讲， 它并不是有限支撑的， 同时也不满足容许条件，因为Ψ(Ω=0)≠0。 不过在实际工作中，只要取ω0≥5，便近似地满足这一条件。另外， 由于Ψ(Ω)在Ω=0 处的斜率很小，所以它在Ω=0 处的一、 二阶导数也是近似为 0 的。 null图 6.2.4 Morlet小波时频域波形null2. Marr小波（墨西哥草帽小波） Marr小波是高斯函数的二阶导数（差负号）， 它的表达式如下： (6.2.22) (6.2.23) 其波形图见图6.2.5。在Ω=0 处，Ψ(Ω)有二阶零点，所以满足容许条件，而且其小波系数随Ω衰减得很快。Marr小波比较接近人眼的空间响应特性。 null图 6.2.5 Marr小波时频域波形 null3. DOG（Difference of Gaussian）小波 DOG小波是两个尺度差 1 倍的高斯函数之差， 其表达式为 (6.2.24) (6.2.25) null图 6.2.6 DOG小波时频域波形 null 4. Harr小波  Harr小波函数是一组互相正交归一的函数集，它是支撑域在t∈0,1］范围内的单个矩形波, 即 (6.2.26) null Harr小波在时间域上是不连续的，因此作为基小波性能并不是很好，但它同时也具有如下的优点：一是计算方便；二是ψ(t)不但与ψ(2jt)(j∈Z)相正交，即∫ψ(t)ψ(2jt)dt=0, 而且也与自己的整数位移正交，即 ∫ψ(t)ψ(t-k) dt=0。 因此，在a=2j的多分辨率系统构成一组最简单的正交归一的小波族。 null 5. 样条小波（Spline Wavelet） 样条函数在曲线拟合中是用来使拟合的曲线不但本身平滑， 而且导数也平滑的函数。因此，它必定是低通函数，不是带通函数，不能用作小波。但是，样条函数却能够导出一组具有带通性质的小波函数。下面对样条小波作以简单说明。 三次样条函数在任意两个整数k, k+1 之间，用一个三次多项式来表示，而且整个曲线一次连续可微。三次样条小波的频率域表达式是 (6.2.27) null式中 null图 6.2.7 三次样条小波时频域波形 nullnull 有关ψ(t)的若干结果列举如下：  （1） 小波函数ψ(t)可以由所谓的“尺度函数”（Scaling function）φ(t)求出来。φ(t)的长度有限，支撑域在t=0～(2N-1)范围内。图6.2.8左边示出不同N值下的 φ(t)波形。  （2） ψ(t)是φ(2t)的位移加权和： (6.2.28) k的范围为2-2N～1。N值不同，权重gk的值也不同，如表6.2.1所列。由于φ(t)是有限支撑的，因而由式(6.2.28)求得的ψ(t)也是有限支撑的。它的长度和φ(t)一样，也是 2N-1，如图6.2.8 右边所示。 null图 6.2.8 N=2,3,4,5,7,10 时各阶Daubechies小波ψ(t)和相 应的尺度函数φ(t)(一) null图 6.2.8 N=2,3,4,5,7,10 时各阶Daubechies小波ψ(t)和相 应的尺度函数φ(t)(二) null6.3 离散小波变换null(6.3.1) null记为 。 在这些点上计算得到的小波变换记作： j=0,1,2,…; k∈Z(6.3.2) 这种小波变换通常被称为“离散小波变换”, 也称为离散a,τ栅格下的小波变换。  在实际的工作中，最常见的情况是取a0=2，此时a取值为 20,21,…,2j。如果采用对数坐标，并以ln2为坐标单位，则a的离散值将如图 6.3.1 纵轴所示。 null图 6.3.1 a-τ平面的二进离散栅格 null 在a=2j 时沿τ轴的相应的采样间隔是2jτ0，即j每增加 1， 采样间隔将扩大 1 倍。此时a-τ平面内的采样点将如图 6.3.1 所示。 此时， 连续小波变换中的基函数ψaτ(t)变为 记为ψjk(t),j=0,1,2,…;k∈Z。为了书写简便，往往认为τ0=1 （也就是把τ轴用τ0加以归一），这样就有 (6.3.3) 相应地，离散小波变换可表示为 (6.3.4) null如果是，各个权重cjk应当如何去求？ null6.3.1 框架的概念 定义线性变换[Tx]j=〈x(t),φj(t)〉，简单记作〈x,φj〉,j∈Z。 如果要求能够用Tx表征x，则该变换应该至少能够满足下列条件：  (1) 惟一性：如果x1=x2，则Tx1=Tx2必定成立。  (2) 正变换的连续性：如果x1与x2很接近，则Tx1=〈 x1,φj〉(j∈Z)，也必然与Tx2=〈 x2, φj 〉(j∈Z)很接近。表达成数学形式， 也就是要求 0 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 正交基， 因此重建公式是 (6.3.8) 在紧框架的情况下，重建的工作也不难，表达式为 (6.3.9) 但是在的A≠B情况下，重建工作相对而言困难一些。为了说明此点， 定义算子F如下： (6.3.10) null并记作g, 则其逆运算可以表示为 (6.3.11) 令F-1φj=φj, 则上式又可以写为 (6.3.12) 联系小波变换φj=ψjk, 则可以表示为 (6.3.13) null(6.3.12)式和(6.3.13)式就是重建的形式上的公式表示。该公式的意义在于指出为对原函数进行重建时所需要的基函数是φj,ψjk,而不是φj和ψjk。但是，此式只具有形式上的意义， 还不能直接用于计算，因为ψjk=F-1ψjk的具体计算方法还不明确，而且也不能保证ψjk可以由一个基本小波函数通过位移和伸缩得到： (6.3.14) 只有在(6.3.14)式成立的条件下，才会有 (6.3.15) null(6.3.16) (2) 在A与B比较接近时，作为一阶近似，可以取： (6.3.17) 因此有 (6.3.18) null更确切地说， 此时 其中Rx表示对x(t)作一阶逼近的残差。 (6.3.19) null(3) 如果希望把φj求得更加精确， 则可以用级数展开： (6.3.20) 式中 Id是单位算子, xId=x。 null6.3.3 小波框架 0 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 图 null(6.4.27)因此，相应地有图像重构算法: (6.4.28)图 6.4.9 是重构的数据传递示意图。 null图 6.4.9 小波数据重构示意图 null 图 6.4.10 是用双正交小波对256×256点256级灰度的Woman图像的分解图，其中，图(a)为原图，图(b)、 (c)、 (d)为分解1、2、3次后得到的图像。 为了看得清楚，我们对图(b)、 (c)、 (d)作了适当的图像增强。 null图 6.4.10 双正交小波对Woman 图像的分解 null 对一个图像作小波分解后, 可以得到一组不同分辨率的子图像，如图6.4.10(b)、 (c)、 (d)所示， 其中不同分辨率的子图像对应的频率是不同的。 从各个子图像中可以看到高分辨率（高频分量）子图像上大部分的数值都接近于 0。 这种现象在频率增高时变得越发明显， 这样也就为对这些点的压缩提供了依据。 null6.4.3 小波变换在数字信号调制识别中的应用  小波变换在数字信号调制识别中也得到了广泛的应用。 调制识别可以分为两种类型：一种是对不同调制类型的区分， 如对SK、PSK、FSK信号的区分; 另一种是对同种调制类型信号的进一步分析，例如对BPSK与QPSK的区别。在小波理论出现之前，对同种类型的信号区分时，可以利用信号的幅度方差来分辨M阶ASK信号；用FFT区分FSK信号；而对于M阶的PSK信号的分辨就存在一定的困难，较为常见的是通过记录信号编码中的相位改变来区分，或者采用信号相位的N阶矩对信号的调制类型来分析。但这两种方法都需要对信号相位进行准确的提取，并且需要对一些信号的参数有先验的知识，如信号的载频、码速率等。 null 由此可见，现有的大多数方法或者是需要大的运算量（对相位提取的计算，并且需要避免信号重叠），或者需要信号的某些参数的先验知识。因此，在实际应用中存在一定的困难。在下面的讨论中可以看到, 利用小波理论对调制方式的识别并不需要有信号的先验知识，并且能对数字信号的调制参数进行有效准确的分析。  假设接收到的信号为复数结构, 即 (6.4.29) null其中，s(t)是一调制信号的复数形式，ε(t)是一个复的高斯白噪声。它的平均功率为：E｛|ε(t)|2｝=2σ2ε，ωc是载波频率， 而θc是载波的初始相角。  对于PSK信号，可以写为如下形式： (6.4.30) 对于FSK信号有如下形式： (6.4.31) null对于实际情况，频率的偏移也可以是负数。 在(6.4.30)式和(6.4.31)式中，S是信号的功率，而uT(t)是一个单位高度的矩形函数，它的支撑范围为［0,T］，T是一个信号码元的长度。 当编码发生变化时，使得被调制信号发生跳变。因此，可采用时频分析对其进行检测。与短时傅里叶变换相似，小波分析也可以用来对信号进行时间与频率的二维分析。  对于信号的连续小波变换有 (6.4.32) null这里,a为变换尺度; τ是小波基的移位; ψ(t)是母小波函数。相对于短时傅里叶变换的固定长度的窗口，通过对小波基的伸缩与平移，小波变换提供了对信号的变分辨率分析。当需要分析的频率增加时，小波变换的窗口将变小，由此产生的子小波将包含有丰富的高频分量，因此, 对于信号参数的跳变能够准确定位并且进行重构。这一特性使得小波变换很适合对瞬时参数的探测和分析。 null 为满足对PSK、FSK信号类型的检测，可以构造一个基于小波变换的检测函数f(t, γ(t))，当参数γ(t)发生变化时, 它的输出应该产生跳变，以表明这一参数的改变。 因此，它应当具有如下的性质：  （1） 当信号中没有参数的跳变发生时， 检测函数应当输出一个常数：  其中， η(a)的值将仅仅依赖于参数a， 并且与τ无关。 null （2） 当有参数的跳变发生时，函数f(t,γ(t))应当在该参数发生变化的时刻输出一个与常数η(a)有明显差异的数值，这样可以从输出结果的变化中看出参数的变化。  （3） 检测函数的输出在参数发生变化时输出变化应当尽量大，以便于识别，即要求D=|CWT(a,τ)-η(a)|尽可能大。 null 为了满足这些要求，信号的连续小波变换必须在信号参数γ(t)保持恒定时，维持常数输出，并且在参数发生变化时, 输出有明显的峰值出现。条件（3）的要求是为了保证有大的检测概率。在分析中，为了分析的方便, 使用Haar小波基，Haar基满足（1）和（2）两条要求。 同时, 由于Haar基的值在-0.5