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具体命题，构造一些新的图形、模型、方程、函数等。使命题中原来隐晦不清的关系和性质，在新的构造中清楚地展现出来，从而简捷地解决原命题。在中学数学中可以进行怎样的构造呢？一、构造函数例1.若，且满足方程：和，则_________。分析：此题一时无从着手，研究已知条件，发现两个等式有一些相似的地方，对第二个等式进行变形可得：，对照两等式和所求的结论思考，是否可以找到x和2y的关系？构造函数，则两个条件分别变为：和，即，因为函数是奇函数，所以有，又因为当时，是单调递增的函数，所以有：，即，因此，。说明：函数是数学中一种重要的知识，函数的性质千变万化，所以在解题中若能构造函数，利用函数的性质，将会给我们的解题带来很大的方便。二、构造方程例2.已知，且，证明x，y，z成等差数列。分析：要证x，y，z成等差数列，其充要条件是，对照条件与结论，由条件的二次式要化为结论的一次式难度较大。仔细观察条件式的结构特点，发现很象二次方程中的判别式，反过来构造二次方程，再分析关于t的二次方程的系数特点，各项系数之和为零，所以方程必有一根为1，而方程判别式为零，所以方程有两个等根1。由根与系数关系得：即说明：每个问题都有自己深刻的内涵，结构上也都有各自的特点，在解决问题时若能深入地了解它的本质，对我们解决问题大有益处，而构造方程是我们构造法中的重要
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。三、构造图形例3.已知正数a、b、c，A、B、C满足。求证：分析：此题解决的方法很多，但都不是很简单的。如何利用好已知的等式是解决此题的关键，我们以k为边长构造一个正三角形MNP（如图1），则各顶点上小三角形面积之和小于大三角形的面积。故有图1从而得说明：数与形是数学学习中的两个方面，构造图形以形助数，是我们数学学习中的一种重要手段。四、构造情景例4.求证：分析：根据等式的右边，我们可以构造这样的情景：“从n+m个不同的元素中取出k个元素，共有多少种不同的取法？”由于组合恒等式的左边为k+1项之和，这意味着完成这件事有k+1类办法。又因为每项都是两个组合数的乘积，表示每一类办法都需分两步来完成。第一步在其中n个元素中取i个，第二步在另m个元素中取个（，），每类办法都是总共取出k个元素。至此，易得这个恒等式。说明：通过上例，我们可以看出，在证明某些等式时，我们可以先为它设置一个情景，在这个情景下，通过新的知识加以解决。五、构造对称例5.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。分析：这是一个很普通的三角题目，解法很多。注意到，可设，构造，再将a与b相乘得：所以说明：对称是数学中的一种重要表示形式，在解决问题时我们经常利用对称的思想，当所给的条件不具备对称时，我们可以创造条件利用对称来解题。六、构造模型例6.求二元函数的最小值。分析：此题很难用常规的方法来加以解决。观察结构的特点，很象两点之间的距离公式。把函数关系看成是点P（x，）和点Q（y，）的距离，而点P（x，）的轨迹是直线：，点Q（y，）的轨迹是双曲线：，所以原问题转化为：直线上的点和双曲线上的点的距离平方的最小值。由图象可知，AB连线过原点且与直线垂直时，其交点C到B最近。此时，A、B、C三点的坐标是A（1，1），B（―1，―1），C（，），，即F（x，y）的最小值是。图2说明：数学中很多公式就是一个模型，如两点之间的距离公式，直线的斜率公式，定比分点坐标公式，复数的模等等。只要我们仔细观察，合理构建，一定能找到合适的解题途径。
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