3.2.3复数的除法掌握复数的除法法则,并能运用复数的除法法则进行计算.复数的除法(1)已知z=a+bi(a,b∈R),如果存在一个复数z',使z·z'=1,则z'叫做z1的倒数,记作??.(2)我们
规定
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两个复数除法的运算法则如下:(a+bi)÷(c+di)=(????+????)+(????-????)i2??2+????+??i??+??i=1(??+??i)??+??i=(??+??i)·2??-??i2??+??==????+????2??2+??+2i.2??+??????-????其中a,b,c,d∈R.上述复数除法的运算法则不必死记.在实际运算时,我们把商??+??i看作分数,分子、分母同乘以分母的共轭复数?????i,??+??i把分母变为实数,化简后,就可以得到运算结果.【做一做】复数z=??-2i(??∈R)在复平面内对应的点不可能1+2i位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：z=??-2i1+2i=1[(???2i)(1?2i)]5=1[(???4)?2(??+5??-4>0,1)i],在复平面上对应的点若在第一象限内,则无解,-2(??+1)>0,即该点不可能在第一象限.答案：A复数的模有哪些性质?剖析：(1)|z|=|??|;(2)|z1·z2|=|z1|·|z2|;??1(3)??2=|??1|(??2≠0);|??2|(4)|zn|=|z|n.
题
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型一题型二题型三复数的除法【例题1】计算下列各式的值:2i2+i12+3i(1);(2)7+4i;(3);(4).21-i3-2i(9+2i)分析：直接利用复数除法的运算法则,分子、分母同时乘分母的共轭复数来计算.题型一题型二题型三2i解：(1)1-i2+i(2)7+4i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=i(1+i)=?1+i.4i7-2·4i+i·2×7-i·7+4222=2(2+i)(7-4i)(7+4i)(7-4i)==14+4-i65=118?65i.65(3)1(9+2i)=(9-2i)2[(9+2i)(9-2i)]=81-4-36i(9+2)222=3677?7225i.72252+3i(4)方法一3-2i2+3i方法二3-2i=(2+3i)(3+2i)9+4=6+4i+9i+6i213=13i13=i.=-2i2+3i3-2i=i(3-2i)3-2i=i.题型一题型二题型三反思在复数的除法中,除直接利用分子、分母同时乘分母的共轭复??+??i??-??i??+??i数外,形如或??+??i的复数,还可以直接化简,即??-??i??-??i??-??ii,??+??i=-??i2+??i??-??i==-??i2-??i??+??i=?i.题型一题型二题型三复数运算的综合应用【例题2】设1z是虚数,ω=z+??是实数,且?10.22于是ω-u=2(x+1)+1+???32≥22(??+1)·?3=1.1+??2当且仅当2(x+1)=,即x=01+??时等号成立.∴ω-u2的最小值为1,此时z=±i.题型一题型二题型三反思该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识.只要概念清楚,运算熟练,按常规思路顺其自然不难求解.注意:解决后面的问题时,可以使用前面已经得到的结论.题型一题型二题型三易错辨析易错点:在求解过程中因忽视有关条件而导致错误.??3】已知是纯虚数,求??在复平面内对应的点的轨迹.??-1【例题错解：设z=x+yi(x,y∈R),????+??i(??+??i)[(??-1)-??i]则==2??-1(??-1)+??i(??-1)+??2=∵??2+??2-??(??-1)+??22???(??-1)+??22i.+??2=1,42??1是纯虚数,∴x2+y2-x=0,即??-2??-1∴z11在复平面上对应点的轨迹是以点2,0为圆心,2为半径的圆.题型一题型二题型三??错因分析：由为纯虚数,得x2+y2-x=0,且??-1y≠0,错解中忽略了y≠0.正解：设z=x+yi(x,y∈R),????+??i(??+??i)[(??-1)-??i](??2+??2-??)-??i则===.22??-1(??-1)+??i2(??-1)+??(??-1)+??2∵??是纯虚数,∴??-1??2+??2-??=0,??≠0,1(??≠0).412即??-2+??2=∴z11在复平面内对应的点的轨迹是以点,0为圆心,22为半径的圆,并去掉点(0,0)和点(1,0).12345111复数+的虚部是()-2+i1-2i11A.iB.5511C.?5iD.?511-2-i1+2i-1+i解析：+=4+1+1+4=5-2+i1-2i=11?5+5i.故选B.答案：B12345213复数i-i=()B.-8C.8iD.-8i=(i+i)3=(2i)3=?8i.故选D.A.813解析：i-i答案：D123453已知复数83A.3B.283C.?D.?32??1(??+2i)(3+4i)解析：∵=??2(3-4i)(3+4i)??1z1=m+2i,z2=3-4i,若为实数,则实数??的值为(??2)=3??-8+(6+4??)i∈R,253∴6+4m=0,解得m=?2.答案：D123454设i(1+i)为虚数单位,则复数1-i2=.(1+i)2解析：1-i=2i(1+i)2=?1+i.答案：-1+I123455设复数iz1=2-i,z2=1-3i,则复数??1??2+5的虚部等于.i??2i1+3ii(2+i)13解析：??+5=+5=5+5+5i2-i11213=?5+5i+5+5i=i.答案：1
浙公网安备 33021202002483