高等数学求导公式打印版

I.基本函数的导数 01. ； 02. ； 03. ； 04. ； 05. ； 06. ； 07. ； 08. ； 09. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. ； 15. ； 16. 。 II.和、差、积、商的导数 01. ； 02. ； 03. ； 04. 。 III复合函数的导数 若 ，则 或 。 · 计算极限时常用的等价无穷小 · 两个重要极限: · 若 ，则 · 罗尔定理： 若 在 上连续，在 内可导，且 ，则存在一 ，使 。 · 拉格朗日中值定理：若 在 上连续，在 内可导，则存在一 ，使得 。 · 柯西中值定理：若 、 在 上连续，在 内可导，且 则存在一 ，使得 ，则 。 · 罗必达法则：若（1） ，（2） 及 在 （或 ）处存在，且 ，（3） 存在（或 ），则 。 · 泰勒公式： 其中： , 。 · 马克劳林公式： 其中： , 。 1. 2. 3. 4. 5. 6. · 驻点：导数为零的点 拐点： ，则称 在 上是凸的， ，则称 在 上是凹的， 若曲线在 两旁改变凹凸性，则称 为曲线的拐点。 · 凹凸性判断（充分条件）：设 存在，若 EMBED Equation.DSMT4 时 ，则曲线是为凸的，若 EMBED Equation.DSMT4 时 ，则曲线是为凹的。 设曲线方程 ， 具有二阶导数，则函数 在 的曲率 为： （工程中，若 时， ）。 基本积分公式： ； * * * * * * * * * · 基本积分方法 1换元法：（1）设 具有原函数 ，而 可导，则有： ； （2）设 在区间 上单调可导，且 ，又设 EMBED Equation.DSMT4 具有原函数 ，则有： 。 2分布积分法： 3.有理函数积分：① ② 4.万能代换（三角函数的有理式的积分）： 设 ，则 ， ， 。 · 。 · 定积分中值定理： 。 · 定理：如果函数 在区间 上连续，则积分上限的函数 在 上具有导数，并且它的导数是 · 定积分换元公式： ， 。 · · 定积分的分步积分： · 弧长计算公式：① ; ② EMBED Equation.DSMT4 ， ; ③ ， 。 向量代数 · 定比分点公式： 。 · 数量积： ， 。 。 · 向量积： 。 · 平面 · 平面的一般方程： （向量 为平面法向量）。 · 平面点法式方程： 。 · 平面的截距式方程： （ 为平面在三个坐标轴上的截距）。 · 两个平面的夹角：两个平面方程为： EMBED Equation.DSMT4 平面： ， EMBED Equation.DSMT4 平面： ，则两平面的夹角 的余弦为： 。 · 两平面平行的条件： 。 · 两平面垂直的条件： 。 · 点到平面的距离：平面： ，平面外一点： ，则点M到平面的距离： 。 · 空间直线 · 两个平面的交线： 。 · 点向式方程：直线上的一点 ，直线的一个向量 ，则直线方程为： ，参数方程为： · 两直线的夹角： ， ，则两直线的夹角余弦为： 。 两直线平行： ， 两直线垂直： ， · 两直线共面（平行或相交）： 两直线： ，共面的条件： 。 · 直线与平面的夹角 平面： ，直线： ①若直线与平面相交，夹角： ； ②若直线与平面平行： ； ③若直线与平面垂直： 。 · 多元函数微积分 1.方向导数： （ 为 轴到方向 的转角） 2.梯度： 3.二元函数的极值： ， ， 。令 ， ， 。①当 时具有极值，且当 时具有极大值，当 具有极小值；②当 时没有极值；③当 时可能有极值，也可能没有极值，还需令作讨论。 3.二重积分的计算 4.曲面的面积计算： 平面薄片的重心： 平面薄片的转动惯量： 5.三重积分的计算： · 曲线积分和曲面积分 1.对弧长的曲线积分： 2.对坐标的曲线积分： 3.对曲面的积分： 4.对坐标的曲面积分： · 无穷级数 · 收敛级数的基本性质： 1.如果级数 收敛于和 ，则它的各项同乘以一个常数 所得的级数 也收敛，且其和为 。 2.如果级数 、 分别收敛于和 、 ，则级数 也收敛，且其和为 。 3.在级数中去掉、加上或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。 4.如果级数 收敛，则对这级数的项任意加括号所成的级数 仍收敛，且其和不变。 5.（级数收敛的必要条件）如果级数 收敛，则它的一般项趋于零，即 。 · 常数项级数的审敛法： 定理1.正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 有界。 定理2（比较审敛法）.设 和 都是正项级数，且 。若级数 收敛，则级数 收敛；反之，若级数 发散，则级数 发散。 推论1.设 和 都是正项级数，如果级数 收敛，且存在自然数 ，使当 时有 成立，则级数 收敛；如果级数 发散，且当 时有 成立，则级数 发散。 推论2. 设 为正项级数，如果有 ，使 ，则级数 收敛；如果 ，则级数 发散。 定理3（比较审敛法的极限形式）. 设 和 都是正项级数，如果 ，则级数 和级数 同时收敛或同时发散。 定理4（比值审敛法，达朗贝尔（D’Alembert）判别法）.若正项级数 的后项于前项之比值的极限等于 ： ，则当 时级数收敛； （或 ）时级数发散； 时级数可能收敛也可能发散。 定理5（根值审敛法，柯西判别法）. 设 为正项级数，如果它的一般项 的 次根的极限等于 ： ，则当 时级数收敛； （或 ）时级数发散； 时级数可能收敛也可能发散。 定理6（莱布尼茨定理）.如果交错级数 满足条件：（1） ，（2） ，则级数收敛，且其和 ，其余项 的绝对值 。 定理7.如果级数 绝对收敛，则级数 必定收敛。 · 幂级数 定理1（阿贝尔（Abel）定理）.如果级数 当 时收敛，则适合不等式 的一切 使这幂级数绝对收敛；反之，如果级数 当 时发散，则适合不等式 的一切 使这幂级数发散。 推论：如果幂级数 不是仅在 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数 存在，使得：当 时，幂级数绝对收敛；当 时，幂级数发散；当 与 时，幂级数可能收敛也可能发散。 定理2.如果 ，其中 、 是幂级数 的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径 性质1. 设幂级数 的收敛半径 ，则其和函数 在区间 内连续。如果幂级数在 （或 ）也收敛，则和函数 在 EMBED Equation.DSMT4 （或 ）连续。 性质2.设幂级数 的收敛半径 ，则其和函数 在区间 内是可导的，且有逐项求导公式 ，其中 ，逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 性质3.设幂级数 的收敛半径 ，则其和函数 在区间 内是可积的，且有逐项积分公式 ,其中 ，逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 · 欧拉公式： · 傅立叶级数 · 函数展开成傅里叶级数 （ 是周期为 的周期函数） 其中： 定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）：设 是周期为 的周期函数，如果它满足： （1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， （2）在一个周期内至多只有有限个极值点， 则 的傅里叶级数收敛，并且： 当 是 的连续点时，级数收敛于 ； 当 是 的间断点时，级数收敛于 。 定理. 设 是周期为 的函数，在一个周期上可积，则 （1）当 为奇函数时，它的傅里叶系数为： （2）当 为偶函数时，它的傅里叶系数为： · 周期为 的周期函数的傅里叶级数 定理：设周期为 的周期函数 满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为： 其中系数 为： 当 为奇函数时， 其中系数 为： 当 为偶函数时， 其中系数 为： · 微分方程： · 齐次方程： PAGE - 14 - _1219043143.unknown _1219128430.unknown _1219132086.unknown _1219142460.unknown _1219144432.unknown _1219144967.unknown _1219146451.unknown _1219147273.unknown _1219147366.unknown _1219147844.unknown _1219148536.unknown _1219147367.unknown _1219147365.unknown _1219147364.unknown _1219147112.unknown _1219147214.unknown _1219146996.unknown _1219146624.unknown _1219146864.unknown _1219145051.unknown _1219145907.unknown _1219146099.unknown _1219146332.unknown _1219145965.unknown _1219145635.unknown _1219145248.unknown _1219145545.unknown _1219145084.unknown _1219145025.unknown _1219144773.unknown _1219144961.unknown _1219144653.unknown _1219144241.unknown _1219144284.unknown _1219144303.unknown _1219144271.unknown _1219144198.unknown _1219144229.unknown _1219142813.unknown _1219142961.unknown _1219143306.unknown 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