《高中数学》《立体几何》

《立体几何》 【知识点1】平行的判定与证明 1.线线平行的证明：【线线平行的定义：在同一平面内没有公共点】 方法①文字：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行。 方法②文字：若一条直线与一个平面平行，则与过这条直线的平面与已知平面的交线平行。 方法③文字：若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行。 方法④文字：若两个平行平面同第三个平面相交，则两条交线平行。 2.线面平行的证明：【线面平行的定义：线面没有公共点】 方法①文字：若平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线平行于这个平面。方法②文字：若两个面平行，则一个面内的直线平行于另一个平面。 3.面面平行的证明：【面面平行的定义：面面没有公共点】 方法①文字：若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。 方法②文字：若一条直线同时垂直两个平面，则这两个平面平行。 【知识点2】垂直的判定与证明 1.线线垂直的证明：【线线垂直的定义：两直线所成的角为 】 方法①定义法：相交的两直线的夹角等于 。【常用中位线转化到三角形中】 方法②文字：若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个面内的任意一条直线。 2.线面垂直的证明：【线面垂直的定义：直线与平面内的任意一条直线都垂直】 方法①文字：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。 符号：若 ，则 。 方法②文字：若两条平行直线中的一条垂直一个平面，则另一条也垂直这个平面。 方法③文字：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则也垂直于另一个。 3.面面垂直的证明：【面面垂直的定义：面面所成的角的平面角为 】 方法①定义法：做出二面角的平面角，求证这个平面角为直角。 方法②文字：经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直。 符号：若 ，则 。 【知识点3】体积与面积 1.球：体积： ；表面积： 。 2.柱体（圆柱、棱柱）： （注意：侧面积与表面积不同） 体积： （ 是柱体的底面积、 是柱体的高）； 侧面积： （ 是柱体的底面半径、 是柱体的高）。 3.椎体（圆锥、棱锥）： 体积： （ 是锥体的底面积、 是锥体的高）； 侧面积： （ 是锥体的底面半径、 是锥体的母线）。 4.长方体：（ 是从同一个顶点出发的三条棱的长） 体积： 表面积： 体对角线： （注意：体对角线与面对角线不同） 5.球的组合体： ①外接球：正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长。 ②内切球：正方体的内切球的直径是正方体的棱长。 长方体不一定有内切球。 ③棱切球：正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长。 【知识点4】三视图、直观图、投影 两种题型：①由实物画出三视图，②由三视图还原出实物。 例1：如右图为一个几何体的三视图，已知府视图为正三角形， ， ，则该几何体的表面积为（ ） A.6+ B.24+ C.24+2 D.32 例2：右图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成。 【典型习题】 1.一个几何体的正视图和俯视图是矩形，侧视图是三角形，则这个几何体是　　　　　。 2.下列命题正确的是（ ） A.矩形的平行投影一定是矩形 B.梯形的平行投影一定是梯形 C.两条相交直线的平行投影可能平行 D.一条线段中点的平行投影仍是这条线段的中点 3.对于一个底边在 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A.2倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 4. (2009山东理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 5.（2009海南文理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为（ ） A.48+12 B.48+24 C.36+12 D.36+24 6.（2009浙江卷理）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 。 【综合练习】 1.已知直线 与平面 不平行，则下列结论成立的是（ ） A. 内所有的直线都与 异面 B. 内不存在与 平行的直线 C. 内所有的直线都与 相交 D.直线 与平面 有公共点 2.下列四个命题：①过三点确定一个平面，②矩形是平面图形， ③三条直线两两相交则确定一个平面，④两个相交平面把空间分成四个区域。 其中错误命题的序号是 。 3.已知两个平面垂直，在下列命题中错误的命题是 。 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面。 4.在下列命题中，错误的命题有 。 ①若直线 与平面 不平行，则 与平面 内的所有直线都不平行； ②若直线 与平面 不垂直，则 与平面 内的所有直线都不垂直； ③若异面直线 不垂直，则过 的任何平面都与 不垂直； ④若直线 和 共面，直线 和 共面，则 和 共面。 5.正方体 中，与面 的对角线 异面的棱有 条。 6.棱长都是1的三棱锥的表面积为 。 7.一个体积为 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 。 8.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 。 9.已知某长方体共顶点的三个面的面积分别是 ，则该长方体的对角线长是___ ___； 若长方体共顶点的三个侧面面积分别为 ，则它的体积为____ __。 10．如右上图的正方体， 分别为正方体的两个侧面 、面 的中心，则四边形 在该正方体的面上的射影可能是____________。 11．如右图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗?请说明理由。 12.如右图，正三棱柱 ，点 在棱 上，若 ，求证：直线 平面 。 13.如右图，一个三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱 ， ，有一虫子从 沿三个侧面爬到 ，求虫子爬行的最短距离。 俯视图 侧视图 正视图 cm 12 _ C1 C B1 A1 B A 4 _ cm � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� A B C M N A1 B1 C1 2 2 2 正(主)视图 2 2 侧(左)视图 俯视图 PAGE 4 _1325319716.unknown _1355728048.unknown _1355728724.unknown _1355847751.unknown _1355848204.unknown _1355849265.unknown _1356444063.unknown _1355849309.unknown _1355847816.unknown _1355728751.unknown _1355728092.unknown _1355728682.unknown _1355728704.unknown _1355728320.unknown _1355728072.unknown _1355728079.unknown _1355728058.unknown _1325334488.unknown _1355727675.unknown _1355727684.unknown _1355727644.unknown _1355727659.unknown _1355727667.unknown _1325334652.unknown _1325333897.unknown _1325334015.unknown _1325334443.unknown _1325334456.unknown _1325333946.unknown _1325333968.unknown _1325330277.unknown _1325333868.unknown _1325319731.unknown _1213455236.unknown _1224440334.unknown _1234567907.unknown _1324819428.unknown _1325319289.unknown _1234567908.unknown _1234567909.unknown _1224440472.unknown _1224440537.unknown _1234567906.unknown _1224440650.unknown _1224440497.unknown _1224440426.unknown _1224440433.unknown _1224439562.unknown _1224439647.unknown _1224439658.unknown _1224439584.unknown _1224439496.unknown _1224439543.unknown _1216370800.unknown _1185889406.unknown _1185889417.unknown _1185889419.unknown _1185889420.unknown _1185889418.unknown _1185889408.unknown _1185889409.unknown _1185889407.unknown _1175174784.unknown _1181724569.unknown _1185889405.unknown _1175174808.unknown _1181724568.unknown _1175174807.unknown _1164182006.unknown _1175174639.unknown _1175174766.unknown _1167391655.unknown _1167391666.unknown _1167391644.unknown _1028032342.unknown _1164181980.unknown _1028032409.unknown _1028032310.unknown