线性响应理论

第十四章 线性响应理论 §14.1 线性响应函数 对系统加上外场，或更一般地说，对系统施以某种扰动的话，则系统的一些 性质，如热力学量，会产生相应的变化，这就叫响应(response). 如果外场(扰动)比较小，则热力学量的变化与外场(扰动)成正比，为线性关 系.这就是线性响应.其比例系数(一般是个函数)称为线性响应函数(linear response function).它可以用格林函数来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达. 　 推导线性响应公式有两个前提：一是扰动较小，这儿较小的涵义是:由扰动 引起的哈密顿可以作为微扰来处理.二是响应能够及时追随扰动.为了做到这一 点，需要假定绝热条件，令扰动是缓慢加上去的.在 t= −∞时，系统处于平衡态， 或叫作纯态.哈密顿量为 H. 扰动一般是由外场引起的.现在考虑对系统加一外场 F，作为一般情况，设 外场为矢量.设初始条件为 ( , ) 0t = −∞ =F x (14.1.1a) 如果外场本身并不含时间，为了做到这一点，可令 0( , ) e ( )tt +=F x F x ) (14.1.1b) 即加上一个因子 使之符合条件(14.1.1a). 0e t+ 设扰动引起的哈密顿量为 3 1 1 d ( ) ( , ) d ( ) ( ,H t C Fα α α= = − ⋅ = −∑∫ ∫xC x F x x x x t ) (14.1.2) 其中 C 应是系统本身的某一个物理量.由于扰动，系统内就有一个力学量 D 受到 变化，变化的量为ΔD.现在来推导这个变化量的表达式.注意，由于这儿的 C 和 D 是系统本身的物理量，因此都是算符.外场 F(t)不是算符.但表现了 H1 随时间的变 化.举例来说，外加电磁场后引起的哈密顿量为 1 d ( , ) d ( ,H t enϕ= − ⋅ −∫ ∫xj A x x x t ) (14.1.3) 其中 A 与ϕ为外场的矢势与标势，j 与 n 分别为系统内的电流密度与粒子数密度 算符.F、C 和 D 这三个量也可以都不是矢量，以下的推导过程不变. 假设扰动之后，总的哈密顿量为 T 1 d ( ) ( ,H H H H t= + = − ⋅∫ xC x F x (14.1.4) 未有扰动时，系统处于平衡态，统计算符是ρ0. 0 0 e H Z β ρ − = (14.1.5) 它与 H 是对易的.此时物理量 D 在系综内的统计平均是 10 0 0Tr[ ] | | e | |n E n n n n n Z β nρ ψ ρ ψ ψ ψ−−= 〈 〉 = 〈∑ ∑D D D 〉 (14.1.6) 加上扰动后，系统的统计算符应是 e( ) TH t Z β ρ − = (14.1.7) 由于(14.1.1)式，有 0( )tρ ρ= −∞ = (14.1.8) 物理量 D 的统计平均是 ( )1Tr[ ( ) ] ( ) | ( ) | ( ) e ( ) | | ( )nE tn n n n n t t t t Z tβρ ψ ρ ψ ψ ψ−−= 〈 〉 = 〈 n t 〉∑ ∑D D D (14.1.9) 我们要计算的是扰动引起的 D 的变化量 0Tr[ ( ) ] Tr[ ]tρΔ = −D D ρ D (14.1.10) 要注意的是，此式右边两项的求平均所用的状态是不一样的，见(14.1.6)和(14.1.9) 两式.因为扰动肯定是要引起状态的变化的. 现在我们假定，扰动虽然引起了状态的变化，但是不改变状态的数目与顺序. 因而 | ( )n tψ 〉与 | nψ 〉是一一对应的.即，扰动时状态 | nψ 〉变化成 | ( )n tψ 〉 .这就是状态 随时间的演化.§8.2 节中已经介绍过，可以用时间演化算符来表示这种变化.由于 现在的哈密顿量是时间的函数，应该定义 0 0 1 T( , ) d ( ) t t 1 A t t t H t= ∫ (14.1.11) 态随时间的演化如下. 0i ( , ) / t| ( ) e | A t t n t T nψ ψ−〉 = 〉= (14.1.12) 此式是满足薛定谔方程的.在§8.2 节中，我们已经求出了相互作用表象中的时间 演化算符 0i ( , ) / i /i / I 0 t( , ) e [e ]e A t t HtHtU t t T − −= == 0 = (14.1.13) 的近似到一级的表达式为 0 i I 0 1 1 1 1( , ) 1 d ( ) i t t U t t t H t= + ∫= (14.1.14) 见(8.2.18)式. i / i / 1 1( ) e e i Ht HH t H −= = t = (14.1.15) 本节的 HT 和 H 分别对应于§8.2 节的 H 和 H0.D 与 C 随时间变化的关系定义如下. i / i /( ) e eHt Ht −=D D= =t ， i / i /( ) e eHt HC t C −= = t = (14.1.16) 状态随时间的演化如下. 0 0 0 0 i / i /i / i / i I 0 1 1 1 1| ( ) lim e ( , )e | lim e [1 d ( )]e | i tHt HtHt Ht n nt t t U t t t H t nψ ψ ψ− − −∞→−∞ →−∞〉 = 〉 = + 〉∫= == = = (14.1.17) 代入(14.1.6)式， 0 00 0 0 ( ) i /1 i 1 1 1 i /i / i 1 1 1 ( )1 i 1 1 1 1 1 1 ( )1 1Tr[ ( ) ] lim e | e [1 d ( )]e i 1e [1 d ( )]e | i 1 1e | [1 d ( )] ( )[1 d ( )] | i i e | ( n n n tE t Ht Ht n tt n t HtHt nt t tE t n n n E t n n t Z t H t t H t Z t H t t t Z t β β β ρ ψ ψ i / iH tψ ψ ψ − −− →−∞ − −− −∞ −∞ −− = 〈 − × + 〉 = 〈 − + = 〈 ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∑ D D D D = = == = = = = 〉 i 1 1 1 1) d [ ( ), ( )] | i t nt H t t ψ−∞− 〉∫ D= (14.1.18) 其中已经忽略了相互作用的二次方项.下面再做近似，把统计权重中的能级 En(t) 近似为无扰动时的 En.相当于(14.1.9)式中取ρ(t)= ρ0.这要求扰动导致的能级的移 动是很小的. i 0 1 1 1 1Tr[ ( ) ] | { ( ) d [ ( ), ( )]} | i t n n n t t t H t tρ ψ ρ ψ−∞= 〈 −∑ ∫D D D= 〉 (14.1.19) 上面的所有近似都要求：扰动确实是微扰.如此，线性响应的公式才有效. 现在可以求得(14.1.10)的结果. i 1 0 1 1 i 1 0 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 R 1 1 1 1 1( ) d | [ ( ), ( )] | i i id Tr{ [ ( ), ( )]} d d [ ( ), ( , )] ( , ) i d d ( ) [ ( ), ( , )] ( , ) 1 d d ( , ) ( t n n n t t C t t H t t t H t t t t t t t t t C t F t t g t t Fα α α α α α ψ ρ ψ ρ θ −∞ −∞ −∞ ∞ −∞= ∞ −∞= Δ = − 〈 〉 = = 〈 = − 〈 〉 = − ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∑∫ ∫ ∑∫ ∫ D D D D x D C x x D x x x = = = = = 1 1, )tx 1t〉 ⋅F x (14.1.20) 此式说明，当加上外场 F 后，相应的物理量 D 的变化与外场成正比，比例系数 正是(9.1.2)式定义的由 D 与另一物理量组成的推迟格林函数.此式称为久保(Kubo) 公式，是线性响应理论中最基本的公式.它表示 t1 时刻的扰动，在 t>t1 时刻对 D 产生的影响.经常遇到的情况是 D = C.下面要讲的磁化率就是一例.我们要记住， 如果是恒定的不随时间变化的外场，那么，绝热假设要求应该有一个因子 ， 见(14.1.1b)式. 0e t + 把(14.1.20)的分量明确写出来，并且如果 D 还是坐标的函数，有 3 1 1 1 1 1( , ) d d ( , )D t t Z F tβ βα α α ∞ −∞= Δ = − ∑∫ ∫=x x 1x (14.1.21) 那么系数就是 R 1 1 1 ( , )D DZ g tβ αβα = − x x= t (14.1.22) 假定推迟格林函数只是时间差 t−t1 的函数，那么可做傅立叶变换.为简便起 见，我们忽略表示直角坐标分量的下标. i i R 1 1 1 1 1 1 1 1( ) e d ( ) e d d d ( , ) ( , ) 2π 2π t t CD t D t t t g t t ω ωω ∞ ∞ ∞−∞ −∞ −∞Δ = Δ = −∫ ∫ ∫ ∫ Dx= F tx (14.1.23) 结果是如下的线性关系. 　 ( ) ( ) ( )D Fω α ω ωΔ = (14.1.24) (14.1.23)式右边计算的具体步骤是：将F(t1)作傅立叶展开，写成 1 1i 11 de ( ) 2π t Fω ωω∞ −−∞∫ , 再将 e 指数上的量写成ωt−ω1t1=ω(t−t1) −(ω1−ω)t1,令 t−t1=τ，则对τ 的积分与 t1 无 关，对 dt1 积分可得到δ (ω −ω1),最后得到响应系数为 ii( ) e d ( ) [ ( ), (0)] e d ( )t DCt t D t C tg t ωα ω θ∞−∞ −∞= 〈 〉 = −∫ ∫= i Rtω ∞ (14.1.25) 此式表明响应系数α(ω)是 的傅立叶分量.从§9.2 节已知由格林函数可求出 系统的热力学量.本节则表明格林函数可求出线性响应函数.例如由电流对电场的 响应可写出电导率.由磁化强度对磁场的响应可求磁导率，以及热导率，扩散系 数等等.因此，利用格林函数这一手段，几乎可了解系统的所有物理性质. R ( )DCg t 现在我们把响应系数写成另一表达式，以便后面与松原线性响应系数作比 较. i 0 i i( ) e d | [ ( ) (0) (0) ( )] | i e d ( )[ | ( ) | | (0) | | (0) | | ( ) | t m m t m mn t m D t C C D t m t t m D t n n C m m C n n D t m ω ω α ω ρ ρ θ ∞ ∞ −∞ = 〈 − 〉 = 〈 〉〈 〉 − 〈 〉〈 ∑∫ ∑ ∫ = = ]〉 (14.1.26) 下面再用(14.1.16)代入，H|m〉=εm|m〉，θ(t)用(9.1.22)式，再令〈m|D|n〉 = Dmn, 〈m|C|n〉 = Cmn, ωmn=(εm−εn) /ħ, i i( ) + + i e( ) d d e ( ) 2πi i0 ( ) i0 mn t t mn nm n m mn mn nm n m mn mn t C D C D ε ω ωα ω εε ρ ρ ω ω −∞ − −∞ −= −+ −= − − + ∑ ∫ ∑ ρ ρ )n (14.1.27) 再由 ，得： e e (1 en m mn m nβε βε β ωρ ρ ρ− − −− = − = − = 　　 ( ) (1 e ) i0 mnnm mn n mn mn D C β ωρα ω ω ω − += − −− +∑ = (14.1.28) 注意：前面的推导过程使用的哈密顿量 H 和相应的本征态|m〉是属于未微扰系统 的. 久保公式还有另外一个形式. 10 1 10 1 1( , ) e d d ( i ) ( , ) t tt t H t t β λ λ+−∞ t ∂ ′Δ = 〈 −∂∫ ∫D x D x= 〉 (14.1.32) 其中在求迹号内做了算符轮换，然后把(14.1.29)式代入.此式可称为零频率公式， 因为它的实部不含频率. 要特别注意一个区别：(14.1.20)式右边是用推迟格林函数来表达的 .而 (14.1.32)是右边是用关联函数来表达的. §14.2 虚时线性响应函数 上一节中利用热力学格林函数可求出线性响应函数,以了解外场对系统扰动 时系统内力学量的变化.松原函数也应该能够达到这个目的.松原函数是虚时间的 函数,因此只能得到虚时间的线性响应函数[1] (也称松原响应函数),再由此来求实 际的响应函数.为了做到这一点，要分两步走:第一步,类似于(14.1.25)式的实时响 应系数α(ω),要求出一个虚时的响应系数ατ(ζ)的公式;第二步是找出ατ(ζ)与α(ω) 之间的关系. 作 t→ −iτ的替代将实时改为虚时.这儿τ的取值范围是[−βħ, βħ].设系统受到 一个微扰 1 ( )H CF τ= − (14.2.1) 其中各符号的意义与上一节相同,只是以虚时间作为变量.我们用§11.1 节中的公 式.那儿的 H −μN 和 H0 −μN 分别对应于本节的 HT和 H. 回顾前面介绍过的三种绘景.在薛定谔绘景中，力学量算符不随时间变化， 而状态随时间变化.力学量在系综中的平均值随时间的倚赖由状态来体现.在海森 伯绘景中，力学量算符随时间变化，而状态不随时间变化.力学量在系综中的平 均值随时间的倚赖由算符来体现.这两种平均值是完全相等的.所以我们用海森伯 绘景来计算平均值.按照(11.1.12)或者(11.1.14)，一个力学量在有扰动系综中的平 均值可以借助于虚时演化算符写成在无扰动系综中的平均值. 0 0 ( ) I H ( ) Tr{e [ ( ) ( ,0)]}( ) Tr[e ( ,0)] H N H N T D UD U β μ τ β μ τ βτ β − − − −〈 〉 = == (14.2.2) 此式的左边是在有扰动系综中的求平均，而右边是在无扰动系综中的平均值.虚 时演化算符的表达式是(11.1.8) i 1 I 1 10 1( ,0) 1 d ( ) ( ,0)U H ττ τ τ= − ∫= U τ (14.2.3) 我们在(14.2.2)式的分母中的 U 只取到(14.2.3)式右边的第一项.那么 H 0 I 0 I( ) Tr{ [ ( ) ( ,0)]} Tr[ ( , ) ( ) ( ,0)]D T D U U D Uττ ρ τ β ρ β τ τ τ〈 〉 = == = (14.2.4) 再将其中的 U 取到(14.2.3)式中的一级近似. i i H 0 I 1 1 I I 20 ( ) Tr{ [1 ( )d ] ( )[1 ( )d ]}D H D H β τ ττ ρ τ τ τ τ τ〈 〉 = − −∫ ∫= 2 (14.2.5) 其中第一项 Tr[ρ0DI(τ)]＝Tr[ρ0D]＝〈D〉0 移到左边成为 ( )D τΔ .略去二阶项后成为 i i 0 I 1 1 I I I 1 10 0 1 I 1 1 I 1 I 1 I 1 1 10 0 0 1 I 1 I 10 1 1 10 ( ) Tr{ [ ( )d ( ) ( ) ( ) ]} Tr{ [ ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d ]} Tr{ d [ ( ) ( )] ( )} d [ ( ) ( )] ( ) D H D D H d C F D D C F T C D F T C D F β τ τ β β β τ β τ τ ρ τ τ τ τ τ τ ρ θ τ τ τ τ τ τ τ θ τ τ τ τ τ ρ τ τ τ τ τ τ τ τ Δ = − + = − + − = = 〈 〉 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = = = = (14.2.6) 由此式看到，线性响应可以用松原函数来表达. E 和 C 都是可测量的力学量,有经典极限,所以应按玻色子算符来处理.现在对 (14.2.6)式作傅立叶变换,因τ 的取值范围有限,频率只能取分立值.又由于等式右 边为一由玻色算符组成的松原函数,按§11.2 节所介绍的性质,富氏展开的频率只 能取偶数ζ n =2nπ/βħ.作变换: i 0 (i ) e ( )dnnD D β ξ τξ τ τΔ = Δ∫ = , i1( ) (i )e nn n F F ξ ττ ξβ ∞ − =−∞ = ∑= (14.2.7) 1 1 1 i i 1 10 0 i ( ) i( ) 1 10 0 1(i ) e d d (i )e [ ( ) ( )] 1d e d (i )e [ ( ) ( )] n m n n m n m m m m D F F T C D β βξ τ ξ τ τ β β ξ τ τ ξ ξ τ τ T C Dξ τ τ ξ τ τβ τ τ ξ τ τβ ∞ − =−∞ ∞− − =−∞ Δ = 〈 = 〈 ∑∫ ∫ ∑∫ ∫ = = = = = = 〉 〉 (14.2.8) 现在令τ −τ 1＝τ′,则松原函数只是“时间差”τ′的函数而与τ 1 无关,对τ 1 积分得δnm, 再对 m 求和得到 F(iζ n). τ 和τ 1的积分范围是 0～βħ.由于 Tτ 的限制, τ′=τ −τ 1 的 积分范围仍是 0～βħ. i 0 (i ) e d [ ( ) (0)] (i )nnD T D C β ξ τ τΔ ξ τ τ ξ= 〈 〉∫ = nF 〉 (14.2.9) 响应系数为: i 0 ( ) e d ( ) (0)nn D C β ξ τ τα ξ τ τ= 〈∫ = (14.2.10) 由于必然有τ＞0,所以编时算符 Tτ可去掉.现在得到了与(14.1.25)式的α(ω)相似的 表达式,实现了第一步.为了实现第二步,作下述操作 i 0 i i 0 (i ) e | ( ) | | | d ee e d i 1 e i l l nm l mn mn l m mn m mn nm m mn nm mn mn l nm n nm mn mn l mn m D n n C m D C D C D C β ξ τ τ ξ β ω ββ ξ τ τω β ω α ξ ρ τ τ ρ τ ρ ξ ω ρ ξ ω − − = 〈 〉〈 〉 1−= = − −= − − ∑ ∫ ∑ ∑∫ ∑ = = == = (14.2.11) 其中令〈n|C|m〉=Cnm, 〈n|D|m〉=Dnm/ħ,Em−En= ħω nm，对 dτ 积分后,得用了ζl =2lπ/βħ, 最后一个等号将 m 和 n 交换.将(14.2.11)式与(14.1.28)式比较,有 ( ) (i ), 0l l lτα ξ α ξ ξ= > (14.2.12) 由(14.1.25)式可以看到,当ω取在虚轴的正半部分时, α(ω)是个实量,所以函数ατ(ζ l) 在ζ l＞0　时是实函数,又从(14.2.11)式看到, ατ(−ζ l)= ατ∗(ζ l)＝ατ(ζ l)，故ατ(ζ l)是ζ l的实的偶函数. 将(12.4.11)作 iζ l→ω＋i0+的解析延拓,就得到(14.1.28). ( ) (i i0 )lτα ω α ξ ω += = + (14.2.13) 这与松原函数解析延拓成推迟格林函数的方式一样.