高二数学讲义___立体几何综合题选讲

PAGE 1 高二 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 讲义 立体几何综合题选讲 1. 如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ， 、 分别为 、 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）设 ，求 与平面 所成 的角的大小 [ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ] arcsin 2.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明AB⊥平面VAD； （Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小． （Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE ∵VAD是正三角形∴AE⊥VD，AF= AD ∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE 由三垂线定理知BE⊥VD 因此， 是所求二面角的平面角 于是， 即得所求二面角的大小为 3.如图3所示，在四面体 中， ， ． 是线段 上一点， ，点 在线段 上，且 ． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求二面角 的大小． (Ⅰ)证明：在 中， ∵ ∴ ∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形， 同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形， △PCB是以∠PCB为直角的直角三角形． 在 中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （II）由（I）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC ∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE ∴CE⊥平面PAB，而EF 平面PAB， ∴EF⊥EC， 故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角， ∵ ∴ ， ∴二面角B—CE—F的大小为 ． 4．如图，在斜三棱柱 中， ， 侧面 与底面 所成的二面角为 ， 分别是棱 的中点 （I）求 与底面 所成的角； （II）证明 ； （III）求经过 四点的球的体积． 解：如图，在斜三棱柱 中， ， ，侧面 与底 面ABC所成的二面角为120 ，E、F分别是棱 、 的中点。 （Ⅰ）求 与底面ABC所成的角； （Ⅱ）证明EA∥平面 ； （Ⅲ）求经过 、A、B、C四点的球的体积。 5．（I）解：过 作平面 平面 ，垂足为 ． 连接 ，并延长 交于 ，连接 ， 于是 为 与底面 所成的角。 因为 ，所以 为的 平分线 又因为 ，所以 ， 且为 的中点 因此，由三垂线定理 因为 ，且 ，所以 ，于是 为 二面角 的平面角，即 由于四边形 为平行四边形，得 所以， 与底面 所成的角度为 （II） 证明：设 与 的交点为 ，则点P为 EG的中点，连结PF。 在平行四边形 中，因为F是 的中点， 所以 而EP 平面 ， 平面 ， 所以 平面 （III）解：连接 。在△ 和△ 中， △ △ 又因为 平面 ，所以 是△ 的外心 设球心为 ，则 必在 上，且 在Rt△ 中，△ 球的体积△ ６． 如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是 边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥ 平面ACE. （Ⅰ）求证AE⊥平面BCE； （Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离. 解：(Ⅰ) ∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角 D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB, ∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE (Ⅱ)连结BD交AC于G,连结FG,∵正方形ABCD边长为2, ∴BG⊥AC,BG= , ∵BF⊥平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC， ∴∠BＧF是二面角B-AC-E的平面角, 由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB， ∴在等腰直角三角形中,BE= . ∵直角三角形BCE中,EC= ， BF= ∴直角三角形BFG中,sin∠BGF= ， ∴二面角B-AC-E等于arcsin . (Ⅲ)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1, ∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h,∵ , ∴ . ∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC. ∴h= . ∴点D点D到平面ACE的距离为 . ７．如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=2， DC= ，AC⊥BD，垂足为E. （Ⅰ）求证BD⊥A1C； （Ⅱ）求二面角A1—BD—C​1的大小； （Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的大小. 解：（I）在直四棱柱 中, 底面 , 是 在平面 上的射影. EMBED Unknown （II）连结 与（I）同理可证 为二面角 的平面角. EMBED Unknown 且 在 中, 即二面角 的大小为 EMBED Unknown （III）过B作 交 于 ,连结 则 就是 与 所成的角. 在 中, 即异面直线 与 所成角的大小为 8．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝ PA， 点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)求证：OD∥平面PAB； (Ⅱ) 求直线OD与平面PBC所成角的大小． 解：解法一 (Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点： ∴OD∥PA,又AC 平面PAB, ∴OD∥平面PAB. (Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB, 又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC. 取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE 于F,连结DF,则OF⊥平面PBC ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角. 又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF. 在Rt△ODF中,sin∠ODF= , ∴PA与平面PBC所成角为arcsin ９．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面 AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （Ⅰ）求BF的长； （Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离. 解：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1， EH//AD，且EH=AD. ∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2. （Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG， 则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG. 过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M， 由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且 AG 面AEC​1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC. 在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的 长即为C到平面AEC1F的距离. １0． A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2， 点E在棱AB上移动.（1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为 . 解：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1， ∴A1D⊥D1E （2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中， AC=CD1= ，AD1= ， 故 （3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE， ∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角. 设AE=x，则BE=2－x 11． 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形， PD⊥底面ABCD，E是AB上 一点，PE⊥EC. 已知 求 （Ⅰ）异面直线PD与EC的距离； （Ⅱ）二面角E—PC—D的大小. 解： （Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE， 且DE是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的 逆定理知EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的 公垂线.设DE=x，因△DAE∽△CED， 故 （负根舍去）. 从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1. （Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC 于H，连接EH. 因PD⊥底面， 故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD. 因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂 线定理知EH⊥PC.因此∠EHG为二面角的平面角. 在面PDC中，PD= ，CD=2，GC= 因△PDC∽△GHC，故 ， 又 故在 EMBED Equation.3 即二面角E—PC—D的大小为 12．如图，已知长方体 直线 与平面 所成的角为 ， 垂直 于 ， 为 的中点. （I）求异面直线 与 所成的角； （II）求平面 与平面 所成的二面角； （III）求点 到平面 的距离. 解：(I)连结B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K ∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直 ∴ 又 因此FK∥AE∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角 连结BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK从而△BKF为Rt△ 在Rt△B1KF和Rt△B1D1 中，由 得 又BF= ∴ ∠BFK= ∴异面直线 所成的角为 (II)由于DA⊥面AA1B，由A作BF的垂线AG，垂足为G， 连结DG，由三垂线定理知BG⊥DG∴∠AGD即为平面BDF与 平面AA1B所成二面角的平面角。且∠DAG=90° 在平面AA1B中，延长BF与AA1交于点S ∵F为A1B1的中点，A1F ∴A1、F分别为SA、SB的中点，即SA=2A1A=2=AB ∴Rt△BAS为等腰三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F， 即G、F重合。易得AG=AF= SB= 在Rt△BAS中，AD= ， ∴∠AGD= 即平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小为 。 (III)由(II)知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面角 的平面角所成的平面。∴面AFD⊥平面BDF 在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF 的距离，由AH·DF=AD· 得 AH= 所以点 到平面 的距离为 13．已知三棱锥Ｐ－ABC中，Ｅ、Ｆ分别是AC、AB的中点， △ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB． (Ⅰ)证明PC⊥平面PAB； (Ⅱ)求二面角Ｐ－AB－C的平面角的余弦值； (Ⅲ)若点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ在一个表面积为12π的球面上， 求△ABC的边长． （Ⅰ）证明：连结CF. ，∴ ，∴ 平面 ， ，∴ ∴ 平面 （Ⅱ）解： ∴ 为所求二面角的平面角. 设AB=a，则 ， ∴ ． 解：设P在平面ABC内的射影为O. ≌ ，∴ ≌ 得 . 于是O是△ABC的中心. ∴ 为所求二面角的平面角. 设AB=a，则 ∴ （Ⅲ）解：设PA=x，球半径为R.， ∴ ， ，∴ ，得 ， ∴ . 解：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径. 连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R. ，∴ ， ， ∴ , ， ∴ ． １4．已知直三棱柱 中， ， ， ， 是 上的任一点． （1）求证： ； （2）若 ，求二面角 的取值范围； （3）若 是 中点，求 到平面 的距离． 15．在四棱柱 中，侧面 底面 ， 且 是正三角形， 是正方形， 是 中点． 证明平面 平面 ； （2）求 到平面 的距离； （3）求二面角 的大小． 16．在三棱柱 中，侧面 底面 ， 是面积为 的菱形， ， 是正三角形． （1）若 是 中点，求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的大小； （3）求四面体 的体积． � EMBED PBrush ��� A C B P F E 图3 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED PBrush ��� � � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� H S _1179889989.unknown _1180596828.unknown _1181327750.unknown _1187450383.unknown _1206211635.unknown _1206212306.unknown _1206212949.unknown _1206213548.unknown _1206213896.unknown _1206214409.unknown _1206215070.unknown _1206214032.unknown _1206214199.unknown _1206214303.unknown _1206214093.unknown _1206213910.unknown _1206213684.unknown _1206213766.unknown _1206213609.unknown _1206213375.unknown _1206213415.unknown _1206213197.unknown _1206212619.unknown _1206212829.unknown _1206212858.unknown _1206212697.unknown _1206212404.unknown _1206212488.unknown _1206212598.unknown _1206212352.unknown _1206212100.unknown _1206212182.unknown _1206212268.unknown _1206212127.unknown _1206211772.unknown _1206211833.unknown _1206211873.unknown _1206211747.unknown _1206200526.unknown _1206211280.unknown _1206211337.unknown _1206211443.unknown _1206211323.unknown _1206201166.unknown _1206211088.unknown _1206200926.unknown 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