北大力学教程振动和波

null第七章 振动和波第七章 振动和波null振动与波无所不在振动与波是横跨物理学各分支学科的 最基本的运动形式。 尽管在各学科里振动与波的具体内容不同， 但在形式上却有很大的相似性。§7.1 简谐振动的运动学描述§7.1 简谐振动的运动学描述§7.1.1 运动方程简谐振动：匀速圆周运动在任意直径方向的分运动振动：物体在平衡位置附近的往返运动null简谐振动的运动方程周期频率角频率振幅相位初相位null§7.1.2 同方向同频率简谐振动的合成合振动一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动合振动的振幅与相位差有关null§7.1.3 同方向不同频率简谐振动的合成考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动合振动包含一个随 t变化较慢的余弦因子和一个随 t变化较快的余弦因子当两个振动的频率非常接近时null合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动振动的强弱与振幅的平方相关，这种周期变化的现象称为拍。拍是一个重要的现象，有许多应用。拍频---只与振幅的大小有关， 例如从零再变到零。null§7.1.4 方向互相垂直、同频率简谐振动的合成如果两个振动频率相同，但一个沿x方向、一个沿y方向这是以t为参量的轨道方程；消去t，可得显式的轨道方程为椭圆轨道方程（包括圆，直线段）----椭圆振动null特例1特例2特例3其它情况为斜椭圆null§7.1.5 方向互相垂直、不同频率简谐振动的合成 当两个互相垂直的简谐振动频率不同时， 合成的轨道与频率之比和两者的相位都有关系， 图形一般较为复杂，很难用数学式子表达。 当两者的频率之比是有理数时 合运动是周期运动，轨道是闭合的曲线或有限的曲线段 这种图形称为李萨如图形（Lissajous figure）nullx、y两垂直方向的简谐振动时，对应不同初相位差的李萨如图形相邻的李萨如图形初相位差为12°null相邻的李萨如图形初相位差为12°null相邻的李萨如图形初相位差为12°null§7.1.6 非简谐振动的简谐分解非简谐振动分为周期性的和非周期性的 第一类可以用傅里叶（Fourier）展开 第二类可以作傅里叶（Fourier）变换 因而非简谐振动都可分解为简谐振动设振动的周期为T，周期函数满足引入称为基频率，简称基频n次谐频（n = 2为二次谐频，其它依此类推）null傅里叶级数：它们都具有周期 T，且有正交性和完备性正交性null一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开 x(t) 被分解为（除常数项A0/2之 外）频率为 nω的一系列简谐振动ω，2ω，3ω，…构成离散的傅里叶频谱 An，Bn为相应简谐振动的振幅 null例6 方波nullnull例7 锯齿波nullnull简谐振动的复数表示法傅里叶变换构成连续的傅里叶频谱非周期性振动的傅里叶分解非周期性的振动，可理解成T →ω的周期振动，基频ω→0， 分解出的简谐振动频率间距ω→0 ，对应的振动频谱是连续谱。null例8 δ函数定义另一种形式的δ函数性质nullnull§7.1.7 简谐振动的矢量表述和复数表述简谐振动的矢量图象法简谐振动用旋转矢量表示null简谐振动的复数表示复数表示的优越之处：求导、积分很方便。复数的实部对应真实的振动量null例 已知简谐振动的角频率ω，并且已测得在某时刻的振动量和振动速度 试求振幅和初相位。简谐振动一般表述代入已知条件解得考虑到null第七章作业题 A组 1、6、7、9、10、12、 15、18、21、25、28、33、 37、39、45、46、47 B组 48、52、55 §7.2 简谐振动的动力学性质§7.2 简谐振动的动力学性质§7.2.1 动力学方程匀速圆周运动的质点在直径 x 方向上的分运动是简谐振动向心力x 方向上的分力线性回复力：力的大小与偏离平衡位置的位移大小成正比， 方向指向平衡位置。动力学方程null例1两个相同的固定点电荷Q之间有一个同性的点电荷q为线性回复力null例2两个相同弹簧拉一个小球，求横向小位移时小球的受力不是线性回复力null线性回复力水平弹簧振子xk动力学方程null竖直弹簧振子Oy合力：动力学方程平衡位置null复摆（刚体摆）刚体定轴转动定理小角度近似null动力学方程 （二阶常系数线性齐次微分方程）虽然振动的物理量不同，但它们都满足相同的微分方程null动力学方程及其解x 的通解形式为通解中包含两个待定的积分常量， 它们取决于振动的初始运动状态，描述简谐振动的三个特征参量：振幅、初相位和频率null振幅 A 和初相位φ0 的确定由振动的初始条件φ0所在的象限则由sinφ0 或cosφ0 的符号确定null固有频率ω0弹簧振子单摆复摆任一振动系统的固有频率 由振子的固有参量决定，与初始条件无关。null例 圆柱形冰块轻轻按入海水中，让它竖直方向上自由运动，略去所有阻力，求冰块运动周期。第一阶段：冰块顶部匀加速上升至水面水中冰块所受合力上升的加速度冰块顶部到达水面的时间和速度null平衡位置第二阶段：简谐振动平衡位置冰块受力冰块作简谐振动由振动的初始条件确定振幅和初相位null冰块顶部上升到平衡位置上方y = A处，速度降为零，所用时间满足竖直向上运动时间冰块运动周期null例 小球A，B，B'在光滑的水平面上沿一直线静止放置。 B，B'质量相同，中间用轻弹簧连接，弹簧处于自由长度状态。让A对准B匀速运动，弹性碰撞后，接着又观测到A和B两球发生一次相遇不相碰事件，试求A和B两球的质量比。设B的质量为m， A的质量便是γm第一阶段是弹性碰撞第二阶段：A做匀速直线运动；B，B '的质心做匀速直线运动， B，B '相对质心作简谐振动。 弹性碰撞nullB的直线运动=匀速运动+简谐振动B，B'的质心做匀速直线运动B相对质心的初速度简谐振动的频率简谐振动的初始条件B相对质心的简谐振动nullB的运动A做匀速直线运动在某时刻，A和B相遇不相碰的条件：整理后得到数值计算null例 复摆小角度近似复摆的等时摆长null的点O' 保持周期不变，称为O的倒逆点过C的任一直线上存在四个点周期相同在C点下方，满足保持等时摆长不变，rC有两个解 null§7.2.2 谐振子的能量动能势能机械能振子的动能和势能都随时间周期性地变化，且幅值相同 振子的机械能则保持不变null例平衡位置 U形管截面面积 S，管中流体的质量 m、密度ρ，求液体振荡周期 T设偏离平衡位置的液柱高度 y液柱作简谐振动机械能守恒两边求导分析受力null例4 半径为 r 的小球在半径为R的半球形大碗内作纯滚动，这种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。设小球质心速度vC，角速度ω机械能守恒两边对t求导其中小角度时的周期null思考题 在小角度近似下，求半圆环在水平面上的摆动周期，（a）摩擦力足够大；（b）无摩擦力。R答案：§7.3 保守系的振动§7.3 保守系的振动§7.3.1 一个自由度保守系的振动机械振动 （例如，弹簧振子、单摆）非机械振动 （交流电路中的电压、电流）物理量的振动：物理量在其基准值附近的往返变化。null振动的分类受迫振动：回复性保守力+阻尼力+周期性策动力自激振动: 回复性保守力+阻尼力+单向策动力null无阻尼振动：无能量耗散，亦无能量补充从能量的角度分析各类振动阻尼振动：有能量耗散，但无能量补充受迫振动：有能量耗散，但也有能量补充自激振动：有能量耗散，但也有能量补充保守系统非保守系统null一个自由度保守系的振动将空间位置参量抽象地记作ξ广义的保守力不稳定平衡：P1、P3稳定平衡：P2、P4随遇平衡：P5null系统处于稳定平衡位置附近时，可形成振动。能量E能量能量形成振动，一个平衡点形成振动，两个平衡点不形成振动null稳定平衡位置A左：左振幅 A右：右振幅单一稳定平衡位置附近的振动振动周期动力学方程机械能守恒null以ξ = 0为力平衡点，回复性保守力的定性分析保守力一般是非线性的， 但在平衡点附近的小范围内，一般可作线性展开。例如null将保守力 Fξ在力平衡点附近展开为泰勒级数null小量展开公式：null§7.3.2 多自由度保守系的振动在小角度近似下，耦合摆的动力学方程为12用轻弹簧连在一起的耦合摆分别以悬挂点为参考点，根据角动量定理null小角度耦合摆的振动是两个简谐振动的叠加简正模 normal node引入两个新的参量方程变换为null两个自由度三个自由度四个自由度多自由度的简正模null苯基的简正振动苯的简正振动前六个基态前六个激发态§7.4 阻尼振动 受迫振动§7.4 阻尼振动 受迫振动§7.4.1 阻尼振动当没有外界的能量补充时， 实际振动系统的振幅都要随时间逐渐衰减。振幅衰减的原因，一是存在阻尼力 二是振动能量以波的形式向周围传播null保守力引入阻尼力阻尼因子阻尼振动的微分方程固有频率nulln阶线性微分方程n阶线性微分方程解的存在唯一性定理nulln阶齐线性微分方程齐线性微分方程解的性质与结构齐线性方程的解满足叠加原理n阶齐线性方程一定存在n个线性无关的解n阶齐线性方程的通解可表为这n个线性无关解的线性叠加n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间n阶齐线性方程的n个线性无关解不是唯一的null二阶常系数线性齐微分方程的解猜测解r待定r的两个根方程的解：系数由振动的初始条件确定null（1）过阻尼null（2）低阻尼初始条件决定新的线性无关解通解null对数减缩：相隔一个周期前后两振幅之比的自然对数吸引子(attractor)振子机械能的耗散机械能的减少是由于阻尼力提供了负的功率null品质因数t 时刻振子能量为E，经过一个周期振子损失的能量为ΔE在低阻尼情况下在阻尼很小的情况下 描述阻尼能耗的品质因数与固有频率成正比，与阻尼系数成反比null（3）临界阻尼临界阻尼过阻尼低阻尼在临界阻尼条件下，振动系统回到平衡位置用时最短。null§7.4.2 受迫振动没有外部不断供给能量，耗散系统的振动是不能持久的激励振动的方式主要有两种：周期力和单向力。受迫振动：用周期力驱动的振动。周期力中简谐策动力最重要： （1）简谐策动力最简单，也最普遍 （2）非简谐策动力都可以看作简谐策动力的线性叠加null保守力阻尼力简谐策动力其中null方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和方程的通解= 齐次方程的通解 + 方程的特解null受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解猜测代入方程两边对应项的系数相等null受迫振动的微分方程的通解第一项即阻尼振动，随时间衰减，故称暂态解 第二项不随时间衰减，称为稳态解思考题：策动力换为 试求受迫振动方程的特解null暂态解与稳态解null从静止开始的受迫振动黑线代表策动力，蓝线代表从静止开始的受迫振动null振幅随ω的变化根据共振振幅共振频率null0.012null速度随ω的变化根据共振速度共振频率我们周围的世界充满了各种振动nullnull从能量的角度分析受迫振动稳定受迫振动的速度策动力的功率阻尼力耗散的功率速度共振时瞬时功率相等null一个周期中策动力和阻尼力的平均功率平均功率§7.5 波的运动学描述§7.5 波的运动学描述7.5.1 波动现象波的产生需要两个条件：波源和介质波源在介质中振动，与介质发生相互作用，这种影响由近及远， 以波的形式向周围传播——波是振动状态的传播。波的产生、波在弹性介质中的传播null辐射的方向性单极辐射辐射的相位null偶极辐射辐射的方向性辐射的相位简谐振动null平面四极辐射辐射的方向性辐射的相位null线性四极辐射辐射的方向性辐射的相位音叉近场远场null横波：波的传播方向与振动方向垂直纵波：波的传播方向与振动方向平行一维空间传播的波：弦波二维空间传播的波：水面的波三维空间传播的波：声波、电磁波null平面波：波阵面为平面 球面波：波阵面为球面 柱面波：波阵面为柱面波阵面（波前）：振动状态相同的点组成的面波线：波的传播方向线null§7.5.2 平面简谐波空间每一点都作简谐振动，不同点之间有确定的相位差 相位以一定的速度传播，此即波的相速，简称波速 u。对于波包来说，波包中心前进的速度称为群速 ug。null先假设波向右传播，波速 u，考虑 x = 0 点的振动 x 点、t 时刻的振动，是 x = 0 在 t - x/u 时刻的振动传播而得到的null相的传播速度相位φ保持不变，上式两边对时间求导向左传播的简谐波的表达式null波长λ：空间周期平面简谐波波数null三维空间的平面简谐波其中球面简谐波null§7.5.3 波的干涉 两列相同性质、同频率、同振动方向的波的叠加nullnull假设相长干涉相消干涉null相长和相消干涉都形成双曲线null§7.5.4 波的衍射、反射、折射和驻波波通过小孔或遇到障碍物时会发生衍射现象 在波的传播过程中，波前上的每一点都可以看作是一个子波源，这些子波源发出子波（球面波），经过一定时间后它们的包络面即为该时刻的波前。惠更斯原理用惠更斯原理可以导出反射和折射定律，解释衍射现象波从一种介质传到另一种介质时， 在两种介质的分界面上，传播方向 要发生改变，产生反射和折射现象，null只考虑垂直入射情况下，介质1、2分界面上波的反射下面以弦上从左向右传播的横波为例， 说明各种不同介质的分界面上波的反射情况。弦上横波的波速依赖于弦的张力 T 和线密度 ρ:null首先考虑两种极端情况（a）固定端的反射因为弦的端点不动， 它所受的合力为零。 波传播到固定端时， 对端点施加一个作用力， 墙要施加一个等值、反向的作用力， 从而产生一个从右向左传播的反射波：振幅相同、反相null驻波如果弦的两端都固定，形成稳定波形的条件是什么？设有两列波，振幅相同，在左端点（原点）反相：合成的波null在右端点 x = l 处要求 y = 0，即设波速为 u，相应的频率为最低的频率称为基频，其它依次称为二次、三次…谐频null基频二次谐频三次谐频驻波的形成null有关驻波的几个概念驻波的频率波节波腹波腹波腹波节相邻波节或波腹的间距为半波长null二维驻波矩形薄膜（a，b）驻波的频率null正方形薄膜null圆形薄膜2.40483 is the first root of the zero-th order Bessel function J0(x)5.52008 is the second root of J0(x)3.83171 is the first root of J1(x)Ts: 膜的表面张力ρs: 膜的面密度a: 膜的半径null（b）柔软端的反射柔软端不受作用力，这种情况对应柔软端没有拉伸 波发生全反射null垂直悬挂的弦上的驻波垂直悬挂的弦是典型的非均匀弹性介质声波在管中形成的驻波声波在管中形成的驻波在波导中传播的微波在波导中传播的微波Microwaves are electromagnetic waves with wavelengths ranging from 1 mm to 300 mm, or frequencies between 300 megahertz and 300 gigahertz.用激光聚焦沉积原子的二维阵列纳米制备 Nanofabrication of a two-dimensional array using laser-focused atomic deposition用激光聚焦沉积原子的二维阵列纳米制备 Nanofabrication of a two-dimensional array using laser-focused atomic depositionLaser-Focused Atomic Deposition of Nanodots. In this new form of nanofabrication, a laser standing wave propagates across a Si surface, concentrating atoms into its nodes as they deposit. Here, a two-dimensional standing wave creates an array of dots on the surface, spaced at exactly half the laser wavelength. The image is taken with an atomic force microscope on an array of Cr features on a Si surface. For this sample, the dots are spaced at 212.78 nm, and have height and width of 13 and 80 nm, respectively.参考文献：R. Gupta et al., Appl. Phys. Lett. 67, 1378 (1995).One-dimensional schematic of laser-focused atomic deposition process, showing chromium atoms being focused by a laser standing wave into its nodes. The trajectories and the deposited peaks represent the results of actual calculations of the focusing process, though the relative vertical scales are highly distorted for clarity.光晶格 Optical lattice光晶格 Optical latticeOptical lattices are crystals made of light periodic potentials that confine ultracold atoms. Atoms in optical lattices are almost perfect analogies of electrons trapped in crystals, but our optical lattices are defect and impurity free, unlike real world solid-state materials. We will use coherent atoms from a Bose-Einstein condensate to study the wave-like properties of atoms trapped in these potentials, adding in controlled amounts of disorder. We can study exotic states of matter such as a “Bose glass”, phase transitions that rely on the graininess of quantum mechanics rather than thermal fluctuations, and the question of just why the world seems so classical when we believe quantum mechanics is the correct microscopic description.光晶格是由一束激光与它的反射波形成的，具有空间的周期结构，可以用来模拟晶体中的离子实，束缚在光晶体中的原子类似于晶体中的电子。null例9 光在高速运动镜面上的反射null§7.5.5 多普勒效应多普勒效应 探测器所接受到的波的频率依赖于波源和探测器相对介质的运动在无色散的介质中, 波速与波源和探测器的运动与否无关波源频率 探测器null（1）波源静止观察者运动波源波速 u探测器先讨论波源或探测器的运动都在二者的连线上波相对观察者的传播速度波长未变，观察者感受到的频率null（2）波源运动观察者静止波源波速 u探测器波相对观察者的有效波长波速未变，观察者感受到的频率null（3）波源和观察者都运动波源波速 u探测器波相对观察者的有效波长观察者感受到的频率波相对观察者的传播速度null波源和观察者作任意运动波源观察者相位增量观测到同样的相位增量波源观察者null例10 警车警笛的频率声速 车速声音经前面墙的反射向后传播，求人听到的拍频。null§7.5.6 冲击波当波源运动的速度接近 波速时，在波源前产生 声垒（sound barrier） 和轰声（sonic boom）。超音速飞行null当波源运动的速度大于波速时，波前的包络面呈锥形，这种形式的波称为冲击波（shock wave）。马赫锥 （Mach cone）马赫数马赫角马赫数为1.5null波源的运动从亚音速到超音速null当物体在介质中运动的速度大于声速时，就会发出声音电磁波同样存在这种现象。玻璃中光的速度仅为真空中光速的2/3，高能粒子以接近光速的速度穿过这种介质时，就会产生辐射—切伦科夫（Cerenkov）辐射。§7.6 一维线性波动方程§7.6 一维线性波动方程§7.6.1 波动方程波在介质中如何传播， 是由介质的性质决定的。当介质的形变较小时，介质可当作弹性介质： 介质中各点的相对位移与力成正比介质的弹性行为由弹性模量描述，根据形变类型的不同， 弹性模量分为：杨氏模量、剪切模量和体积弹性模量。null弹性介质的基本性质杨氏模量 E剪切模量 G体积模量K一般情况下，E > 2Gnull波动方程可能的形式？平面简谐波第一项：质元的加速度第二项：质元的受力null波的传播方向横波位移纵波位移质元dm质元dm所受合力正比于二阶导数平衡位置横波和纵波偏离平衡位置的位移为 y质元dm两端位移量相同代表没有拉伸，对应 y 的一阶导数为零y 的一阶导数为正，介质处于拉伸状态，为负则为压缩状态。一阶导数代表相对拉伸的程度，正比于应力null(a) 弦的波动方程弦的张力 T，密度ρ分析一小段弦的受力弦在 x 位置，偏离平衡位置的位移弦沿 x 方向无位移null弦所受合力牛顿第二定律弦的波动方程波速null(b) 均匀弹性棒中横波和纵波的波动方程均匀弹性棒的横截面积为 S，密度ρ，沿棒取为 x 方向。 设沿纵向（横向）偏离平衡位置的位移为分析其中一小段null在 x 处的纵向（横向）弹力为同样在 x+Δx 处的纵向（横向）弹力为null式中偏导数为正值时，对应的是拉伸状态 所以左端为负，右端为正。这一小段所受合力为这一小段的纵向（横向）加速度为null这一小段的运动方程为纵波和横波的波动方程三维波动方程与一维的形式相同，只是纵波的波速略有不同纵波波速横波波速null(c) 声波的波动方程声波的物理内容包含了三个特征： I 气体的位移使密度发生变化 II 密度的变化对应着压强的变化 III 压强的不相等导致气体的运动声波是纵波，表现为疏密状态的移动，空气的压强 在平衡压强（大气压）附近有起伏，声波也表现为 这种压强起伏的传播。null空气中热量传播非常慢，并且声波传播很快，空气来不及与外界 交换热量，过程实际上是绝热的。气体的压强 p 和体积 V 满足 绝热方程。首先考虑第二个特征Cp,m是定压摩尔热容， CV,m是定体摩尔热容。null设沿纵向偏离平衡位置的位移为考虑第一个特征分析横截面积为 S 的其中一小段在 x 点附近，体积的相对变化为上式中偏导数为正，对应气体的膨胀，故压强减小。null左端的压强右端的压强这一小段所受的压强差null最后考虑第三个特征牛顿第二定律声波的波动方程对理想气体，声速R是气体普适常量，T是绝对温度，M是气体的摩尔质量null§7.6.2 一维波动方程的通解一维波动方程的一般形式偏微分方程的通解不同于二阶常微分方程，通解中出现的是 两个待定的函数，而不是两个待定的常数null首先验证两个独立的解满足波动方程同理，另一个独立的解也满足方程。null验证波的叠加原理叠加原理的成立是建立在波动方程是线性的这个性质上null初始条件给定后，波动方程的解唯一确定设初始条件是将通解代入，由上述方程确定特解null§7.6.3 波在介质界面的反射与透射波从一种介质1传播到两种介质（1，2）的界面时，在界面处的 扰动将产生两种同频率的波：在介质1中产生反射波， 在介质2中产生透射波。入射波为了数学上处理方便，改取复数形式反射波透射波边界条件：在介质1，2的界面 x = 0处，振动量相同，作用力相同null边界条件1：在介质1，2的界面 x = 0处，振动量相同边界条件2：在介质1，2的界面 x = 0处，作用力相同(以纵波为例)null反射系数固定端：柔软端：设介质1的波速u1、密度 ρ1，特性阻抗 介质2的波速u2、密度 ρ2，特性阻抗特性阻抗只与介质自身的性质有关代入关系式透射系数同一种介质中无波的反射null细弦到粗弦的反射粗弦到细弦的反射有半波损失 振幅？无相位跃变 振幅？null§7.7 波的能量我们以弹性介质中的平面简谐纵波为例分析波的能量介质的密度ρ，杨氏模量 E，向右传播的平面简谐波当介质内有波传播时，介质处于拉伸和运动状态， 因此波的能量既包含动能，又包含势能。分析对象：介质内一个截面为ΔS、长为Δx的体积元null体积元的动能在平衡位置动能最大，在波峰和波谷处动能为零。null体积元的势能先求一段长L、截面积为S的弹性介质发生形变时具有的弹性势能在伸长ΔL的过程中，外力F所做的功其中E为杨氏模量，相对形变为对于体积元ΔSΔx，相对形变为∂y/∂x，该体积元的势能为null势能与动能的变化同相 都是在平衡位置势能最大，在波峰和波谷处势能为零能量密度能流密度：沿波的传播方向，单位时间通过单位面积的能量null对于三维平面简谐波，能量密度和能流密度的形式相同ρ 为介质的体密度能量密度能流密度在任一位置，能流密度在一个周期内的平均值称为该处波的强度声强的单位：贝（B）与分贝（dB）null§7.8 真空中电磁波§7.8.1 三维线性波动方程(a) 三维波动方程振动的物理量，可以是偏离平衡位置的位移， 也可以是电磁波的电场强度 E 或磁感应强度 B 等。波动方程的一般形式null哈密顿算符方程称为齐次的引入拉普拉斯算符null三维波动方程可以简写为方程是齐次的一般地说，与波源、阻尼、策动力有关。null§7.8.2 真空中的电磁波真空中，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程null在没有电荷电流分布的真空中麦克斯韦方程是齐次的推导中利用矢量公式nullnull真空中电磁波的波速——光速真空介电常量真空磁导率null电偶极子辐射的电磁波实验发现，真空中的光速相对任何惯性参考系不变。