1
现代量子力学
第一章:基本概念
1. Stern-Gerlach 实验
1)结果
加热的银原子束通过不均匀磁场后分裂为两束。
2)分析
● 磁场相互作用导致分裂,必是原子的磁矩M 引起的,相互作用势 V M B 。
● 磁矩与角动量 J成正比,M J 。
● 原子感受到的力 z z z zB BF V M e J ez z
分裂成对称的上下两束角动量在磁场方向(Z)只有大小相等方向相反的两个分量。如果原
子的角动量是由于本身自转引起的,热原子的角动量方向将是随机分布的,大量原子通过磁场后
在屏上会有一个对称的连续分布,而不是一个两分量分布。
银原子有 47 个电子,其中 46 个是满壳分布,球对称,整体不显示角动量。银原子的角动量
完全是由那个价电子引起的。稳定的二分量分布说明是由价电子的内禀角动量引起的,记为 s, zs
只有两个大小相等方向相反的值 zs和 zs。
3)量子性质
内禀物理量(与时空无关),物理量的分离取值。
4)级联 Stern-Gerlach 实验
入射原子束先后经过两个 Z 方向的磁场,见图 a。在第二个磁场之前 zs 有确定值 zs,故在磁
场中原子感受的力是确定的,在第二个磁场之后 zs 仍然有确定值 zs。
x
S
N
Ag
y
z
Sz+
Sz-
2
图 a
现在让入射原子束经过 Z 和 X 方向的两个磁场,见图 b。在第二个磁场中原子感受的力
x x
BF J e
x
。在第二个磁场之后观察到原子束分裂,说明在第二个磁场之前 xs 有两个值 xs和
xs
两个分量(虽然 zs 有确定值 zs)。
量子性质:当 zs 有确定值时, xs 没有确定值。 zs 和 xs 不能同时有确定值!
图 b
再让入射原子束经过 Z,X 和 Z 方向的三个磁场,见图 c。最后观察到 zs 有 zs和 zs两个分
量,说明在第三个磁场之前 zs 有两个值 zs和 zs两个分量(虽然 xs 有确定值 xs)。
再一次说明量子性质:当 xs 有确定值时, zs 没有确定值。 xs 和 zs 不能同时有确定值!
图 c
S
N
Sz+
Sz-
S
N
Sx+
Sx-
S
N
Sz+
Sz-
Sz+
Sz-
S
N
S
N Sx
-
Sx+
S
N
S
N
Sz+
Sz-
Sz+
3
5)与经典电磁波的类似性(实物粒子与光波的类似性)
沿 Z 方向传播的电磁波先后经过只允许 X 方向的波通过的滤波器(X filter)和只允许 Y 方向
的波通过的滤波器(Y filter)后全部消失。
0
0
( , ) ( ) cos( )
cos( )
0
x y
x
E r t E e e kz t
X filter E e kz t
Y filter
在 X filter 和 Y filter 之间放一个 X’ filter,X’与 X,Y 都是 45 度角,则最后仍然有 Y 方向的电
磁波观察到。
0
0
0 ' '
0 0
'
( , ) ( ) cos( )
cos( ) ( ) cos( )
2
X' cos( ) ( )cos( )
22
Y
x y
x x y
x x y
E r t E e e kz t
EX filter E e kz t e e kz t
E Efilter e kz t e e kz t
filter
0 cos( )2 y
E e kz t
类似性: , ,x y zs s s 和 ' ',x yE E 都可看成二分量矢量
不同: s是内禀角动量,量子力学量;E是空间相关力学量,经典力学量。
E
x filter
Ex
x’ filter
Ex
y filter
Ey
y
y’ x’
x 45°
E
x filter
Ex
y filter
1
2. 线性矢量空间
从上一节,电子自旋角动量在任意方向的投影 ns 只能取两个值,可看成是一个二维矢量。为了
建立量子力学的矩阵描述方式,先讨论线性矢量空间。
1)3 维矢量空间
任意矢量: a
算符(对矢量的运算,例如平移,旋转等): Tˆa b ,仍然是 3 维空间中的一个矢量。
基矢: , 1, 2,3ne n
基矢完备性:
3
1
n n
n
a a e
内积:
,
n m n m
n m
a b a b e e
矢量模方: 0a a
若基矢正交归一: n m nme e
有 内 积 矩 阵 形 式 : n n
n
a b a b ab , 其 中 矩 阵 12
3
,
b
b b a
b
是
1
2
3
a
a a
a
的 转 置 矩 阵
1 2 3( , , )a a a a
有矢量的分量(矩阵元): n na e a
a是矢量的抽象形式,矩阵 a是矢量 a在某个具体坐标系(
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
象)的表示。矩阵元与基矢的
选取有关。例如直角坐标与球坐标中的矩阵元是不同的。
2)Hilbert 空间
将 3 维矢量空间扩展到任意维数的复矢量空间:
3 维任意有限维,无限维,连续维
常矢量复变函数矢量
2
用 Dirac 符号(右矢)表示矢量: a
对于复矢量,为了表示其复共轭矢量,引入左矢 a (实矢量不必引入左矢)。左矢与右矢互
为复共轭。一个矢量既可以用右矢 a ,也可以用左矢 a 表示。
a a
a *a
复空间中的算符: ˆ T 厄米共轭(复共厄)算符 Tˆ
ˆ ˆ T a a T (意味着 Tˆ 从左边作用于 a )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= ( ) TF a T F a a F T (注意算符作用的秩序)
基矢(以离散空间为例): , 1, 2,.....n n
基矢完备性: n
n
a a n , *n
n
a n a
内积: *
,
n m
n m
a b a b n m 是一个复数。
矢量模方: 0a a
归一化矢量: 1 , 1a a a a
a a
若基矢正交归一: nmn m
有内积矩阵形式: *n n
n
a b a b a b ,其中矩阵
1
2
n
b
b
b
b
, a
是
1
2
n
a
a
a
a
的厄米共厄矩阵
* * *1 2 na a a a 。
* *ˆ ˆ, a b b a a T b b T a ,
有矢量的分量(矩阵元): ma m a
基矢完备性: n
n n n n
a a n n a n n n a n n a
由于 a 是任意矢量,有
3
1
n
n n
此即是基矢的完备性条件。注意 a b 不是数,也不是矢量,而是一个算符(矩阵)。这里的 1 应
该理解为单位算符(矩阵)。例如在 3D 空间,基矢
1 0 0
1 0 , 2 1 , 3 0 ,
0 0 1
1 1 0 0 , 2 0 1 0 , 3 0 0 1
完备性条件是
1 0 0
0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1
0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
n
n n
I
算符的矩阵形式(用完备性条件):
,
ˆ
ˆ
m m n
b F a
m m b m m F n n a
ˆ,
,
m mn n mn
m m n
m mn n
n
b m F a m F m F n
b F a
写出矩阵形式: b Fa F 是算符 Fˆ 的矩阵形式,是一个方阵,矩阵元是 mnF 。
外积: a b
由于 a b c a b c , a b 的作用是把矢量 c 变成了另一个平行于 a 的矢量,故外
积 a b 是一个算符。它的具体表示是一个方阵,矩阵元是
*mna b m a b n m a n b
4
3. 算符(矩阵)的本征值和本征矢
1)一般算符的本征值和本征态
算符的本征方程:
aaT ˆ ,
称为本征值, a 称为本征矢。
矩阵形式(自己用完备性条件证明):
0
aIT
aTa
本征矢矩阵 0a 的条件:
det( ) 0T I ,
即久期方程:
11 12 1
21 22 2
1 2 NN
T
T
0
TN N
T T
T T
T T
N
N
…
…
…
,
从而求得 N 个本征值,将任意一个 i 代入本征方程
0iT I a
得到对应的本征矢 a。
例:求变换矩阵 1 0=
0 -1
T 的本征值和本征矢。
久期方程为 1 0 0
0 -1-
- ,即 2 1 0 ,
本征值为 1 = 。
设本征矢为
2
1
a
a
a 。
取 =1 , 1
2
0 0
0
0 2
= ,求得归一化后本征矢为 1
0
;
类似,取 1=- ,求得对应的本征矢为 0
1
。
2)厄米算符
5
矩阵 T 的厄米共轭矩阵 ,~*TT , * ,ij jiT T
若 = , =ij ijT T T T , 则称T 为厄米矩阵。
以下讨论厄米矩阵的性质:
a) * *ˆ ˆ ˆa T b b T a b T a
特别是, *ˆ ˆa T a a T a ,说明厄米算符的平均值 ˆa T a 是实数。
注意,对于反厄米算符, =-T T , *ˆ ˆa T a a T a ,反厄米算符的平均值 ˆa T a 是虚数。
b) 设本征方程 ˆ = iT i i , ˆ = jT j j
由 ˆ = ij T i j i
和 *ˆ= jj T j , * *ˆ = j jj T i j i j i
有 *( ) 0i j j i
当 *, 0, i ij i i i ,说明厄米算符的本征值为实数。
当 , 0, 0, i jj i j i ,说明厄米算符属于不同本征值的本征态正交。考虑到归一
化,有正交归一条件:
= iji j 。
问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
:同一本征值的本征态是否正交?
c) 线性叠加正交法(施米特正交法)
若存在简并,即同一本征值对应多个本征态,例如有 g 重简并:
ˆ , = , 1,...iT i j i j j g , ,
重新定义g 个新态:
1
, = , 1, 2,...
g
nj
j
i n C i j n g
,
因为
1 1
ˆ ˆ, = , = , = ,
g g
nj i nj i
j j
T i n C T i j C i j i n
,
所以 ,i n 仍然是 Tˆ 的属于本征值 i 的本征态。
通过合适的选取系数 njC ,可使得这g 个新态正交归一:
, , mni m i n
6
共有g 个归一化方程
2g g+
2
个正交方程 g g 1=
2
个方程 2g< 个待定系数 njC ,故有多种选择来决
定满足正交归一化条件的系数 njC ,使得新态 ,i n 正交归一:
, , ij mni m j n = ,
ij 来自于不同本征值的本征态的正交归一, mn 来自于线性叠加正交法。
结论:无论简并还是非简并,厄米算符的本征态正交归一。
d)可以证明:厄米算符的本征矢满足完备性条件,
1
i
i i 。
故厄米算符的本征矢可以构成 Hilbert 空间的一组正交归一的基矢,即构成一个线性矢量空间,或
一个表象。
1
4. 测量
1)单个力学量的测量
力学量在一般状态没有确定值,只有在某些特点的状态有确定值。例如在 Stern-Gerlach 实
验中 zs 在磁场前没有确定值,只在磁场后有确定值,一束为 zs,另一束为 zs。因此,量子力学量
的取值与系统所处的状态紧密相关。
量子力学假设:量子力学系统的力学量用线性矢量空间中的厄米算符表示,状态用矢量表示。
由于厄米算符本征态的完备性,任意力学量的本征态都可构成一个线性矢量空间或一个表象。
Fˆ 的本征方程 ˆ nF n f n
在 F 表象:基矢 n
任意态
n
a n n a , n a 是态 a 在 F 表象的具体形式。
量子力学假设:力学量 Fˆ 只有在它的本征态 n 才有确定值,就是本征值 nf ,处于任意态 a
时, Fˆ 没有确定值,只有确定的平均值 ˆF a F a 。(厄米算符的本征值和平均值都是实数,
这是为什么将力学量用厄米算符表示的原因)
,
ˆ
ˆ
n m
F a F a
a n n F m m a
,
2
m nm
n m
n
n
n
n
a n f m a
a n n a f
n a f
表明 Fˆ 取值为 nf 的几率是
2
n a 。在一般态,力学量取值不确定,但取值几率确定,平均值确定。
在 Fˆ 的自身表象,F 的矩阵元
ˆ
mn n n mnF m F n f m n f ,
故力学量在自身表象是一个对角矩阵,对角元就是力学量的本征值。
Stern-Gerkach 实验中的 Ag 原子在磁场前 zs 无确定值,过磁场后有了确定值。设置磁
场可以看成是对自旋的一次测量,一测量就有了确定值。
在任意态 a 测量 Fˆ ,体系都塌缩到 Fˆ 的本征态, Fˆ 都有确定的值。塌缩到 n ,有确定值 nf
的几率是 2n a 。测量使得体系的粒子性质得以体现,或者可以说,测量产生了粒子。
2
问题:在态 a 测量 Fˆ ,得值 nf ,紧接又测量 Fˆ ,取值为多少?
第一次测量,
n
a n n a n
第二次测量,体系已经处于 Fˆ 的本征态 n ,测量结果仍然为 nf 。这是为什么在经过两个 Z 方
向磁场后,Stern-Gerlach 实验中 Ag 原子的自旋仍然为 zs的原因。
2)自旋矩阵
由 Stern-Gerlach 实验,电子自旋为 1
2
,在任意方向 ne
的自旋算符 ˆ ˆn ns e s 的取值是 2
,本
征方程
ˆ
2n n n
s s s 。
在 ˆzs 的本征态构成的表象( zs 表象), zs 是一个对角矩阵
1 0
0 12z
s
。
解本征方程
,
2z
a a
s
b b
得本征态为
1 0
,
0 1z z
s s 。
现在 zs 表象解 ˆ ˆ,x ys s 的矩阵形式。由 ˆzs 的本征态的完备性条件,有
i ix z z x z x z z x z
i
s s s s s s s s s s
,
由级联 Stern-Gerlach 实验,具有确定 xs 值的态在通过 Z 方向磁场(测量 zs 的装置)后分裂为强
度相等的两束,具有 zs和 zs的几率相等
1
2z x z x
s s s s
1
1 1
2 2
i
x z zs s e s
,
已经把相因子归结到系数 z xs s 中。
由 xs 的正交归一化, ,i jx x ijs s 有
3
11 1
2 2
i
x z zs s e s
ˆxs 的矩阵元
1 1
1
1
ˆ ˆ ˆ ˆ0, , , 0
2 2
0
2 0
i i
z x z z x z z x z z x z
i
x i
s s s s s s e s s s e s s s
e
s
e
类似,有
21 1
2 2
i
y z zs s e s
,
2
2
0
2 0
i
y i
e
s
e
具有确定 xs 值的态在通过 Y 方向磁场(测量 ys 的装置)后分裂为强度相等的两束,分别具有 ys和
ys
,即
1
2y x
s s
即 1 21 11
2 2
ie
故 1 2 2
。
取 1 20, 2
,
有矩阵 0 1 0,
1 0 02 2x y
i
s s
i
。
可以证明,对于矩阵 , ,x y zs s s ,有
2, , ,
2i j ijk k i j ij
s s i s s s ,
定义
, , ,A B AB BA A B AB BA 。
定义
2 2 2 1 03
0 14ii
s s ,
4
因为 2s 是一个单位矩阵,任意态都是它的本征态,即在任意态它都有确定的值 23
4
。显然,
2sˆ 与任意力学量 Fˆ 对易,可看成为一个经典量。
3)同时测量多个力学量的条件
可否同时测量两个力学量 Aˆ, Bˆ呢?
定理:若 Aˆ, Bˆ有完备的共同本征态,则 Aˆ, Bˆ一定对易。
证明:设完备的共同本征态为 n
由 ˆ nA n a n , ˆ nB n b n ,
在由 n 构成的表象,任意态
n
n n ,
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
0
n
n n
n
n n n n
n
AB BA AB BA n n
Ab Ba n n
a b b a n n
=
因为 是任意态,故 ˆ ˆ, 0A B 。
逆定理:若 Aˆ, Bˆ对易,则 Aˆ, Bˆ一定有完备的共同本征态。
证明: 设 n 是 Aˆ的本征态,
ˆ nA n a n= ,
由 ˆ ˆ, 0A B ,
有 ˆ ˆˆ ˆ ˆnAB n BA n a B n 。
说明 Bˆ n 也是 Aˆ的属于本征值 na 的本征态。若 Aˆ无简并,则 Bˆ n 与 n 是同一个态,只能相差一
个常数:
ˆ = nB n b n
故 n 也是 Bˆ的本征态,即 Aˆ, Bˆ有共同的完备本征态。
若 Aˆ有简并,则可以用施密特方法来证明有同样的结果。
结论:多个力学量相互对易时,它们可以有共同的本征态。当体系处于这些共同本征态时,
5
它们同时有确定的值。在共同本征态可以同时测量这些力学量。
注意, ˆ ˆ, 0A B , ˆˆ, 0B C ,只说明 A,B 可以同时有确定值,B,C 可以同时有确定值。
但 A,C 不一定同时有确定值。
当 Aˆ, Bˆ不对易时, Aˆ, Bˆ不可能有完备的共同本征态,它们不可能总是被同时测量,但有
可能在一个子空间中被同时测量。例如:对于轨道角动量,L, 2ˆ ˆ, =0xL L
, 2ˆ ˆ, =0yL L
, ˆ ˆ, 0x yL L 。
说明 2Lˆ , ˆxL 可以同时有确定值, 2Lˆ
, ˆyL 可以同时有确定值, ˆxL , ˆyL 不可能同时有确定值。但是
对于 0L 的态, ˆxL , ˆyL 同时有确定值 0x xL L 。
4)力学量完备组
当力学量的本征值与本征态有简并时, ˆ , = , 1,...iT i j i j j g , ,从数学上可用施密特方
法来实现本征态的正交归一,但一般是从物理上引入力学量完备组来实现正交归一。
一个本征值对应多个本征态说明该力学量不足以完全描述这些本征态,必须引入新的力学量
来刻划这些本征态之间的差别。引入另一个力学量 ˆ 'T ,
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
Tˆ 的本征态也是 ˆ 'T 的本征态,
'
ˆ , = ,
ˆ ' , = ,
i
j
T i j i j
T i j i j
,
则对于力学量组 ˆ ˆ, 'T T ,本征值 ',i j 与本征态 ,i j 一一对应,无简并,满足正交归一条件:
' ', ', ' ,ii jji j i j =
5)级联测量
对三个力学量 ˆ ˆˆ, ,A B C分别进行如下两种测量。
第一种方法:
态: a b c
力学量取值: a b c
经过 3 次测量后,测得 Cˆ取值为 c的几率是
测 A 测 B 测 C
6
2 2 2
,
,
( )
a b
a b
P c a b a c b
a a b b c c b b a a
第二种方法:
态: a c
力学量取值: a c
经过 2 次测量后,测得 Cˆ取值为 c得几率是
2 2
, , '
'( )
' '
a
a
a b b
P c a c a
a a c c a a
a a b b c c b b a a
显然,一般有
( ) '( )P c P c ,
只有当 ˆ ˆ, 0A B , ˆ ˆ,A B有共同本征态 n ,代替 a , b ,或 ˆˆ, 0B C , ˆˆ,B C 有共同本征态 m ,
代替 b , c ,才有
2 2
( ) '( )
n
P c n c n P c 。
由于力学量只有在本征态才有确定值,测量的顺序会改变最终测量结果。
测 A 测 C
1
6)不确定关系
当 ˆ ˆ, 0A B , ˆ ˆ,A B不能同时有确定的值,那么它们的不确定度如何?
在任意态 ,力学量 Aˆ只有确定的平均值 ˆ ˆA A ,取值分布
方差
22ˆ ˆ ˆ 0A A A 。
如果态 为 Aˆ的本征态,则测量 Aˆ有确定的值,即平均值,则方差=0,取值分布为 函数,
定义:用方差的乘积 2 2ˆ ˆA B 描述测量 ˆ ˆ,A B的不确定度。如何估计这个不确定度?
显然,对任意态 , 和复数的线性组合态 ,其内积
* 0
取 ,
有 2 (Schwarz 不等式)
令 ˆ ˆ, A B
有 22 2ˆ ˆˆ ˆA B A B 。
因为 22 2 22 *1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆRe Im Im 2A B A B A B A B A B A Bi
2
故 22 2 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2A B A B B Ai ,
等号对应 Schwarz 不等式取等号和 ˆ ˆA B 的实部为零。
由 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B A A B B AB A B
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆB A B B A A BA B A
故 22 2 1ˆ ˆˆ ˆ,2A B A Bi ,
这就是在任意态测量两个力学量的不确定关系,有对易关系确定。显然,具体的不确定度与态
有关。
5. 表象变换
选取合适的表象可简化计算。不同表象的基矢之间的变换称为表象变换。
设有两个表象:
I 表象: 基矢 i , Iˆ i i i
M 表象:基矢 m , Mˆ m m m
im
i i
m i i m S i
表象变换矩阵 S,
imS i m
是 M 表象的基矢在 I 表象的表示。
1)任意矢量的变换
I 表象: =
i
a i i a ,
i a 是矢量 a 在 i 方向的分量,或称 a 在 I 表象的表示。
M 表象:
m
a m m a
m a 是矢量 a 在 m 方向的分量,或称 a 在 M 表象的表示。
* *im mi
i i i i
m a m i i a i m i a S i a S i a ,
3
或者写成矩阵形式
M Ia S a
2)任意算符的变换
I 表象: ˆ= ijT i T j ,
M 表象: * *
, , , ,
ˆ ˆ ˆ= = = mn im ij jn mi ij jn
i j i j i j i j
T m T n m i i T j j n i m i T j j n S T S S T S
或者写成矩阵形式:
M IT S T S
。
3)表象变换矩阵是幺正矩阵
**im mj im jm ijij
m m m m
SS S S S S i m j m i m m j i j
1SS ,
同理可证: 1S S ,
故 1S S
表象变换矩阵为幺正矩阵。
注意S不是厄米矩阵, S S 。
4)表象变换不改变算符的本征值
设 Iˆ II IT a a ,
则 ˆ ˆ ˆM I I I I IM I I I I MT a S T SS a S T a S a S a a
说明: 在M 表象,本征值仍为 I 。可见,表象变换不改变力学量的取值。
例 1:表象变换不改变对易关系。
设在 I 表象,有
ˆ ˆˆ,I I IA B C ,
则在 M 表象,
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,
ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ
ˆ
ˆ
M M M M M M
I I I I
I I I I
I
M
A B A B B A
S A SS B S S B SS A S
S A B B A S
S C S
C
4
说明:对易关系是量子力学基本关系。
例 2:表象变换不改变矩阵的求迹。
I I Itr S T S tr SS T tr T
6. 坐标表象与动量表象
1)连续谱
与自旋角动量 ˆzs 取分离值不同,坐标 xˆ与动量 pˆ取值连续。
用坐标或动量的本征态构成连续的坐标或动量表象。
本征方程 xˆ x x x , pˆ p p p
基矢 x , p
正交归一化 ' ( ' )x x x x , ' ( ' )p p p p
完备性条件 1dx x x , 1dp p p
对于任意态 : dx x x dp p p
, x p 是态 在坐标和动量表象的具体形式,是连续的列矩阵。
3 维空间: xˆ x x x , pˆ p p p
量子力学假设:基本对易关系
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0, , 0, , , , 1, 2,3i j i j i j ijx x p p x p i i j
坐标动量不确定关系: 2 22 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ,
2 4x x
x p x p
i
1
2)空间平移变换
定义空间平移算符
3
3
3
ˆ( )
ˆ ˆ( ) ( )
(
(
T dx x x dx
T dx T dx d x x x
d x x dx x
d x x x dx
算符只对矢量起作用)
- 积分变量替换)
取空间无限小平移算符
ˆˆ( ) 1T dx iK dx = (其中生成元 Kˆ 为厄米算符)
平移变换是一么正算符:
ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) 1 1 1T dx T dx iK dx iK dx (忽略二级无穷小)
平移变换的结合律:
1 2 1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 1 1 1 ( )T dx T dx iK dx iK dx iK dx dx T dx dx
有限平移变换是无限小平移变换的多次操作。
对于任意态 ,
3 3
3
3 3
3 3
ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )
,
ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ ( ) ,
ˆ,
xT dx d x xT dx x x d x x x dx x
d x x dx x dx x
T dx x d x T dx x x x d x T dx x x x
d x xT dx x x d x x x dx x
x
3
3
ˆ ( )
(
T dx d x dx x dx x
d x dx x x
dx
已忽略二级无穷小)
故有对易关系 ˆ ˆ, ( )x T dx dx
=
即 ˆˆ, x K dx idx
=
如果取平移在 jx 的方向, jdx e
有 ˆˆ , i j ijx K i =
2
与量子力学基本对易关系 ˆ ˆ,i j ijx p i
比较,有 ˆpˆ K ,
表明动量是平移变换的生成元,
ˆˆ( ) 1
iT dx p dx = 。
由于 ˆ ˆ, 0,x yp p
有 ˆ ˆ ˆ ˆ( ), ( ) 1 ,1 0x
i iT dx T dy p dx pdy = ,
说明,平移与次序无关,平移步骤 A dx C dy B 与 A dy D dx B 效果一样。
3)正则量子化
Dirac, 1925: 经典力学系统的量子化
分析力学的 Poisson 括号 量子力学的对易关系
1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , P
s s s s s
A B A BA B A B AB BA
q p p q i i
例如,
ˆ ˆ, , i j ij i j ijPx p x p i 。
4)坐标表象
xˆ的矩阵元: 1 2 2 1 2 1 1 2ˆ ( ) ( )x x x x x x x x x 为对角矩阵
由 ˆˆ( ) 1 iT dx p dx
和
y
x
C A dx
dy
B D
3
3 3
3
ˆ( )
T dx d x x x dx d x x x dx x
dx d x x x
有
3
3
ˆ ,
ˆ
p d x x i x
p d x x i x
取 1 2, x x ,得动量算符 pˆ 在坐标表象的矩阵元:
31 2 1 2 1 1 2ˆx p x d x x x i x x i x x
再取 1 , x p ,
31 1 1 1ˆx p p d x x x i x p i x p
即 1 1 1p x p i x p
解此一级常微分方程得,动量本征态在坐标表象的表示是平面波,
i p x
x p Ne
由
2 1( )23 3
2 1 2 1
2 3
1 2 1 2
3/ 2
2
1
2
i p x x
x x d p x p p x d p N e
x x N x x
N
有 3/ 2
1
2
i p x
x p e
。
5)动量表象
pˆ 的矩阵元: 1 2 1 1 2ˆ ( )p p p p p p 为对角矩阵
由
1 1 2 2
2 1 1 2 1 1
3 3
1 2 1 1 1 1 2 2 22
3 3
1 2 2 1 23
( ) ( )3 3
1 1 1 1 1 1 23 3
ˆ ˆ
1
2
1 1 = ( )
2 2
i ip x p x
i ip p x p p x
p x p d x d x p x x x x x p
d x d x e x x x e
d x x e d x i e i p p
4
注意这里是对动量的微分。
坐标算符本征态在动量表象的形式
*
3/ 2
1
2
i p x
p x x p e
。
例 1:在坐标表象证明 xˆ, pˆ为厄米算符。
1 2 1 2 1
( )x xx x x x ,
1 2 2 1 1 22 1 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x x x x xx x x x x x x x x x x x
1 2 1 2 1 21 1 2( ) ( )x xp i x x i x xx x x
,
1 2 2 1 1 22 1 2 1 1 2
2 1 2 1 1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )x x x x x x
p p i x x i x x i x x p
x x x x x x
故 xˆ和 pˆ均为厄米算符。
例 2:在坐标表象计算 ˆ ˆ,x p
1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2
1
1 2 1 2 2 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ - ( )
( ) -
- -
xp dx dx x x x p x x dx dx x x i x x x
x
dx dx x x x i x x
x
dx x i x x dx x x i x
x x
(分步积分)
(分步积分)
同理可证,
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
ˆ ˆ=px dx x i x i x x i dx x x i x
x x
,
故 ˆ ˆ,x p i 。
说明:对易关系不依赖于表象。
由不确定关系,坐标与动量不可能同时有确定值。例如,在动量本征态,动量有确定值,
2ˆ 0p p p ,但坐标取值为 x的几率是
2
2 1
2
i px
x p e const
,
说明粒子在 x 出现的几率处处相等,坐标的取值完全不确定,方差 2ˆp x p 。
5
例 3:最小不确定波包。
要在不确定关系 22 2 1ˆ ˆˆ ˆ,2A B A Bi 取等号,得到最小不确定度,态必须满足:
1)在 Schwarz 不等式中取等号 22 2ˆ ˆˆ ˆA B A B ;
2) ˆ ˆRe 0A B 。
1)的解是 ˆBˆ c A , c 为常数;
2)即 2ˆRe 0c A ,由于 2Aˆ 是实数,故c ia , a 为实数。
即 ˆ ˆˆ ˆB B ia A A ,
这就是最小不确定性对态