null第 6 章 几何造型 第 6 章 几何造型 6.1 形体在计算机中的表示
6.2 边界表示
6.3 其它造型方法
习题 6.1 形体在计算机中的表示 6.1 形体在计算机中的表示 6.1.1 几何模型
在几何造型系统中, 描述物体的三维模型通常有三种, 即线框模型、 表面模型和实体模型。
线框模型是计算机图形学和CAD/CAM领域最早用来表示物体的模型, 计算机绘图是这种模型的一个重要应用。 线框模型用顶点和棱边来表示物体, 如图6.1所示的立方体。 null 若给出其8个顶点v1, v2, …, v8 的坐标, 则此立方体的形状和位置在几何上就被确定了, 再用e1, e2, …, e12共12条棱就可以把立方体表示出来。 其立方体棱边和顶点的关系如图6.2所示。
null图 6.1 立方体 null图 6.2 立方体棱边和顶点的关系 null图 6.3 线框模型各顶点坐标和端点与线段之间的关系表 null图 6.4 立方体的单链面边表数据结构 null 表面模型在线框模型的基础上增加了物体中面的信息, 用棱边所围成的封闭区域定义实体表面, 用面的集合来表示物体。 物体中面的信息一般采用单链面边表数据结构表示, 对应于图6.1的立方体的单链面边表数据结构如图6.4所示。
null 由于增加了面的信息, 因此表面模型扩大了线框模型的应用范围, 能够满足面面求交、 线面消隐、 明暗色彩图、 数控加工等需要。 但在该模型中, 除了边点表外， 只有一张张面的信息, 物体究竟存在于表面的哪一侧, 并没有给出明确的定义, 无法计算和分析物体的整体性质, 如物体的表面积、 体积和重心等, 也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质, 如是否相交等。
null 实体模型是在表面模型的基础上, 通过对表面的那一侧存在实体给出明确定义, 由表面直接构造实体的一种几何模型。 确定实体存在侧的方法通常有三种(如图6.5所示):
(1) 在定义表面的同时, 给出实体存在侧一个点;
(2) 直接用一向量指明实体存在侧;
(3) 用有关棱边隐含表示外法向量方向, 有向棱边按右手法则取向。
null图 6.5 确定实体存在侧的方法 null 6.1.2 形体表示
1. 分解表示
分解表示是将形体按某种规则分解为小的更易于描述的部分, 每一小部分又可分为更小的部分, 这种分解过程直至每一小部分都能够直接描述为止。 null图 6.6 八叉树表示形体的一个实例null 2. 构造表示
构造表示是按照生成过程来定义形体的方法, 通常有扫描表示、 构造实体几何表示和特征表示三种方法。
其中, 扫描表示是一种基于图元(如一个点、 一条线或一个面), 沿某一个给定轨迹移动而形成特定几何体的方法。 如图6.7所示, 图形B是梯形A绕z轴作旋转扫描后形成的形体。 null图 6.7 图形B是梯形A绕Z轴作旋转扫描后形成的形体null 通过以上给定的结构化的形体表示可以计算出其形体的边界表示。 其计算过程如下:
(1) 对于单个形体, 计算其表面在何处被截断, 哪些边或顶点将产生或被删除。
(2) 对于两个相交形体, 计算由于其相交而产生的新边:
· 计算两相交形体的相交线段;
· 按几何元素分类, 确定相交线段的哪一部分真正属于新形体的边(有效边)。 null CSG系统也可以用一棵有序二叉树表示(如图6.8所示), 称为CSG树。 CSG树的形式一般定义为
::
= <体素叶子>|<集合运算结果>
|<几何变换节点><变换参数>
null图 6.8 构造实体几何表示 null图 6.9 一个基于特征的造型系统 null 所谓特征, 是面向应用、 面向用户的, 不同的应用领域, 具有不同的应用特征, 不同应用领域的特征都有其特定的含义, 例如机械加工中, 提到孔, 我们就会想到是光孔还是螺孔, 孔径有多大, 孔有多深, 孔的精度是多少等。 而特征的形状常用若干个参数来定义, 譬如圆柱和圆锥特征用底面半径R和高度H来定义, 方块特征用长度L, 宽度W和高度H来定义(如图6.10所示)。 null 图 6.10 特征形状的参数定义
(a) 方块； (b) 圆柱； (c) 圆锥null 3. 边界表示
边界表示(Boundary Representation)也称为BR表示或BRep表示, 是以物体边界为基础, 定义和描述几何形体的方法。
物体的边界通常由面的并集来表示, 而每个面又由它所在的曲面的定义加上其边界来表示, 面的边界是边的并集, 而边又是由点来表示的。 6.2 边 界 表 示 6.2 边 界 表 示 6.2.1 三维形体的曲面模型
曲面模型又叫曲面造型, 是在线框造型的基础上增加面的信息, 利用平面和曲面来表示形体。 它为形体造型提供了更多的几何信息, 可以在程序中实现自动消除隐藏线和隐藏面。 null 6.2.2 形体的边界表示
1. 顶点
点是几何造型中的最基本的元素, 自由曲线、 曲面或其它形体均可用有序的点集表示。 顶点是边的端点, 顶点( Vertex )的位置用(几何)点( Point )来表示。
2. 边
边( Edge )是一维几何元素, 是两个邻面(对正则形体而言)或多个邻面(对非正则形体而言)的交界, 一条边为两个或多个面共享。 null 3. 环
环( Loop )是有序、 有向边( Edge )(直线段或曲线段)组成的面的封闭边界。 环中的边不能相交, 相邻两条边共享一个端点。
4. 面
面(Face)是二维几何元素， 是有界、 不自交的连通表面, 由一个外环和若干个内环(可以没有内环)来表示, 内环完全在外环之内。 null 5. 体
体(Body)是三维几何元素， 是由封闭表面围成的空间， 也是欧氏空间 R3 中非空、有界的封闭子集， 其边界是有限面的并集。 在正则几何造型系统中, 要求体是正则的, 非正则形体的造型技术将线框、 表面和实体模型统一起来, 可以存取维数不一致的几何元素, 并可对维数不一致的几何元素进行求交分类, 从而扩大了几何造型的形体覆盖域。
在很多边界表示的数据结构中, 比较著名的是翼边数据结构(如图6.11所示)。 null图 6.11 翼边数据结构 null 图6.12 辐射边数据结构null 6.2.3 欧拉操作
对于任意的简单多面体(正则形体), 其面(f)、 边(e)、 顶点(v)的数目满足公式
v-e+f=2 (6 - 1)
这就是著名的欧拉公式。 对于任意的正则形体, 引入形体的其它几个参数: 形体所有面上的内孔总数(r)、 穿透形体的孔洞数(h)和形体非连通部分总数(s), 则形体满足公式
v-e+f=2(s-h)+r (6 - 2)null 6.2.4 集合运算
1. 正则集与正则集合运算算子
Tilove 根据点集拓扑学的原理, 给出了正则集的定义。 认为正则的几何形体是由其内部点的闭包构成, 即由内部点和边界两部分组成。 对于几何造型中的形体,
规定
关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定
正则形体是三维欧氏空间中的正则集合, 因此可以将正则几何形体描述如下:
null 设G是三维欧氏空间R3中的一个有界区域, 且
G＝bG∪iG, 其中bG是G的n－1维边界, iG是G的内部。 G的补空间cG称为G的外部, 此时正则形体G需满足:
(1) bG将iG和cG分为两个互不连通的子空间;
(2) bG中的任意一点可以使iG和bG连通;
(3) bG中任一点存在切平面, 其法矢指向cG子空间
(4) bG是二维流形。
null 2. 分类
几何造型中的集合运算实质上是对集合中的成员进行分类的问题, Tilove 给出了集合成员分类问题的定义及判定方法。
Tilove 对分类问题的定义: 设S为待分类元素组成的集合, G为一正则集合, 则S相对于G的成员分类函数为
C(S, G)={S in G, S out G, S on G} (6 - 3)
其中
S in G=S∩iG, S out G=S∩cG, S on G=S∩bGnull 3. 集合运算算法
正则集合运算与非正则形体运算的区别在于增加了正则化处理步骤。 下面, 我们给出一个非正则形体的集合运算算法。
假定参与集合运算的形体为A和B, 运算的结果形体C＝A B, 其中集合运算符为通常的集合运算并、 交、 差(∪、 ∩、 -)。 null 集合运算整个算法包括了以下几个部分:
(1) 求交: 参与运算的一个形体的各拓扑元素求交, 求交的顺序采用低维元素向高维元素进行。
(2) 成环: 由求交得到的交线将原形体的面进行分割, 形成一些新的面环。
(3) 分类: 对形成的拓扑元素生成集中的每一拓扑元素, 取其上的一个代表点, 根据点/体分类的原则, 决定该点相对于另一形体的位置关系, 同时考虑该点代表的拓扑元素的类型(即其维数), 来决定该拓扑元素相对于另一个形体的分类关系。 null (4) 取舍: 根据拓扑元素的类型及其相对另一个形体的分类关系, 按照集合运算的运算符要求, 要决定拓扑元素是保留还是舍去; 保留的拓扑元素形成一个保留集。
(5) 合并: 对保留集中同类型可合并的拓扑元素进行合并, 包括面环的合并和边合并。
(6) 拼接: 以拓扑元素的共享边界作为其连接标志, 按照从高维到低维的顺序, 收集分类后保留的拓扑元素, 形成结果形体的边界表示数据结构。
6.3 其它造型方法 6.3 其它造型方法 6.3.1 参数化造型
1. 几何约束关系的类型及表示
目前三维参数化模型能处理的约束类型主要有以下几种:
(1) 两个或多个平面间的垂直距离;
(2) 两个或多个轴线间的垂直距离;
(3) 两个或多个平面间的角度;
null(4) 轴和平面间的垂直距离;
(5) 两个或多个轴线间的角度;
(6) 轴和平面间的角度;
(7) 轴对称面的半径。
null 对应的几何约束关系表示形式主要有以下几种:
(1) 由算术运算符、 逻辑比较运算符和标准数学函数组成的等式或不等式关系, 它们可以在参数化造型系统的命令窗中直接以命令行形式输入;
(2) 线关系, 直接把物理曲线或其它特性曲线用于几何造型; 关系文件是许多关系命令行语句和特定语句的集合。
(3) 面向人工智能的知识表达方式, 这种方式将组成几何形体的约束关系、 几何与拓扑结构用一阶逻辑谓词的形式描述, 并写入知识库中。 null 2. 几何约束的求解
对于上述几何约束的求解, 主要采用数学计算和几何推理两种方法实现。 数学计算方法的思想是通过一系列特征点来定义形体的几何, 所有约束和约束之间的工程关系都可以换成以这些点为未知变量的方程, 方程的求解就能惟一地确定精确的几何形状。 在以 BRep 模式表达几何形状的情况时, 这些特征点一般为边界上的轮廓顶点、 圆心点、 自由曲线或曲面的控制顶点以及基本体系的定位点。 null 3. 参数化几何模型的构造
集合形体的参数化模型是由传统的几何模型信息和集合约束信息两大部分组成。 根据几何约束和几何拓扑信息的模型构造的先后次序, 亦即它们之间的依存关系, 参数化造型可分成两类。 一类是几何约束作用在具有固定拓扑结构形体的几何要素上, 几何约束值不改变几何模型的拓扑结构, 而是改变几何模型的公称大小。 null 这类参数化造型系统以BRep为其内部表达的主模型。 另一类是先说明参数模型的几何构成要素及它们之间的约束关系, 而模型的拓扑结构是由约束关系决定的。 这类参数造型系统以CSG表达形式为内部的主模型, 可以方便地改变实体模型的拓扑结构, 并且便于以过程化的形式记录构造的整个过程。
null 6.3.2 特征造型
纯几何的实体与曲面是十分抽象的, 自20世纪80年代以来, 为了满足CIMS技术发展的需要, 人们一直在研究更完整描述几何体的实体造型技术。 特征造型正是为满足这一要求而提出来的。 在基于特征的造型中对于特征的描述是关键, 所谓特征就是指形体描述信息的集合。 常用的特征信息主要包括: null(1) 形状特征: 与公称几何相关的概念;
(2) 精度特征: 可接受公称形状和大小的偏移量;
(3) 技术特征: 性能参数;
(4) 材料特征: 材料类型、 热处理等特性;
(5) 装配特征: 零件相关方向、 相互作用和配合关系。 null 与传统的几何造型方法相比, 特征造型具有如下特点:
(1) 特征造型着眼于更好地表达产品的完整的技术和生产管理信息, 为建立产品的集成信息服务。
(2) 它使产品
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
工作在更高层次上进行, 设计人员的操作对象不再是原始的线条和体素, 而是产品的功能要素, 像螺纹孔、 定位孔、 键槽等。
(3) 它有助于加强产品设计、 分析、 工艺准备、 加工、 检验各个部门间的联系, 更好地将产品的设计意图贯彻到各个后续环节并且及时得到后者的意见反馈。 null 6.3.3 分数维(Fractal)造型
欧氏几何的主要描述工具是直线、 平滑的曲线、 平面及边界整齐的平滑曲面, 这些工具在描述一些抽象图形或人造物体的形态时是非常有力的, 但对于一些复杂的自然景象形态就显得无能为力了, 如山、 树、 草、 火、 云、 浪等, 这是由于从欧氏几何来看, 它们是极端无规则的。 为了解决复杂图形生成, 分数维( Fractal )造型应运而生。 null图 6.13 利用随机插值模型模拟海岸线 null 6.3.4 粒子系统
粒子系统是 W.T.Reeves 在1983年为了模拟火焰而提出的一个随机模型。 其基本思想是火焰被看作为一个喷出许多粒子的火山, 大量的形状简单的微小粒子运动的轨迹构造了火焰的模型。 这些粒子都有各自的生命周期, 每个粒子的位置、 取向、 形态及动力学性质都由一组预先定义的随机过程来说明, 并可以随时间推移发生变化。 null生成系统某瞬间动态画面的基本步骤是:
(1) 产生新的粒子并加入系统中;
(2) 赋予每一新粒子一定的属性;
(3) 删去那些已经超过生存期的粒子;
(4) 根据粒子的动态属性对粒子进行移动和变换;
(5) 绘制并显示由有生命的粒子组成的图像。
null 6.3.5 从二维正投影图构造三维形体
通过综合三视图中的二维( 2D )几何和拓扑信息, 在计算机中自动产生相应的三维( 3D )形体的几何与拓扑信息, 是计算机图形学领域中有意义的课题之一。 目前国际上对该问题的研究已取得了相当的进展, 但尚不完善。 主要问题集中在以下三个方面:
· 如何排除病态解？
· 如何找到与三视图对应的全部解？
· 如何扩展形体的覆盖域?
习 题 习 题 1. 选择题
(1) 下列有关物体的几何表示法的叙述语句中, 正确的论述为( )
A. 在计算机图形学中, 通常所谓“物体”是三维欧氏空间点的集合。
B. 一组三维欧氏空间点的集合都可看成一个(组)“物体”。
C. 单个孤立的点不是“物体”。
D. 一根直线段或单张曲面都是“物体”。
null (2)下列有关边界表示法的叙述语句中, 错误的论述为( )
A. 定义了物体的边界也就惟一的定义了物体的几何形状边界。
B. 物体的边界上的面是有界的, 而且, 面的边界应是闭合的。
C. 物体的边界上的面是有向的, 面的法向总是指向物体的内部。
D. 物体的边界上的边可以是曲线, 但在两端之间不允许曲线自相交。 null 2. 填空
(1) 描述三维形体的数据信息包括两类, 即( )信息和( )信息。
其中对( )信息的描述必须满足欧拉公式, 即满足关系式( )。
(2) 三维形体的构成方法很多, 请写出其中的四种( )、 ( )、 ( )和( )。
3. 简述三维形体八叉树表示法的基本原理。
4. 三维形体有哪些表示方法, 各有什么优点和缺点？
浙公网安备 33021202002483