基于BP神经网络的AHP判断矩阵调整方法

试验研究 现代制造工程( Modern Manufacturing Engineering) 2011 年第 3 期 基于 BP神经网络的 AHP判断 矩阵调整 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 * 于建华，孙首群，杨凡，满微微 ( 上海理工大学机械学院，上海 200093) 摘要:提出了一种基于 BP神经网络的判断矩阵一致性调整方法。该方法在建立判断矩阵一致性调整 BP神经网络模型 的基础上，通过对原始判断矩阵施之一定的数学变换，构造出完全一致性判断矩阵并将其作为 BP 神经网络的教师信 号。经 BP神经网络算法的调整使原始判断矩阵逐渐逼近构造的完全一致性判断矩阵，从而达到一致性指标要求。计 算实例表明，此种方法是可行及可靠的。 关键词: BP神经网络;层次分析法;判断矩阵;完全一致性矩阵 中图分类号: TP399 文献标志码: A 文章编号: 1671—3133( 2011) 03—0013—05 A method of comparison matrix adjustment based on BP neural network YU Jian-hua，SUN Shou-qun，YANG Fan，MAN Wei-wei ( College of Mechanical Engineering，University of Shanghai for Science ＆ Technology，Shanghai 200093，China) Abstract: A new method based on BP neural network to adjust the consistency of comparison matrix was presented． A BP network model was established． A completely consistent comparison matrix is constructed by mathematical transform of the original com- parison matrix which was regarded as the teacher signal of the BP neural network． The original comparison matrix is converted to an approximation of the completely consistent matrix by the BP network algorithm adjustment，so as to satisfy the consistency in- dex requirements． Numerical examples indicate that this method was effective and reliable in practice． Key words: BP neural network; Analytical Hierarchy Process( AHP) ; comparison matrix; completely consistent matrix 0 引言 层次分析法( Analytical Hierarchy Process，AHP ) 是由美国运筹学家萨迪( T． L． Saaty) 于 20 世纪 70 年 代初期提出的一种实用的多属性决策方法。AHP 将 定性与定量分析有机结合，按照思维、心理的规律把 决策过程层次化、数量化，从而便于决策。由于该方 法原理简单，且需要决策者做的工作不多，只需要对 决策问题所属的各属性的重要程度，采用两两比较的 方法建立一个判断矩阵即可，对决策者的专业水平要 求不高，因此被广泛应用于能源系统分析、城市规划、 经济管理和科研评价等众多领域［1］。 在应用层次分析法分析问题的过程中，关键的一 点是对专家建立的两两比较判断矩阵进行一致性检 验。如果检验结果不符合一致性要求，那么由此得到 的排序向量不可信，就有必要对原判断矩阵进行一致 性调整。专家给出的判断矩阵往往是正互反矩阵。 近年来，有关正互反判断矩阵的一致性调整的研究已 经取得了丰硕的成果，提出了多种方法［2-14］。华中生 等提出了一种利用原判断矩阵和完全一致性矩阵进 行加权求和的调整方法。该算法先求取判断矩阵的 偏差矩阵，然后根据偏差和最小原理寻找出n － 1 个最 能体现原判断矩阵中专家信息的元素构成完全一致 性矩阵。调整后的矩阵等于原判断矩阵与完全一致 性矩阵的加权和。此种方法在保留原判断矩阵信息 和满足一致性要求之间取得了很好地平衡［2］。W． Ma 31 * 国家自然科学基金资助项目( 50875174) ; 国家 863 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 资助项目( 2009AA11Z211) ;上海市教育委员会重点学科建设项目( J50503) 2011 年第 3 期 现代制造工程( Modern Manufacturing Engineering) 等利用判断矩阵的特征向量对判断矩阵进行整体地 修正。该方法的优点是速度快，缺点是原始判断矩阵 中的信息丢失严重［6］。朱建军等提出一种优化调整 算法，计算判断矩阵元素各个位置上能达到最佳一致 性时的元素值，通过原判断矩阵元素和具有最佳一致 性时元素取值的距离，找出不一致元素并做相应地调 整［7］。吴祈宗等根据对数最小二乘原理，提出一种对 判断矩阵进行动态修正的方法［8］。杨永清提出用判 断矩阵的次序一致性和绝对一致性修正准则对不符 合一致性指标的判断矩阵进行修正的方法［14］。J． A． Gomez-Ruiz等针对判断矩阵不完整，即判断矩阵中的 元素有丢失的情况，提出一种运用神经网络算法对其 进行修复并进行一致性改进的方法。该方法解决了 不完整判断矩阵修复调整的问题，但也存在其在进行 神经网络算法调整的过程中缺少明确的调整方向( 教 师信号) ，而且经神经网络算法调整后出现了小数标 度与萨迪标度不符的不足。 本文在综合分析前人研究成果的基础上，针对这 些问题提出一种基于 BP神经网络的判断矩阵一致性 调整方法。该方法建立判断矩阵的 BP 神经网络模 型，构造完全一致性矩阵作为神经网络的调整方向 ( 教师信号) 。该方法的基本调整思路是: 运用 BP 神 经网络算法使原判断矩阵逐步向构建的完全一致性 矩阵逼近以达到满意的一致性，并把调整后的判断矩 阵返回专家组确认，使其符合萨迪标度，本文与文献 ［12］所述方法相比主要存在以下不同点。 1) 针对的情形不同。文献［12］主要针对的是非 完整判断矩阵，而本文针对的是完整的判断矩阵。 2) 文献［12］在调整的过程中缺乏明确的调整方 向，只是使调整后的判断矩阵满足一致性比例 CR，而 本文具有明确的调整方向，在满足一致性指标的同时 可以尽量保留判断矩阵的原始信息。 3) 经文献［12］调整后的判断矩阵出现了小数标 度，本文弥补了这种不足，使调整后的判断矩阵返回 专家组重新确认消除小数标度。使最终调整的判断 矩阵更加符合决策者的决策心里。 1 基本定义与定理 为论述的严密性和完整性，以下简要引述部分关 键的 AHP基本概念，完整内容可查阅相关文献［9-10］。 定义 1:若矩阵 A = ( aij ) n × n满足: 1 ) 非负性: aij ＞ 0，( i、j∈ { 1，2，…，n} ) 。2 ) 互反性: aij aji = 1，( i、j∈ { 1，2，…，n} ) 。3) 对角线上元素为 1: aii = 1，( i∈{ 1， 2，…，n} ) 。则称 A为 n阶正互反判断矩阵。 定义 2: A为 n 阶正互反判断矩阵，若式( 1) 成立， 则称 A为 n阶一致性正互反判断矩阵。 aij = aikakj i、j、k = 1，2，…，n ( 1)………… 定理 1:对于正互反判断矩阵 A = ( aij ) n × n，若施加 式( 2) 数学变换，则由此构建的矩阵 A^ = ( a^ij ) n × n为完 全一致性矩阵。 a^ = ∑ n l = 1 ail /∑ n l = 1 ajl i、j∈ Ω ( 2)…………… 式中: Ω为正整数集合。 定理 2:矩阵 A 为完全一致性矩阵的充分必要条 件是 A = A^。 利用和积法近似求解判断矩阵最大特征根和标 准化特征向量的方法如下。 1) 按列将正互反判断矩阵 A规范化，即: bij = aij ∑ n k = 1 akj i、j∈ { 1，2，…，n} ( 3)……… 式中: bij为判断矩阵 A元素的一般项。 2) 计算 wi : wi = ∑ n j = 1 bij i∈ { 1，2，…，n} ( 4)………… 式中: wi 为判断矩阵 A的特征向量元素。 3) 将 wi 进行规范化获得 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化的特征向量 wi : wi = wi ∑ n i = 1 wi i∈ { 1，2，…，n} ( 5)………… 4) 计算最大特征根 λmax : λmax = ∑ n i = 1 ∑ n j = 1 aijwj nwi ( 6)………………………… 在应用层次分析法的过程中，专家通常使用萨迪 1 ～ 9 标度作为评分标准构造出判断矩阵( 见表 1) 。 由于客观事物的复杂性和人为判断的主观性，专 家给出的判断矩阵往往不具有一致性，而不符合一致 性的判断矩阵是不能用作决策依据的。这就需要对 判断矩阵进行一致性检验。检验量是一致性指标 CI， 其计算式为: CI = λmax － n n － 1 ( 7)……………………………… 若 A满足一致性，则 λmax = n，CI = 0。若 CI ＞ 0 或 λmax ＞ n，则 A 不完全满足一致性，而存在一定偏差 ( λmax － n) 。偏差越大，一致性越差。 41 于建华，等: 基于 BP神经网络的 AHP判断矩阵调整方法 2011 年第 3 期 表 1 判断矩阵中各元素的确定 指标 i比较指标 j aij 同样重要 稍微( 不) 重要 相当( 不) 重要 强烈( 不) 重要 极端( 不) 重要 1 3( 1 /3) 5( 1 /5) 7( 1 /7) 9( 1 /9) 重要介于相邻两奇数之间 不重要介于相邻两奇数之间 2 4 6 8 1 /2 1 /4 1 /6 1 /8 一般来说，判断矩阵的阶数越大，偏差越大。为 了消减阶数 n对一致性的变差放大效应，萨迪引进了 平均随机系数 RI 对 CI 进行修正，从而得到随机一致 性比例 CR为: CR = CIRI ( 8)…………………………………… 平均随机系数 RI的取值随着阶数 n单调递增，其 取值见表 2。一般认为:若 CR ＜ 0. 1，则判断矩阵 A满 足一致性;否则需要对 A进行修正。 表 2 平均随机系数 RI的取值 参数 数值 n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 RI 0. 52 0. 89 1. 12 1. 24 1. 32 1. 41 1. 45 1. 49 1. 51 1. 54 2 BP神经网络模型的构建 BP神经网络是一种多层网络的“逆推”学习算 法，其基本思想是，学习过程由信号的正向传播与误 差的反向传播 2 个过程组成。正向传播时，输入样本 从输入层传入，经隐含层处理后传向输出层。若输出 层的实际输出与期望输出( 教师信号) 不符，则转向误 差的反向传播阶段［11］。 2. 1 模型转化 BP 神经网络的结构由输入层、输出层和中间层 ( 或称隐含层) 组成。根据 BP神经网络的结构进行判 断矩阵的 BP神经网络模型转化。判断矩阵 A为: A = 1 a12 … a1n 1 /a12 1 … a2n     1 /a1n 1 /a2n …  1 把判断矩阵 A的元素 aij作为 BP神经网络输入层 的输入“xi”，则 BP神经网络共有 n 2 个输入;同理，BP 神经网络输出层的输出“yi”也有 n 2 个。隐含层神经 元个数一般不超过 30 个［12］。由式( 2 ) 构造完全一致 性矩阵，作为 BP神经网络的教师信号。 2. 2 模型的简化处理 由以上模型的转化可知，随着判断矩阵阶数的增 加，BP神经网络模型的输入层神经元个数会成二次方 形式增加，这将在很大程度上使神经网络复杂化，所 以有必要利用判断矩阵的性质对 BP 神经网络模型进 行简化。观察判断矩阵 A可以得到以下特点: 1) 由判 断矩阵 A的正互反性可以知道，对称于主对角线的元 素是线性相关的，即只要知道两对称于主对角线元素 其中的一个值，也就可以得到另外一个元素值。2 ) 判 断矩阵 A的主对角线元素恒为 1。3 ) 由萨迪 1 ～ 9 标 度可知判断矩阵 A 的元素的取值 aij∈( 1 /9，9 ) ，且大 于 1 的元素个数等于小于 1 的元素个数。 在借助于 MATLAB 神经网络工具箱进行 BP 神经 网络算法编程的过程中，选择双曲正切 S 型函数作为 BP神经网络的传递函数，该函数返回值在( － 1，1) 之 间。结合矩阵 A的 3个特点，选择矩阵 A中除主对角线 元素以外元素值小于等于 1( 如果等于 1 则等于 1 的元 素一定是成对出现，取等于 1 的元素个数的一半) 的元 素作为 BP神经网络输入层的输入“xi”。则输入层神经 元的个数可以减少为: n( n －1) /2 个。相应的输出层的 输出“yi”也减少为 n( n －1) /2。这样 BP神经网络模型 就得到了大大地简化。BP神经网络模型如图 1所示。 图 1 BP神经网络模型 3 一致性改进步骤 经过分析 BP 神经网络的建立过程，可以得出判 断矩阵 A的调整过程:首先计算矩阵 A 的最大特征值 λmax和一致性比例 CR，如果 CR 满足要求则无需进行 调整，若不满足则需要对矩阵 A进行调整。在进行 BP 神经网络算法调整前要明确神经网络的输入、教师信 号和预设误差精度 ε。其次，经 BP算法调整后的判断 矩阵 A'要重新返回专家组调整确认。最后计算调整 后的判断矩阵 A″的最大特征根 λmax和一致性比例 CR， 判断 CR是否满足要求，若不满足要求则返回 BP神经 网络算法，修改误差精度 ε重新调整;若 CR 满足要求 51 2011 年第 3 期 现代制造工程( Modern Manufacturing Engineering) 则结束调整。其具体的一致性调整流程如图 2 所示。 图 2 一致性调整流程 4 应用实例 某集团要实施一个科研项目，需要对科研项目方 案进行评价，项目 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 评价指标如图 3 所示。 图 3 项目方案评价指标 通过 问卷调查 小学生购买文具问卷调查问卷调查数据整理方法特医营养产品问卷调查表模板下载小学生交通安全意识问卷调查关于物理学习的问卷调查 专家给出的两两比较判断矩阵 A 为: A = 1 1 /9 3 1 /5 9 1 5 2 1 /3 1 /5 1 1 /2 5 1 /  2 2 1 对判断矩阵进行一致性检验，利用式( 3) 、式( 4) 、 式( 5) 、式( 6) 计算矩阵 A的最大特征根 λmax =4. 4644。 由式( 7) 、式( 8) 得: CR = 0. 172 ＞ 0. 1 不满足一致 性要求，需要进行一致性调整。 在进行调整运算之前，根据 BP 神经网络算法的 要求需要进行初始条件的设置。初始条件包括初始 连接权值、传递函数、学习函数、训练函数、学习步长、 学习效率和误差精度。连接权值是大于 0 小于 1 的常 数，初始权值的设置在 0 ～ 1 的范围内尽可能小一些。 传递函数和学习函数均选择双曲正切函数。取学习 效率 η = 0. 3。对矩阵 A进行一致性调整的过程如下: A = 1 1 /9 3 1 /5 9 1 5 2 1 /3 1 /5 1 1 /2 5 1 /  2 2 1 λmax = 4. 4644，CR = 0. 172 构造矩阵 A^为: A^ = 1 0. 2563 2. 1202 0. 5072 3. 9017 1 8. 3608 2 0. 4717 0. 1196 1 0. 2392  1. 9716 0. 5 4. 1806 1 进行 BP神经网络算法调整，输入单元的输入取: x1 x2 x3 x4 x5 x   6 = a12 a14 a31 a32 a34 a   42 = 1 /9 1 /5 1 /3 1 /5 1 /2 1 /  2 教师信号取: T1 T2 T3 T4 T5 T   6 = a^12 a^14 a^31 a^32 a^34 a^   42 = 0. 2563 0. 5072 0. 4717 0. 1196 0. 2392  0. 5 设置精度误差 ε =0. 01，经 50步调整输出结果为: y1 y2 y3 y4 y5 y   6 = a'12 a'14 a'31 a'32 a'34 a'   42 = 0. 2563 0. 3134 0. 4717 0. 3134 0. 3696  0. 3696 重构矩阵 A'为: A' = 1 0. 2563 2. 1200 0. 3134 3. 9017 1 3. 1908 2. 7056 0. 4717 0. 3134 1 0. 3696  3. 1908 0. 3696 2. 7056 1 返回专家组调整为: A″ = 1 1 /4 2 1 /3 4 1 3 3 1 /2 1 /3 1 1 /3 3 1 /  3 3 1 61 于建华，等: 基于 BP神经网络的 AHP判断矩阵调整方法 2011 年第 3 期 λmax =4. 2105，CR =0. 08 ＜0. 1，满足一致性指标，判 断矩阵可用，根据式( 3) 、式( 4) 、式( 5) 得各指标的权重 向量 W =［w1 w2 w3 w4］ =［0. 1342 0. 4876 0. 1029 0. 2662］，即 w2 ＞ w4 ＞ w1 ＞ w3。 分析说明: 1 ) 以上计算实例中，矩阵最大特征根 采用和积法近似计算求得。2 ) 原判断矩阵 A 经过 BP 神经网络调整后出现了小数点标度，这与萨迪 1 ～ 9 标 度不尽相符。这一问题可以通过以下途径解决: 以调 整后的判断矩阵为参考，反馈给专家组评比修改。一 个简单的方法是可以把矩阵 A'中所有大于 1 的元素 按照四舍五入的方法改写为整数，同时根据互反性修 改相应的元素，然后再计算一致性指标，满足要求结 束调整，不满足再做调整。3 ) 对于不满足一致性的判 断矩阵，在一致性调整的过程中必定伴随着原始信息 的丢失。一般来说经过调整后判断矩阵的一致性越 高，原始信息的丢失越严重。因此，为了尽量保留判 断矩阵的原始信息，在用 BP 算法进行一致性调整的 过程中误差控制可以用一致性指标 CR 进行控制，即 每进行一次正向计算都计算一次调整后矩阵的一致 性指标 CR，判断其是否满足要求，如果满足要求即可 结束计算，不满足则继续调整。这样能够尽可能地保 留判断矩阵的原始信息。 5 结论 本文针对层次分析法中判断矩阵的一致性调整 问题提出了一种基于 BP神经网络的调整算法。该方 法的关键是怎样把判断矩阵一致性调整问题转化为 BP神经网络模型。通过 BP 算法把原始判断矩阵向 由原始判断矩阵构造的完全一致性判断矩阵调整，直 到满足一致性要求。经分析还可以得出: 在进行 BP 神经网络调整的过程中，可以通过控制误差精度来保 留更多的原始信息。精度越高，调整后的判断矩阵一 致性越好，保留原判断矩阵的信息越少;相反，精度越 低，调整后的判断矩阵的一致性越差，保留原判断矩阵 的信息也就越多。一般来说，在满足一致性要求的情况 下，精度的设置应尽量低些，这样就能尽可能多地保留 判断矩阵的原始信息。调整后的判断矩阵出现了小数 标度，需要返回专家组重新确认，使其满足萨迪标度，这 样符合决策者的决策心里。通过实例分析可知，该方法 是切实可行的，具有可信性，值得决策者信赖。 参 考 文 献: ［1］ Saaty T L． Decision making with the AHP: why is the principal eigenvector necessary［J］． European Journal of Operational Research，2003，145( 1) ． ［2］ 华中生，吴云燕，徐晓燕．一种 AHP判断矩阵一致性 调整的新方法［J］． 系统工程与电子技术，2003，25 ( 1) ． ［3］ Aguaron 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Computer Science，Proceedings of the 10th International Work-Conference on Artificial Neural Networks: Part I: Bio-Inspired Systems: Computational and Ambient Intelligence［C］． Berlin: Springer-Ver- lag，2009: 41 － 48． ［13］ 魏翠萍，章志敏．一种改进判断矩阵一致性的算法 ［J］．系统工程理论与实践，2000，20( 8) ． ［14］ 杨永清．层次分析法中判断矩阵不一致性调整方法 研究［J］．运筹与管理，1999，8( 3) ． 作者简介: 于建华，硕士研究生，研究方向: 数字化设计与制造技 术。 孙首群，博士，已发表论文 30 余篇，出版学术专著 1 部， 主要研究方向: 机电系统的电热耦合动力学。 E-mail: jrssq@ 163. com 收稿日期: 2010-06-04 71