知识框架图
7 计数综合
7-7 容斥原理
7-7-1两量重叠问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
7-7-2三量重叠问题
7-7-3图形中的重叠问题
7-7-4容斥原理在数论问题中的应用
7-7-5容斥原理中的最值问题
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.
一、两量重叠问题
在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:
(其中符号“
”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“
”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:
表示小圆部分,
表示大圆部分,
表示大圆与小圆的公共部分,记为:
,即阴影面积.图示如下:
表示小圆部分,
表示大圆部分,
表示大圆与小圆的公共部分,记为:
,即阴影面积.
包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合
的并集
的元素的个数,可分以下两步进行:
第一步:分别计算集合
的元素个数,然后加起来,即先求
(意思是把
的一切元素都“包含”进来,加在一起);
第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去
(意思是“排除”了重复计算的元素个数).
二、三量重叠问题
类、
类与
类元素个数的总和
类元素的个数
类元素个数
类元素个数
既是
类又是
类的元素个数
既是
类又是
类的元素个数
既是
类又是
类的元素个数
同时是
类、
类、
类的元素个数.用符号表示为:
.图示如下:
在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
思考.
模块一、两量重叠问题
【例 1】 实验小学四年级二班,参加语文兴趣小组的有
人,参加数学兴趣小组的有
人,有
人两个小组都参加.这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组?(2级)
【巩固】 芳草地小学四年级有
人学钢琴,
人学画画,
人既学钢琴又学画画,问只学钢琴和只学画画的分别有多少人?(2级)
【巩固】 四(二)班有
名学生,在一节自习课上,写完语文作业的有
人,写完数学作业的有
人,语文数学都没写完的有
人.
⑴ 问语文数学都写完的有多少人?
⑵ 只写完语文作业的有多少人? (2级)
【例 2】 某班共有
人,参加美术小组的有
人,参加音乐小组的有
人,有
人两个小组都参加了.这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人?(2级)
【巩固】 四年级一班有
人,其中
人参加了数学竞赛,
人参加了作文比赛,
人两项比赛都参加了.一班有多少人两项比赛都没有参加?(2级)
【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里,能表演独唱的有10人,能表演跳舞的有18人,两种都能表演的有7人.这个表演队共有多少人能登台表演歌舞?(2级)
【例 3】 某次英语考试由两部分组成,结果全班有
人得满分,第一部分有
人做对,第二部分有
人有错,问两部分都有错的有多少人?(4级)
【例 4】 对全班同学调查发现,会游泳的有
人,会打篮球的有
人.两项都会的有
人,两项都不会的有
人.这个班一共有多少人?(4级)
【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛,参加象棋比赛的有
人,参加军棋比赛的有
人,有
人两项比赛都参加了,这个班参加棋类比赛的共有多少人?(4级)
【例 5】 在
人参加的采摘活动中,只采了樱桃的有
人,既采了樱桃又采了杏的有
人,既没采樱桃又没采杏的有
人,问:只采了杏的有多少人?(4级)
【例 6】 甲、乙、丙三个小组学雷锋,为学校擦玻璃,其中
块玻璃不是甲组擦的,
块玻璃不是乙组擦的,且甲组与乙组一共擦了
块玻璃.那么,甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃?(4级)
【例 7】 育才小学画展上展出了许多幅画,其中有16幅画不是六年级的,有15幅画不是五年级的,五、六年级共展出25幅画,其他年级的画共有多少幅?(4级)
【例 8】
名学生参加数学和语文考试,其中语文得分
分以上的
人,数学得分
分以上的
人,两门都不在
分以上的有
人.问:两门都在
分以上的有多少人?(4级)
【巩固】 (第二届小学迎春杯数学竞赛)有
位旅客,其中有
人既不懂英语又不懂俄语,有
人懂英语,
人懂俄语.问既懂英语又懂俄语的有多少人? (4级)
【例 9】 一个班
人,完成作业的情况有三种:一种是完成语文作业没完成数学作业;一种是完成数学作业没完成语文作业;一种是语文、数学作业都完成了.已知做完语文作业的有
人;做完数学作业的有
人.这些人中语文、数学作业都完成的有多少人?(4级)
【巩固】 四年级科技活动组共有
人.在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中,老师到时清点发现:剪贴好一辆汽车模型的同学有
人,装配好一架飞机模型的同学有
人.每个同学都至少完成了一项活动.问:同时完成这两项活动的同学有多少人?(4级)
【巩固】 科技活动小组有
人.在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中,老师到时清点发现:制作好一架飞机模型的同学有
人,制作好一艘舰艇的同学有
人.每个同学都至少完成了一项制作.问两项制作都完成的同学有多少人?(4级)
【例 10】 一次数学测验,甲答错题目总数的,乙答错3道题,两人都答错的题目是题目总数的.求甲、乙都答对的题目数.(6级)
【例 11】 小赵、小钱、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王,这8名同学站成一排.其中小孙和小周不能相邻,小钱和小吴也不能相邻,小李必须在小郑和小王之间(可相邻也可不相邻).则不同的排列方法共有________种.(6级)
模块二、三量重叠问题
【例 12】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗,已知手中有红旗的共有
人,手中有黄旗的共有
人,手中有蓝旗的共有
人.其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有
人.而手中只有红、黄两种小旗的有
人,手中只有黄、蓝两种小旗的有
人,手中只有红、蓝两种小旗的有
人,那么这个班共有多少人?(6级)
【巩固】 某班有
人,其中
人爱打篮球,
人爱打排球,
人爱踢足球,
人既爱打篮球又爱踢足球,
人既爱打排球又爱踢足球,没有一个人三种球都爱好,也没有一个人三种球都不爱好.问:既爱打篮球又爱打排球的有几人?(6级)
【例 13】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍,又是3项活动都参加人数的7倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数.(6级)
【例 14】 (2008年西城实验考题)新年联欢会上,共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出.如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数;同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人;只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人;50人没有参加演奏;10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏;40人参加了合唱;那么,同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人.(6级)
【巩固】 五年级三班有46名学生参加三项课外活动,其中24人参加了绘画小组,20人参加了合唱小组,参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍,又是三项活动都参加人数的7倍,既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍,既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人,求参加朗诵小组的人数.(6级)
【巩固】 六年级100名同学,每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项.其中,爱好体育的55人,爱好文艺的56人,爱好科学的51人,三项都爱好的15人,只爱好体育和科学的4人,只爱好体育和文艺的17人.问:有多少人只爱好科学和文艺两项?只爱好体育的有多少人?(6级)
【例 15】 在某个风和日丽的日子,
个同学相约去野餐,每个人都带了吃的,其中
个人带了汉堡,
个人带了鸡腿,
个人带了芝士蛋糕,有
个人既带了汉堡又带了鸡腿,
个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕.
个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕.问:
⑴ 三种都带了的有几人?
⑵ 只带了一种的有几个?(8级)
【巩固】 盛夏的一天,有
个同学去冷饮店,向服务员交了一份需要冷饮的统计表:要可乐、雪碧、橙汁的各有
人;可乐、雪碧都要的有
人;可乐、橙汁都要的有
人;雪碧、橙汁都要的有
人;三样都要的只有
人,证明其中一定有
人这三种饮料都没有要.(8级)
【例 16】 全班有
个学生,其中
人会骑自行车,
人会游泳,
人会滑冰,这三个运动项目没有人全会,至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了,但又都不是优秀.若全班有
个人数学不及格,那么,
⑴ 数学成绩优秀的有几个学生?
⑵ 有几个人既会游泳,又会滑冰?(8级)
【例 17】 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛,比赛一共只有三个项目,已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人,长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目,求这所学校一共派出多少人参加比赛?(8级)
模块三、图形中的重叠问题
【例 18】 把长
厘米和
厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长
厘米,焊接后这根铁条有多长?(2级)
【巩固】 把长
厘米和
厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长
厘米,焊接后这根铁条有多长?(2级)
【例 19】 两张长
厘米,宽
厘米的长方形纸摆放成如图所示形状.把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米?(2级)
【巩固】 如图
,一张长
厘米,宽
厘米,另一个正方形边长为
厘米,它们中间重叠的部分是一个边长为
厘米的正方形,求这个组合图形的面积.(2级)
【巩固】 一个长方形长
厘米,宽
厘米,另一个长方形长
厘米,宽
厘米,它们中间重叠的部分是一个边长
厘米的正方形,求这个组合图形的面积.(2级)
【例 20】 三个面积均为
平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图),三个纸片共同重叠的面积是
平方厘米.三个纸片盖住桌面的总面积是
厘米.问:图中阴影部分面积之和是多少?(4级)
【巩固】 如图,已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6,8,5,而3个圆覆盖的总面积为73.求阴影部分的面积.(4级)
【例 21】 如图,三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等,都等于60平方厘米.阴影部分的面积总和是40平方厘米,3张板盖住的总面积是100平方厘米,3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米?(6级)
【巩固】 如图所示,
、
、
分别是面积为
、
、
的三张不同形状的纸片,它们重叠在一起,露在外面的总面积为
.若
与
、
与
的公共部分的面积分别为
、
,
、
、
这三张纸片的公共部分为
.求
与
公共部分的面积是多少?(6级)
模块四、容斥原理在数论问题中的应用
【例 22】 在
的全部自然数中,不是
的倍数也不是
的倍数的数有多少个?(4级)
【巩固】 在自然数
中,能被
或
中任一个整除的数有多少个?(4级)
【例 23】 在从1至1000的自然数中,既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有多少个?(4级)
【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数.(4级)
【例 24】 以105为分母的最简真分数共有多少个?它们的和为多少?(8级)
【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个?并求这些真分数的和.(8级)
【例 25】 (2008年西城实验考题)在1至2008这2008个自然数中,恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个.(6级)
【例 26】 在从1到1998的自然数中,能被2整除,但不能被3或7整除的数有多少个?(6级)
【例 27】 50名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1,2,3,…,49,50依次报数;再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问:现在面向老师的同学还有多少名?(6级)
【例 28】 有2000盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制着,现按其顺序编号为1,2,3,…,2000,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下,再将编号为3的倍数的灯线拉一下,最后将编号为5的倍数的灯线拉一下,三次拉完后,亮着的灯有多少盏?(6级)
【巩固】写有1到100编号的灯100盏,亮着排成一排,每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关,第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关,那么亮着的灯还有多少盏?(6级)
【例 29】 在一根长木棍上,有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成十等份;第二种将木棍分成十二等份;第三种将木棍分成十五等份;如果沿每条刻度线将木棍锯断,则木棍总共被锯成________段.(6级)
【例 30】 (2008年101中学考题)一根101厘米长的木棒,从同一端开始,第一次每隔2厘米画一个刻度,第二次每隔3厘米画一个刻度,第三次每隔5厘米画一个刻度,如果按刻度把木棒截断,那么可以截出 段.(8级)
【巩固】 一根
米长的木棍,从左端开始每隔2厘米画一个刻度,涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度,再从左端每隔5厘米画一个刻度,再从左端每隔7厘米画一个刻度,涂过按刻度把木棍截断,一共可以截成多少段小木棍?(8级)
模块五、容斥原理中的最值问题
【例 31】 图
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
室有100本书,借阅图书者需在图书上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33,44和55本,其中同时有甲、乙签名的图书为29本,同时有甲、丙签名的图书为25本,同时有乙、丙签名的图书为36本.问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?(8级)
第23讲-容斥原理
教学目标
例题精讲
1.先包含:� EMBED Equation.DSMT4 ���
重叠部分� EMBED Equation.DSMT4 ���、� EMBED Equation.DSMT4 ���、� EMBED Equation.DSMT4 ���重叠了� EMBED Equation.DSMT4 ���次,多加了� EMBED Equation.DSMT4 ���次.
2.再排除:� EMBED Equation.DSMT4 ���
重叠部分� EMBED Equation.DSMT4 ���重叠了� EMBED Equation.DSMT4 ���次,但是在进行� EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ���计算时都被减掉了.
3.再包含:� EMBED Equation.DSMT4 ���.
图中小圆表示� EMBED Equation.DSMT4 ���的元素的个数,中圆表示� EMBED Equation.DSMT4 ���的元素的个数,大圆表示� EMBED Equation.DSMT4 ���的元素的个数.
知识要点
1.先包含——� EMBED Equation.DSMT4 ���
重叠部分� EMBED Equation.DSMT4 ���计算了� EMBED Equation.DSMT4 ���次,多加了� EMBED Equation.DSMT4 ���次;
2.再排除——� EMBED Equation.DSMT4 ���
把多加了� EMBED Equation.DSMT4 ���次的重叠部分� EMBED Equation.DSMT4 ���减去.
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